【文档说明】浙江省杭州市钱塘联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.291 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期钱塘联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答

案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间直角坐标系中，点()1,2,3Q关于yOz平面的

对称点是（）A.()1,2,3−−B.()1,2,3−C.()1,2,3−D.()1,2,3−【答案】C【解析】【分析】关于yOz平面对称，则横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得到答案.【详解】()1,2,3Q关于yOz平面的对称点为()1,2,3−.故选：C2.高二年级

有男生310人，女生290人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有31人，则该样本的样本容量为（）A.30B.40C.50D.60【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样

的意义列式计算作答.【详解】由题意样本容量为()3131029060310+=.故选：D.3.在下列条件中，点G与点A，B，C一定共面的是（）A.2OGOAOBOC=−+B.0OGOAOBOC+++=

C.20GAGBGC++=D.111532OGOAOBOC=++【答案】C【解析】【分析】根据共面可得出(1)OGxyOAxOByOC=++−−，据此可排除ABD，只有C满足.【详解】若点G与点A，B，C共面，则,,GAABAC共面，从而存在实

数,xy使得GAxAByAC=+，即()()OAOGxOBOAyOCOA−=−+−，(1)OGxyOAxOByOC=++−−，11xyxy++−−=，而AD选项都不满足，故AD错误；对B，由0OGOAOBOC+++=，可得OGOAOBOC=−−−，因为1

111−−−，所以B错误；对C，20GAGBGC++=可得()20OGOAOGOBOGOC−+−+−=，化简可得111442OGOAOBOC=++，满足1111442++=，故选：C4.已知一组数1x，2x，3x，4x的平均数是2x=，方差22s=，则数据121x+，2

21x+，321x+，421x+的平均数和方差分别是（）A.3，4B.2，8C.2，4D.5，8【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.【详解】由题意可得：数据121x+，221x+，321x+，421x+的平均数为

215+=x，方差是248s=.故选：D.5.已知直线1:21lxmy+=，2:82lmxym+=−，则“4m=−”是“12ll∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由直线的位置关系与充分必要条件的概念求解，【详解】令22

8m=得4m=，当4m=时1:241lxy+=，2:482lxy+=，12,ll重合，当4m=−时，12ll∥，故“4m=−”是“12ll∥”的充要条件，故选：C6.已知向量a在向量b上的投影向量是32b−，且(1,1,1)b=−，则ab=（）A.32−B.32C.332−

D.332【答案】C【解析】【分析】根据向量a在向量b上的投影向量求出cosa，代入ab的定义式即可.【详解】()2221113b=++−=，设向量a在向量b夹角为，所以向量a在向量b上的投影向量为cos3cos2ababbbb==−，所以3cos2a=−，所以3c

os32abab==−.故选：C.7.已知A是椭圆()222210xyabab+=的上顶点，若过A的直线l与圆222xyc+=相切，且l的倾斜角为120，则椭圆的离心率是（）A.55B.33C.12D.63【答案】A【解析】【分析】根据斜率和点得直线方程，根据相切，结合点到直线的距离公式

即可得2bc=，进而可得225acbc=+=求解.【详解】由题意可得()0,Ab,tan1203lk==−，的所以l的方程为3yxb=−+，圆心()0,0到l的距离等于半径，即22bcbc==，所以225acbc=+=，故1555cea===，故选；A8.在平面直角坐标系xOy中，圆O

：()2220xyrr+=与圆M：()()222324xy−++=相交于A，B两点，若对于直线AB上的任意一点P，均有0POPM成立，则半径r的取值范围是（）A.2,25B.)25,6C.23,25D.()2,6【答案】B

【解析】【分析】根据题意可知OM，与直线AB位置关系，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围．【详解】圆O的圆心为()0,0O，半径为r，圆M的圆心为()23,2M−，半径为2．∴()222+234OM=−=，∵圆O与圆M相交，∴26r

．∵对于直线AB上任意一点P，均有0POPM成立，又OMAB⊥，当直线AB过点M时，2225OAMAOM=+=．∴256r．故答案为：)25,6．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线330xy−−=在x轴上的截距为1B.直线310xy−+=的倾斜角120C.直线()30Rmxym++=必过定点()0,3−D.点()5,3−到直线20y+=的距离为1【答案】A

CD【解析】【分析】根据直线的相关概念和定义逐个判定即可.【详解】对于A：当0y=时解得1x=，所以直线330xy−−=在x轴上的截距为1，A正确；对于B：直线310xy−+=的斜率3k=，所以tan3=，又)0,180，所以60=，B错误；对于C：直线()30Rmxym++=

满足当0x=时无论参数m取什么值时，=3y−恒成立，所以过定点()0,3−，C正确；对于D：点()5,3−到直线20y+=的距离为3211d−+==，D正确，故选：ACD10.教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中

指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”.提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直

方图如图所示，则下列结论中正确的是（）A.样本的众数为67.5B.样本的80百分位数为72.5C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60kg的学生大约为300人【答案】ABD【解析】【分析】根据众数的估计方法判断A；根据8

0百分位数的求法可判断B；根据平均值的估计方法判断C；根据频数的计算方法判断D.【详解】对于A，由频率分布直方图可得样本的众数为657067.52+=，正确；对于B，由于(0.030.050.06)50.700.8++=，(0.030.050.060

.04)50.900.8+++=，故设样本的80百分位数为x，则0.70(70)0.040.8,72.5xx+−==，正确；对于C，样本的平均值为57.50.1562.50.2567.50.3072.50.2077.50.1066.75++++

=，错误；对于D，该校男生中低于60kg的学生大约为20000.035300=（人），正确，故选：ABD11.先后两次郑一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次郑出的点数之和是6”，B表示事件“第二次郑出的点数是偶数”，C表示事件“两次郑出的

点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.事件A，C为互斥事件B.事件B，D为对立事件C.()34PD=D.事件B，C为相互独立事件【答案】CD【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，写出基本事件空间判断CD.【详解】因为A事件包含两次掷出点数分别为（3，3

），所以事件A，C可以同时发生，故A错误；因为事件“第二次郑出的点数是偶数”与事件“至少出现一个奇数点”可以同时发生，如事件（1,2），故B错误；因为基本事件空间为{(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(1,5),(1,

6)，(2,1),(2,2),(2,3)(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3)(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3)(5,4

),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3)(6,4),(6,5),(6,6)}，共36个基本事件，至少出现一个奇数的事件共有27个，所以()273364PD==，故C正确；因为根据C选项可知，31()3612PBC=

=，181()362PB==，61()366PC==，所以()()()PBCPBPC=，故D正确.故选：CD12.已知长方体1111ABCDABCD−的棱2ABAD==，11AA=，点P满足：1APABADAA=++，,,0,1，下列结论正确的是（）A.当1=，0γ=时，P

到11AD的距离为3B.当1=时，点P到平面11BDDB的距离的最大值为2C.当1==，12=时，四棱锥11PBBDD−的体积为43D.当0,1==时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为24【

答案】BCD【解析】【分析】由向量关系判断P所在位置或所在区域，根据长方体特征结合点线面距离判断AB，根据棱锥体积公式判断C，由线面角定义判断D.【详解】如图，.A：APABAD=+，则ADAPABBP=−=，即ADBP∥，故P在BC上运动，所

以P到11AD的距离即棱BC与11AD的距离22215+=，故A错误；B：1APABADAA=++，则1ABAAAPADDP+=−=，故P在面11DCCD上运动，所以，当P在1CC上时，P的到平面11BDDB的距离最大，而11CCDD∥，1CC面11BDDB，1DD面11B

DDB，则1CC∥面11BDDB，所以，由长方体结构特征，最大值问题转化为C到BD的距离h，22BD=，则2BCDChBD==，故B正确；C：111122APABADAAACAA=++=+，则112AAAPACCP=−=

，故P为1CC中点，如下图，11172PBPDPDPB====，113BDBD==，111DDBB==所以11PBBDD−的底面为矩形，顶点P在11BBDD的投影为底面中心，即1DB，1BD的交点E，∴1114221233

PBBDDV−==，故C正确；D：1APADAA=+，则1AAAPADDP=−=，故P在1DD上运动，根据长方体可知PBD为线面角，所以当P与1D重合时，直线PB与面ABCD所成角正切值的最大值为112422DDBD==，故D正确

；故选：BCD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.高二某位同学参加物理、政治科目学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为56，13，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至

少得1个A的概率为______.【答案】89【解析】【分析】根据给定条件利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，这位考生至少得1个A的对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为511211163639−−==

，的所以这位考生至少得1个A的概率为18199P=−=.故答案为：8914.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点()1,2,0D，向量()1,1,7m=，m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为______.【答案】1【解析】【分析】根据点面距离的向量公式计算即可.【详解】(1

,2,0)OD=，()1,1,7m=为平面DEF的一个法向量，12313117ODmdm+====++，即点O到平面DEF的距离为1.故答案为：115.过点()0,2−与圆22420xyx+−+=相切的两条直线的夹角为，则sin=______.【答案】

32【解析】【分析】利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2，cos2，再利用二倍角正弦公式即可求解．【详解】由22420xyx+−+=可得22(2)2xy−+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A−，设切点为M，N,22AB=，2BM=，故6AM=，21sinsin222

2BMMABAB====，63cos2222AMAB===，133sin2sincos222222===.故答案为：3216.椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F，上顶点为A，若存在直线l与椭圆交于不同两点B，C，ABC的重心为F，直线

l的斜率取值范围是______.【答案】3,02−【解析】【分析】根据点差法求出直线斜率，再由重心及均值不等式求最值即可得解.【详解】设椭圆22221xyab+=的半焦距为c，由已知(),0Fc−，()0,Ab

设()11,Bxy，()22,Cxy，因为ABC重心为F，所以1203xxc++=−，120yyb++=，所以123xxc+=−，12yyb+=−，又22112222222211xyabxyab+=+=，两式相减可得：()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+

−+=，所以()()21212212120bxxyyayyxx+−+=+−，所以直线l的斜率()()2122222123332bxxbcbckayyabc+=−=−=−−++，当且仅当bc=时等号成立，又230bcka=−，所以直线l的斜率取值范围是3,02−.故答案为

：3,02−四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的三个顶点是()1,2A，()1,4B−，()4,5C，求：（1）AC边上的中线所在直线的方程；（2）BC边

上的高所在直线的方程.【答案】（1）7270xy+−=（2）570xy+−=.【解析】【分析】（1）根据中点及B求所在直线的斜率求解；（2）根据高所在直线斜率求解即可.【小问1详解】设AC中点为D，则57,22D，所以7412571

2BDk−==−−−，所以中线所在直线方程为()1417yx−=−+，即7270xy+−=.【小问2详解】因为541415BCk−==+，所以BC边的高所在直线1l的斜率为5−，所以BC边上高所在直线为()251yx−=−−，即直线

方程为570xy+−=.18.如图，在正四面体OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且3AGGE=（1）试用向量OA，OB，OC表示向量OG；（2）若正四面体的边长为2，求OGAB的值.【答案】（1）133488=++OGOAOBOC（2）14【解

析】【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；（2）根据空间向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.【小问1详解】解：因为点E是线段BC的中点，G在AE上，且3AGGE=,根据向量的线性运算法则，可得：34OGOAAGOAAE=++=()()313428

OAABACOAOBOAOCOA=++=+−+−133488OAOBOC=++，即133488=++OGOAOBOC.【小问2详解】解：因为正四面体的边长为2，且,,,60OAOBOAOCOBOC===，可得2OAOB==，且22cos602OAOBOAO

COBOC====，由（1）可得知()133488OGABOAOBOCOBOA=++−22113333448888OAOBOAOBOAOBOCOBOCOA=−+−+−2211333312222224448888=−

++−−=.19.已知点()1,2A−，()1,4B−，求：（1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程；（2）直线10xy−+=被过点A，B且圆心在直线240xy−−=上的圆所截得的弦长.【答案】（1）()22110xy

+−=（2）62【解析】【分析】（1）当AB为直径时满足题意，求出圆的方程即可；（2）由题意求出圆的方程，再由圆心距、半径、半弦长的关系求弦长.【小问1详解】当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点()0,

1为圆心，半径1102rAB==，则圆的标准方程为()22110xy+−=.【小问2详解】AB的斜率为3k=−，则AB的垂直平分线的方程是113yx−=，即330xy−+=，由圆心在直线240xy−−=

上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是()3,2C.()()22132225rAC==−+−−=.故所求圆的标准方程是()()223220xy−+−=.圆心()3,2C到直线10xy−+=的距离32122d−+==，弦长222220262lrd=−=

−=.20.在平面直角坐标系xOy中，已知点()13,0F−，()23,0F，点P满足1226PFPF+=.记P的轨迹为M.（1）求M的方程；（2）直线30xy+−=交M于A，B两点，C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对

角线CDAB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.【答案】（1）22163xy+=；（2）863【解析】【分析】（1）由椭圆的定义得到轨迹方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出463AB=，设直线CD的方程为yx

n=+，设()33,Cxy，()44,Dxy，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式和位置关系得到5333n−，表达出2493CDn=−，四边形ACBD的面积28699Sn=−，求出最大值.【小问1详解】因

为12122623MFMFFF+==，由椭圆定义，轨迹C是以点()13,0F−，()23,0F为焦点，长轴长为26的椭圆，设椭圆方程为()222210xyabab+=，则226a=，∴6a=又∵3c=，则2223bac=−=，∴椭圆C的方程为22163xy+=

；【小问2详解】由2230163xyxy+−=+=，解得43333xy==−或03xy==，因此22433463333AB=+−−=.设直线CD的方程为yxn=+，设()33,Cxy，()44,Dxy.由2216

3yxnxy=++=得2234260xnxn++−=()22Δ1612260nn=−−，故33n−.又AB，CD的交点在A，B之间，故5333n−.因为直线CD的斜率为1，所以222432294911233CnxxDn−==−+−=.又四边形ACBD的面积218

6929SCDABn==−，当0n=时，S取得最大值，最大值为863，所以四边形ACBD面积的最大值为863.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意

义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.如图，三棱柱111ABCABC-，底面ABC是边长为2的正三角形，11AAAB=，平面ABC⊥平面11AACC．.（1）证明：1AC⊥平面ABC；（2）若

BC与平面1AAB所成角的正弦值为64，求平面1AAB与平面11BBCC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）平面1AAB与平面11BBCC所成角的余弦值为34.【解析】【分析】（1）取AB的中点O，AC的中点H，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到1BHAC⊥，再证明出1ACA

B⊥，从而得到1AC⊥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，设1ACa=，然后算出直线BC的方向向量和平面1AAB的法向量坐标，然后可求出a，然后再算出平面11BBCC的法向量坐标，然后可算出答案.【小问1详解】如图，取AB中点O，AC的中点H，连接OC，1OA

，BH，因为ABBC=，H是AC的中点，所以BHAC⊥，平面ABC⊥平面11AACC，平面ABC平面11=AACCAC，BH平面ABC，所以BH⊥平面11AACC，又1AC平面11AACC，所以1BHAC⊥，因11AAAB=

，ACBC=，O是AB的中点，所以1OAAB⊥，OCAB⊥，又1=OAOCO，1,OAOC平面1AOC，所以AB⊥平面1AOC，的因为1AC平面1AOC，1ACAB⊥.又BHABB=，,BHAB平面ABC，所以1AC⊥平面ABC.【小问2详解】以O为坐标原点，OB，OC分别为x，

y轴，平行1AC为z轴，建系如图所示，设1ACa=，则()1,0,0A−，()1,0,0B，()0,3,0C，()10,3,Aa，()=1,3,0BC−，()2,0,0AB=，()1=1,3,AAa设平面1AAB的法向量为()11

1,,mxyz=，11111=03020=0mAAxyazxmAB++==，取13z=−可得，110,xya==所以()0,,3ma=−为平面1AAB的一个法向量，设BC与平面1AAB所成的角为，则236sin

cos,423aBCma===+，解得3a=，从而()0,3,3m=−，()11==1,3,3BBAA，设平面11BBCC的法向量为()222,,xnyz=，222122330=0=030xyznBBnBCxy

++=−+=，取23x=可得，221,2yz==−，所以()3,1,2n=−，所以()()0331323cos,4622nm++−−==，设平面1AAB与平面11BBCC夹角为，所以3cos=cos,4nm=

，所以平面1AAB与平面11BBCC所成角的余弦值为34.22.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左顶点为()2,0A−，焦距为23.动圆D的圆心坐标是()0,2，过点A作圆D的两条切线分别交椭圆于M和N两点，记直线AM、AN的

斜率分别为1k和2k.（1）求证：121kk=；（2）若O为坐标原点，作OPMN⊥，垂足为P.是否存在定点Q，使得PQ为定值？【答案】（1）证明见解析（2）存在点5,03Q−【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得,ab的值，得出椭圆的方程，结合直线与圆相切，转化为1k和2

k是方程()2224840rkkr−−+−=的两根，结合韦达定理，即可求解；（2）设点()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程组，分别求得点222284,4141kkMkk−++和点222284,44kkNkk−++，得出直线MN的方程，结

合椭圆的对称性，化简得到()20040123100xkx+++=，进而得到0x的值，即可求解.【小问1详解】解：由题意知，椭圆C的左顶点为()2,0A−，焦距为23，可得2222223acabc===+，解得224,1ab==，所以故椭圆C方程为2214xy+=，设

过点A与圆D的切线的直线为()2ykx=+，动圆的半径为r，则2221krk−=+化简得()2224840rkkr−−+−=，所以1k和2k是方程()2224840rkkr−−+−=的两根，由韦达定理知，121kk=.【小问2详解】解：设

点()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程组()22214ykxxy=++=，整理得()222214161640kxkxk+++−=，则()212164241kxk−−=+，得2122841kxk−=+，12441kyk=+，所

以222284,4141kkMkk−++因为121kk=，所以将k换成1k，可得222284,44kkNkk−++，则直线MN的斜率()2222222443414282841414kkkkkkkkkkk−++==−−+−++所以直线

MN的方程为()22224328414141kkkyxkkk−−=−+++由椭圆的对称性可知，直线MN必过轴上一定点()0,0Ex所以()2022243280414141kkkxkkk−−=−+++，化简得()20040123100xkx+++=这是一个与k无关的

方程，所以0103x=−，即直线MN过定点10,03E−.因为OPMN⊥，所以点P的轨迹是以OE为直径的圆上的一段弧，的故存在点5,03Q−，使得PQ为定值.【点睛】方法点拨：对于圆锥曲线中的定

点、定值问题的求解策略：（1）对于定点、定值问题，可考虑能否用特殊点或特殊值求得定点或定值，再把结论推广到一半结论；（2）运用函数与方程的思想方法进行解答，一把步骤：①选择适当的变量；②把要证明的顶点、定值的量表示为上述变量的函数或方程；③把定点、定值的

量化成与变量无关的结构形式，从而加以判定或证明.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com