【文档说明】江西省鹰潭市余江区第一中学2024-2025学年高三上学期第二次模拟考试（10月月考）数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，2.186 MB，由小赞的店铺上传

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余江一中2025届高三年级第二次模拟考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时

，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函

数与导数，三角函数，解三角形，立体几何，解析几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合122Axx=−，()|383Bxxx=+，则AB=（）A.12,3−

B.12,3−C.13,2−D.13,2−【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据并集的定义计算可得.【详解】由()383xx+，即23830xx+−，即()()313

0xx−+，解得133x−，所以()813|333|Bxxxxx−=+=，又122Axx=−，所以132|xABx=−.故选：C2.已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为（）A.2

9cmB.227cmC.248cmD.254cm【答案】D【解析】【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.【详解】令扇形的半径为r，则235306rrrr+===cm，所以此扇形的面积为2136542=2cm.故选：D3.已知1

212120aabbcc，“不等式21110axbxc++与22220axbxc++的解集相同”是111222abcabc==的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【

分析】可举出反例证明充分性和必要性均不成立.【详解】不等式2240xx++与22350xx++的解集均为空集，但111222abcabc，所以充分性不成立；不妨令1111,2,1abc===，111

1,2,1abc=−=−=−，满足111222abcabc==，但2210xx++的解集为()(),11,−−−+，2210xx−−−的解集为，所以21110axbxc++与22220axbxc++的解集不同，必要性不成立；故选：D4.函数()2()1xxx

eefxx−−=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负逐一排除即可.【详解】()()()22()11xxxxxeexeefxfxxx−−−−−−===−−，()fx是偶函数，排除A，0x时，xxee−，即0xxee−−

，当1x时，又有210x−，因此()0fx，排除B，C故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查由函数解析式选取函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，再通过特殊的函数值，函数值的正负

，函数值的变化趋势等排除某些选项，从而得出正确答案．5.若ππsin3sin36+=−，则πtan6+=（）A.536−B.536+C.5363−D.5363+【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式求出πtan6−，再由πππtan

tan663+=−+及两角和的正切公式计算可得.【详解】因为ππsin3sin36+=−，所以πππsin3sin626−+=−，所以ππco

s3sin66−=−，所以πsinπ16tanπ63cos6−−==−，所以ππ1tantan3πππ633t3antan1πn5π663131t

anta33636−+++=−+===−−+−.故选：D6.已知函数()2116ln2fxxx=−在区间()21,21aa−+上单调递减，则a的取值范围是（）A.13,22B.13,22C.5,2+

D.5,2+【答案】B【解析】【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求a的取值范围.详解】()()()()4416,0xxfxxxxx+−=−=，当()0fx，解得：04x

，由条件可知()(21,210,4aa−+，所以210214aa−+，解得：1322a.故选：B.7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺

､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处（,,BCN在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别

为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（）（参考数据31.73）【A.37.52mB.35.48mC.33.26mD.31.52m【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得.【详解】62sin15sin(4

530sin45cos30cos45sin304)−=−=−=，在ABCV中，7.5sinsin15ABACACB==，在ACM△中，1806015105ACM=−−=，301545MAC=+=，则18030A

MCACMMAC=−−=，由正弦定理得sin7.5sin45sinsinsinsin15sin30MCACACMACMCMACAMCAMC===，所以()7.5sin4515(623)sinsin6035.48msin15si

n304MNMCMCN+===.故选：B8.已知函数()13221xxfxx+=++，若实数,ab满足()()22232fafb+−=，则21ab+的最大值为（）A.324B.2C.524D.724【答案】C【解析】【分析】首先由

题意推出2223ab+=，然后由基本不等式即可求解.详解】一方面由题意有【()()()11133221222221212122112xxxxxxxxxfxfxxx+−++−++−=++−+=+==+++++，另一方面若有()()2fxfy+=成立，结

合以上两方面有()()fxfy−=，且注意到()()13332211222212121xxxxxfxxxx++−=+=+=−++++，所以由复合函数单调性可得()fx在R上严格单调递增，若()()fxfy−=

，则只能xy−=，因此()()2fxfy+=当且仅当xy−=；又已知()()22232fafb+−=，所以22230ab+−=，即2223ab+=，由基本不等式得222222222255214222222ababab++++==，当且仅当

222202223aabab=++=，即10212ab==时，等号成立，所以21ab+的最大值为524.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现()()2fxfy+=当且仅当xy−=，从而得出2

223ab+=，从而由基本不等式即可顺利求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a，0b，且1a

，1b，若log1ab则下列不等式可能成立的是（）A.()()10bba−−B.()()10bab−−C.()()10−−abaD.()()10aab−−【答案】ABD【解析】【分析】分1a和0

1a两种情况，结合对数函数单调性以及不等式的性质分析判断.【详解】若1a，因为log1logaaba=，所以ba，则10,0,0abaab−−−，则()()10aba−−，()()10aab−−，故D正确；当1ba时，则10,0bba−−，可得()()10bba−−

，故A正确；当1ba时，则10,0bab−−，可得()()10bab−−，故B正确；若01a，因为log1logaaba=，所以ba；则10,0,0abaab−−−，则()()10ab

a−−，()()10aab−−，故D正确；综上所述：不能得到()()10−−aba，故C错误；故选：ABD．10.已知()()()()coscossin,sinsincosfxxxxgxxxx=−=−，则（）A.将()fx的图象向右平移π2个单位长度可得到()gx的图象B.()fx的图

象与()gx的图象关于直线π4x=对称C.()fx和()gx在5ππ,4上均单调递增D.()fx和()gx的值域均为1,1−【答案】BCD【解析】【分析】对于A，判断π2fx−与()gx是否相等即可；对于B，在()fx上任取一点(),

mn，验证π,2mn−是否在()gx上即可判断；对于C，5ππ,4x，对()fx和()gx进行化简在判断其单调性即可；对于D，对()fx和()gx去绝对值化简，使其变成分段函数，再根据三角函数的有界性求其值域即可判断.【详解】对于A，将()fx

图象向右平移π2个单位长度后所得图象对应的函数为：的πππcoscossin222yxxx=−−−−()()sinsincosxxxgx=−−=−，即()π2fx

gx−=−，因此A错误；对于B，任取()fx上一点(),mn，则()()coscossinfmmmmn=−=，其关于直线π4x=的对称点为π,2mn−，又()ππππsinsincoscoscossin2222gmmmmmmmn−=−−−−=−=

，即π,2mn−在()gx的图象上，所以()fx的图象与()gx的图象关于直线π4x=对称，因此B正确；对于C，在5ππ,4上，sin0,cos0xx，所以()()2coss

insin2,2sincossin2fxxxxgxxxx====，当5ππ,4x时，5π22π,2x，因为sinyt=在5π2π,2t上单调递增，故()fx和()gx在

5ππ,4上均单调递增，因此C正确；对于D，因为()()ππ0,2π,2π,22coscossinπ3πsin2,2π,2π,22xkkkfxxxxxxkkk−++=−=++ZZ，()()((0

,02π,π2π,sinsincossin2,π2π,2π2π,xkkkgxxxxxxkkk++=−=++ZZ，故()fx和()gx的值域均为1,1−，因此D正确.故选：BCD.11.已知函数()fx的定义域为R，且()()11fxfx+=−，()()2fxfx−=

−−，且当1,1x−时，()21fxax=+，则下列说法正确的是（）A.函数()1yfx=−为奇函数B.当3,5x时，()2814fxxx=−+C.()()()()123991ffff++++=D.若()()()9log1gxfxx=−+，则()gx恰有4个不同的零点【

答案】AC【解析】【分析】由对称性判断A，利用对称性求得a值后，结合已知等式求得[3,5]x时的函数表达式判断B，由已知确定函数的周期性，然后计算函数值的和()()()()12399ffff++++判断C，作出两函数()

yfx=与()9()log1hxx=+的图象，由图象确定交点个数（注意在8x=处需要结合导数的几何意义判断交点个数），判断D．【详解】因为()()2fxfx−=−−，所以()fx的图象关于()1,0−中心对称，从而(1)fx−的图象关于原点对称，故A正

确；因为()fx的图象关于()1,0−中心对称，所以()110fa−=+=，解得1a=−．所以当1,1x−时，()21fxx=−+，因为()()2fxfx−=−−，所以()()2fxfx=−−−，因为()()11fxfx+=−，所以()()2fxfx=−，所以()()22fxfx−=−−−

，即()()4fxfx=−−．当3,5x时，41,1x−+−，所以()()()22441815fxfxxxx=−−+=−−−++=−+，故B错误；因为()()4fxfx=−−−，所以()()()()84fxfxfxfx+=−+=−−=，所以()fx的周期

为8，又()1110f=−+=，()()201ff==，()()31110ff=−=−+=，()()401ff=−=−，()()510ff=−=，()()621ff=−=−，()()730ff=−=，()()841ff=−=，所以()()()

()()()()()()()()()()()123991212381231231ffffffffffffff++++=+++++++=++=故C正确；令()0gx=，即()()9log1fxx=+，

画出()yfx=与()9()log1hxx=+的图象，如图所示：因为()()98log81f=+，[1,1]x−时，2()1fxx=−+，()2fxx=−，(0)0f=，由周期性知(8)(0)0ff==，9()log(1)hxx=+，则1()(1)ln9hxx=

+，1(8)09ln9h=，即()()9880log1|xfx==+，8x=时，()hx的切线斜率大于()fx的切线斜率，所以两函数图象区间(7,9)上除了有公共点(8,1)外，在区间(7,8)上还有一个公共点，因此两函数

图象共有5个交点，所以()gx恰有5个不同的零点，故D错误．故选：AC．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0fx=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不

断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，

共15分.12.若命题“1,2x−，使得250xmxm+−−”是假命题，则m的取值范围是__________．【答案】()2,1−【解析】【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对

对称轴的位置进行讨论即可求解.【详解】由题意原命题的否定“1,2x−，使得250xmxm+−−”是真命题，在不妨设()2225524mmfxxmxmxm=+−−=+−−−，其开口向上，对称轴方程为2mx=−，则只需()fx在1,2−上的

最大值()max0fx即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当−𝑚2≤−1即2m≥时，()fx在1,2−上单调递增，此时有()()max210fxfm==−，解得1m，故此时满足题意的实数m不存在；情形二：当122m−−即42m

−时，()fx在1,2m−−上单调递减，在,22m−上单调递增，此时有()()()maxmax2,10fxff=−，只需()()2101240fmfm=−−=−−，解不等式组得21m−，故此时满足题意的实数m的范围为21m−

；情形三：当22m−即4m−时，()fx在1,2−上单调递减，此时有()()max1240fxfm=−=−−，解得2m−，故此时满足题意的实数m不存在；综上所述：m的取值范围是()2,1−.故答案为：()2,1−.13.已知函数()3sincos1(0)fxx

x=−−在区间()0,π上恰有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】71,3【解析】【分析】先根据辅助角公式化简，然后结合x的范围及正弦函数的性质即可得解.【详解】()π3sincos12sin16fxxx

x=−−=−−，令()π2sin106fxx=−−=，则π1sin62x−=，由()0,πx，得πππ,π666x−−−，因为函数()fx在区间()

0,π上恰有两个零点，所以05ππ13ππ666−，解得713，所以的取值范围是71,3.故答案为：71,3.14.已知正实数x，y满足lnelnxxyy=+，则xy的最大值为______．【答案】24e##24e−【解析】【分析】先变形同构，令

()()e0xfxxx=，利用导数讨论单调性，由单调性可得lnxxy=，然后可得2exxxy=，令()()20xxgxx=e，利用导数求最值即可.【详解】由lnelnxxyy=+得lnexxyy=，所以lnexxxxyy=，则lnelnexxyxxy=，因为0x，e0x，lne0xy

，所以ln0xy，令()()e0xfxxx=，则()()e10xfxx=+，所以()fx在()0,+上单调递增，所以由lnelnexxyxxy=，即()lnxfxfy=，得lnxxy=，所以exxy=，所以2exxxy=．令()()20xxgxx=e，所以

()()222eexxgxxxxx==−−，当02x时，()0gx，当2x时，()0gx，所以()gx在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，所以()()2max42gxg==e．故答案为：24e【点睛】难点点

睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到lnxxy=，进而可得2exxxy=，利用导数即可求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知2sin2cos4sin2cos+=+．（1）求sincoscos

2+的值；（2）若()π,0−，π0,2，且2tan6tan1−=，求2+的值．【答案】（1）15（2）3π24+=【解析】【分析】（1）根据题意化简可得1tan2=−，再根据同角三角函数的关系求解即可；（2）先求得()t

an21+=−，再根据正切函数值分析可得()20,π+，进而可得3π24+=.【小问1详解】因为2sin2cos4sin2cos+=+，所以()()2sincoscos20+−=，因为cos20−，所以2sincos0+=，所以1tan2=−，2

22222sincoscossintan1tan1sincoscos2sincostan15+−+−+===++．【小问2详解】由2tan6tan1−=，可得22tan1tan21tan3==−−，则()11tantan223tan21111tantan2123

−−++===−−−，因为π0,2，所以()20,π，又1tan23=−，则π2,π2，因为()π,0−，又1tan2=−，则π,02−，所以()20,π+，所以3π24+=．16.在锐角A

BCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且22222tantancABacb+=+−．（1）求角A的大小；（2）若2BC=，点D是线段BC的中点，求线段AD长的取值范围．【答案】（1）π4A=（2）(5,12+【解析】【分析】

（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得sinsinsincoscoscosCCABAB=，根据sin0,cos0CB，即可得出tan1A=，进而求解；（2）由余弦定理得

2224cbcb+−=，根据平面向量的线性运算得()12ADABAC=+，进而得出2212ADbc=+，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出π4sin2224bcB=−+，结合ππ42B，正

弦函数的性质即可求解．【小问1详解】因为22222tantancABacb+=+−，由余弦定理得22tantan2coscosccABacBaB+==，由正弦定理得()sinsinsinsinsincossincossintantansincoscoscosc

oscoscoscoscoscosABCABABBACABABABABABAB+++==+===，又ABCV是锐角三角形，所以sin0,cos0CB，所以sincosAA=，所以tan1A=，又π0,2A，所以π4A=．【小问2详解】由余弦定理可得222222cos

24acbcbAcbcb=+−=+−=，又()12ADABAC=+，所以()()222222111()22444ADABACABACABACcbbc=+=++=++()12422142bcbc=+=+，由正弦定理可得22sinsin

sinabcABC===，所以22sinbB=，3π22sin22sin2cos2sin4cCBBB==−=+，所以21cos2π42sin42sincos4222sin24sin22224BbcBBBBB−=+=+=−+，由题意得

π0,23ππ0,42BB−解得ππ42B，则ππ3π2,444B−，所以π2sin2,142B−，所以(42,422bc+，所以(25,322AD+，所以线段

AD长的取值范围为(5,12+．17.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，7cos25ABC=，且5ABPAPC===，点E是线段PD上的一点（不包含端点）.（1）求证：ACBE⊥；（2）若4PD=，直线BE与平面PCD所成角的正弦值为327，求DE的长.【答案】（1）

证明见解析（2）422−.【解析】【分析】（1）连接BD，与AC相交于点G，结合已知，有BDAC⊥，PGAC⊥，可证明AC⊥平面PBD，又BE平面PBD，得证ACBE⊥；（2）取DG的中点O，连接O

P，取CD的中点F，连接OF，以O为坐标原点，,,OFODOP的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，设DEDP=，由直线BE与平面PCD所成角的正弦值为327，求出的值，可求DE的长.【小问1详解】证明：连接BD，记BDACG=，连接PG.因为四边形ABCD是

菱形，所以BDAC⊥，G是AC的中点.在PAC中，G是AC的中点，PAPC=，所以PGAC⊥，又PGBDG=，,PGBD平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又BE平面PBD，所以ACBE⊥.【小问2详解】在ABCV中，7cos,525ABCA

BBC===，由余弦定理得2222cos36ACABBCABBCABC=+−=，即6AC=，易得22228BDBGABAG==−=.取DG的中点O，连接OP，取CD的中点F，连接OF.因为8BD=，所以4DG=.在PGC中，5,3,PCGC

PGGC==⊥，所以224PGPCGC=−=.又4PD=，所以PDPGDG==，所以PODG⊥.因为AC⊥平面,PBDPO平面PBD，所以ACPO⊥，又//OFGC，所以OFPO⊥.由BDAC⊥，有BDOF⊥，以O为坐标原点，,,OFODOP的方向分

别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.所以()()()0,6,0,3,2,0,0,2,0BCD−−，4PDPGDG===，23OP=，()0,0,23P，所以()()3,4,0,0,2,23DCDP=−=−.设平面PCD的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则34022

30nDCxynDPyz=−==−+=，令4x=，解得3,3yz==，所以平面PCD的一个法向量()4,3,3n=.设()0,2,23(01)DEDP==−，所以()0,82,23BEBDDE=+=−.设直线BE与平面PCD所成角的大小为，所以222466sin

cos,1693(82)(23)BEnBEnBEn−+===++−+2332,771428==−+解得222−=或222+=（舍），所以2244222DEDP−===−，即DE的长为422−.18.已知椭圆C：()

222210+=xyabab的左、右顶点分别为A，B，其离心率为63，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且PAB面积的最大值为33．（1）求C的方程；（2）若点O为坐标原点，直线AP交直线4x=于点G，过点O且与直线BG垂直的直线

记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断BEBF是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22:193xyC+=；（2）是定值，43BEBF=.【解析】【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程；（2）设1

12(,),(4,)PxyGy，且(3,0),(3,0)AB−，求得117(4,)3yGx+，再根据已知可得直线113:7xlyxy+=−，而直线11:(3)3yBPyxx=−−，进而求出,EF坐标，过F作FHy⊥轴，利用等比例关系求BEBF即可得结

论.【小问1详解】由题意2226331233326caababcabc======+，故22:193xyC+=.【小问2详解】由（1）及题设知：(3,0),(3,0)AB−，直

线,APBP的斜率存在且不为0，设112(,),(4,)PxyGy，则12121173433yyyyxx==+++，即117(4,)3yGx+，所以2117433BGyykx==−+，又过点O且与直线BG垂直的

直线记为l，则1137lxky+=−，故直线113:7xlyxy+=−，而直线11:(3)3yBPyxx=−−，则113(0,)3yEx−−，联立1122111137(9)7(3)(3)3xyxyxxyxyyxx+=−−=−=−−，而221139xy+=，可

得214Fx=，所以113(3)4Fxyy+=−，故113(3)21(,)44xFy+−，过F作FHy⊥轴，如图，所以4473BEOBBEBEBFFHBF===+为定值.19.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，

具体如下.如果函数()yfx=满足如下条件：①在闭区间,ab上的图象是连续的；②在开区间(),ab上可导.则在开区间(),ab上至少存在一个实数，使得()()()fbfafba−=−成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.（1）已知()()12ln,,1,3fxxmxabx=+

+且ab，（i）若()()1fafbab−−恒成立，求实数m的取值范围；（ii）当10m−时，求证：()()2233fafbabf++.（2）已知函数()()elne0xxagxxaxax=+−有两个零点，记作12,xx，若1202

xx，证明：122e32xx+【答案】（1）（i）)0,+；（ii）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（i）法一：构造函数()()1lnHxfxxxmxx=−=++，利用函数单调递增，则()2110mHxxx=−+在()1,3上恒成立，然后转化

为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值定理知，()()1fafbab−−恒成立()0,xab，使得()()()0fafbfxab−=−，将问题转化为()01fx恒成立，在对其进行求解即可；（ii）将()()()()2222

223333fafbabababffbfffa++++−−，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可；（2）由函数()elnexxagxxaxx=+−有两个零点，转化为方程eeln10xxaaxx+−=有2个根，

构造函数()()ln10xxxx=+−，即函数𝜑(𝑥)有两个零点，然后求导借助函数的单调性和最值确定两个零点的范围，即可求解.【小问1详解】（i）解：法一：由()()1fafbab−−，且ab化简得()()fafbab−−，即()()faafbb−−，令()()1ln

Hxfxxxmxx=−=++，可知()Hx在()1,3上单调递增，则()2110mHxxx=−+在()1,3上恒成立，即1mxx−在()1,3上恒成立，令()1hxxx=−，显然ℎ(𝑥)在()1,3上单调递减，所以()10mh=，即0m，故实数m的取值范围为)

0,+.法二：由拉格朗日中值定理可知，()0,xab，使得()()()0fafbfxab−=−，故问题转化为()01fx恒成立.又()212mfxxx=−+，则()0200121mfxxx+=−恒成立，即001mxx−恒成立，因为()()0,1,3xab，故

令()1Pxxx=−，显然()Px在()1,3上单调递减，所以()()()1,3,10xPxP=，所以0m，故实数m的取值范围为)0,+.（ii）证明：要证()()2233fafbabf++，即证()()2

233abfafbf++，即证()()222233ababfbfffa++−−，又2133abab+，由拉格朗日中值定理可知，存在1222,,,33ababab++，()()()22233baa

bfbff−+−=，()()()()1122222333baabbaffaff−+−−==.由题意知()212mfxxx=−+，当10m−时，𝑓′(𝑥)在()1,3上单调递增，则()()21ff，

故()()()()212233babaff−−，即()()222233ababfbfffa++−−，所以命题得证.【小问2详解】函数()elnexxagxxaxx=+−有两个零点，即方程elne0xxaxaxx+−=有两个根，即方程eeln

10xxaaxx+−=有2个根.令()()()1ln10,10xxxxxx=+−=+，所以𝜑(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，且()10=，即方程e1xax=有2个根，且这两根即为方程eeln10xxaaxx+−=的根，所以1212eexxaxax==，则1221eexxxt

x==，则由1202xx，得12121210,,,eeln2xxtxtxtxxt==−=，所以22lntxxt−=，则212lnln,11tttxxtxtt===−−，要证122e32xx+，即证1225ln2x

x+，又()122ln21ttxxt++=−，令()()()223ln12ln,1(1)tttttmtmttt−+−++==−−，令()()()()22122323ln1,1ttutttuttttt−−=−+−+=−++=，又10,2t

，所以()0ut，故()ut在10,2上单调递增，所以()1150,,3ln20222tutu=−，所以()0mt，故()mt10,2上单调递减，所以()15ln22mtm=，即1225ln2xx+

，即122e32xx+，所以不等式得证.【点睛】关键点点睛：（1）对于第一问和第二问关键是理解拉格朗日中值定理，借助定义进行求解即可；（2）第三问是函数“隐零点”问题，解决这类题的方法是对零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目中的条件解决问题.在