【文档说明】北京市东城区2022-2023学年高三下学期综合练习（一）数学试题 答案终稿.docx，共(7)页，417.378 KB，由小赞的店铺上传

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-北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）B（5）C（6）B（7）A（8）

D（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(0,1]（12）2（13）2214yx−=(答案不唯一)（14）111424n−（15）3②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sinsin

()3fxxx=++=13sinsincos22xxx++=33sincos22xx+=3sin6x+（）所以()fx的最小正周期为2………………6分（Ⅱ）由题设，()()3sin()3sin()66yfxfxxx=−+=+−++，由6x=是该函数零点可知，3si

n()3sin(+)06666+−+=，即3sin()32+=.故+=+2,33kkZ或+=+2,33kkZ，解得2,kk=Z或23k=+kZ.因为

0，所以的最小值为3.………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机

选取一次，该次成绩超过90分的概率为413．…3分（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3.133346CC1(1)5CPX===；223346CC3(2)5CPX===；313346CC1(3).5CPX===则随机变量X的分布列为：X123P15

3515故随机变量X的数学期望1311232555EX=++=．………11分（Ⅲ）EXEY．………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）连接1AD，11BD，BD.因为长方体1111ABCDABCD−中,1BB∥1DD且11BBDD=，所以四边形11BBDD为平行

四边形.所以E为1BD的中点，在△1ABD中，因为E，F分别为1BD和AB的中点，所以1EFAD.因为EF平面11ADDA，1AD平面11ADDA，所以EF平面11ADDA.………………6分（II）选条件①：1CEBD⊥.(ⅰ)连接1BC.因为长方

体中12AAAD==，所以122BC=.在△1CBD中,因为E为1BD的中点，1CEBD⊥，所以122CDBC==.xyz如图建立空间直角坐标系Dxyz−，因为长方体中12AAAD==,22CD=，则(0,0,0)D，(2,

0,0)A，(0,22,0)C，(2,22,0)B，(2,2,0)F，1(2,22,2)B，(1,2,1)E.所以(1,2,1)CE=−，(2,2,0)CF=−，(2,0,0)CB=.设平面CEF的法向量为111(,,)

xyz=m，则0,0,CECF==mm即1111120,220.xyzxy−+=−=令11x=，则12y=，11z=，可得(1,2,1)=m.设平面BCE的法向量为222(,,)xyz=n，则0,0,CECB==nn即222220,20.xyzx−+=

=令21y=，则20x=，22z=，所以(0,1,2)=n.设平面CEF与平面BCE的夹角为，则||6cos|cos,|.||||3===mnmnmn所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为63.(ⅱ)因为(0,2,0)AF=，所以点

A到平面CEF的距离为||1||AFd==mm.………………15分选条件②：1BD与平面11BCCB所成角为4.连接1BC.因为长方体1111ABCDABCD−中，CD⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以1CDBC⊥.所以1DBC为直线1BD与平面11BCCB所成角，即1

4DBC=.所以△1DBC为等腰直角三角形.因为长方体中12AAAD==，所以122BC=.所以122CDBC==.以下同选条件①.（19）（共15分）解：（Ⅰ）当0a=时，()lnfxxx=−，定义域为(0,)+.()ln1fxx=−−，令()0fx=，得1ex=，当1(0

,)ex时，()0fx，当1(,+)ex时，()0fx，所以()fx的单调递增区间为1(0,)e.………………5分（Ⅱ）令()()2ln1hxfxaxx==−−，则121()2axhxaxx−=−=.当e2a时，令()0hx=，得12xa=.当1(0,)2xa时，(

)0hx，()hx单调递减；当1(,)2xa+时，()0hx，()hx单调递增；所以当12xa=时，()hx最小值为()ga=1()ln(2)2haa=.当e2a时，ln(2)a的最小值为1，所以()ga的最小值

为1.………………11分（III）由（Ⅱ）知()fx在11[,]42aa上单调递减，在13[,]24aa上单调递增,又313()ln424faa=−，111()ln424faa=−−，所以13(ln(2),ln)24Maa=−，11(ln(2),ln)24Naa=−−，111331(

ln)(ln)lnln1ln310242444aaaa−−−−=−−=−，所以M⫋N.………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得2221,6,3.bcaabc===+解得3a=.所以椭圆E的方程为

2213xy+=．………………5分（Ⅱ）直线BC的方程为1(3)ykx−=+．由221(3),33ykxxy−=++=得2222(31)(636)9630kxkkxkk+++++=．由2222(636)4(31)(963)0kkkkk=+−++，得0k．设1122(,),(,

)BxyCxy，则212263631kkxxk++=−+，212296331kkxxk+=+．直线AB的方程为1111yyxx−=+．令0y=，得点M的横坐标为11111(3)Mxxxykx=−=−−+．同理可得点N的横坐标为22221

(3)Nxxxykx=−=−−+．12121()33MNxxxxkxx+=−+++1212121223()13()3xxxxkxxxx++=−+++222222229636362()3()131319636363()33131kkkkkkkkkkkkk+++−++=−+++−++

+163233kk=−=−．因为点D坐标为(3,0)−，则点D为线段MN的中点，所以12MDMN=．………………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表22A为141424233231，，，所以1112aa+的值分别为5，5，6.…………5分

（Ⅱ）若当11121naaa+++取最大值时，存在1jn，使得22jan=.由数表2nA具有性质P可得j为奇数，不妨设此时数表为1112122222nnnaaaAnaa=.①若存在1(1)kakkn为

偶数，，使得111kaa，交换1ka和2n的位置，所得到的新数表也具有性质P，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1in，使得12ian=.②若对任意的1(1)kakkn为偶数，，都有111kaa，交换12a和11a的位置，所得

到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)kkn，使得12kan=.………………10分（Ⅲ）当n为偶数时，令2nk=，对任意具有性质P数表11121221222nnnaaaAaaa=，一方面，1222

14241,22,2()()()(41)(43)(21)kkaaaaaakkk−+−++−−+−+++≤，因此212141,222242,2()()3kkaaaaaak+++++++≤．①另一方面，211(

1351)iiaain−=−，，，，≥，因此11131,2121232,21()()kkaaaaaak−−++++++−≤.②记111121,2221222,2,nnSaaaSaaa=+++=+++．由①+②得2123SSkk+−≤.又21282SSkk+=+，可得21112k

kS+≤.构造数表2143415427433231312142638413nkkkkkkkkkkkAkkkkkkk++−+−+−+−+=++++−可知数表2nA具有性质P，且2211111228kknnS++==.综

上可知，当n为偶数时，11121naaa+++的最大值为21128nn+.………………15分