【文档说明】北京市第三十五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.116 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第三十五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024.10行政班______________教学班___________姓名__________学号____________试卷说明：

试卷分值共120分，考试时间90分钟．一.选择题(共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处)1.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,mn则//mnB.若m⊥，

n，则mn⊥C.若m⊥，mn⊥，则//nD.若//m，mn⊥，则n⊥【答案】B【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2.下列说法正确的是（）A.任何三个不共线的向量可构成空

间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.任一个向量p在基底,,abc下的分解式与在基底,,efg下的分解式相同【答案】C【解析】【分析】借助空间向量基底定义与性质逐项

判断即可得.【详解】对A：任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，故A错误；对B：空间的基底有且无数个，故B错误；对C：两两垂直的三个非零向量不共面，故可构成空间的一个基底，故C正确；对D：由于基底不唯一，故不一定相

等，故D错误.故选：C.3.若直线l的方向向量为(1,2,3)a=−,平面的法向量为(3,6,9)n=−−,则A.lB.//lC.l⊥D.l与相交【答案】C【解析】【分析】由已知得an，从而得到l⊥．【详解】解：∵直线l的方向向量为()1,2,3a=−，平面的法

向量为()3,6,9n=−−，∴13an=−，∴an，∴l⊥．故选C．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4.如图，已知斜三棱柱111ABCABC−，设1,,.,ABaACbAAcMN===分别为1AC与

BC的中点，则MN=（）A.1122ac−+B.1122abc++C.111222abc+−D.1122ac−【答案】D【解析】【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为()111111222222ANABBNABBCABACAB

ACABba=+=+=+−=+=+，()()1111111122222AMACACCCACAAbc==+=+=+，111111222222MNANAMbabcac=−=+−+=−.故选：D.5.已知空间三点(

)()()1,3,2,2,5,1,1,7,ABCpq−+共线，则p和q值分别是（）的A.3，6B.2，4C.1，4D.2，6【答案】B【解析】【分析】得到AB，AC后借助空间向量共线计算即可得.【详解】()1,2,3AB=，(),4

,2ACpq=+，则有12342pq==+，解得2p=，4q=.故选：B.6.在正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】

平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB⊥平面1111DCB

A，所以11BBPC⊥，又111PCBD⊥，1111BBBDB=，所以1PC⊥平面1PBB，所以1PCPB⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB===，1111sin2PCPBCBC==，所以16PBC=.故

选：D7.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BACE=（）A.1B.－1C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】由()BACEBACAAEBACABAAE=+=+求解即可．【详解】CECAAE=+，所以()22co

s6021cos1201BACEBACAAEBACABAAE=+=+=+=．故选：A．8.已知长方体1111ABCDABCD−中，2AB=，11ADAA==，则直线1BD与平面11BCCB所成角的正弦值为（）A.

33B.22C.63D.12【答案】C【解析】【分析】根据11DC⊥平面11BCCB找到线面角，进而求出答案.【详解】如图，根据题意，11DC⊥平面11BCCB，所以11DBC是1BD与平面11BCCB所成的角，由勾股定理易得：()2

22211112,226BCBD=+==+=，所以111112636sinDCBCDDB===.故选：C.9.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11AB上的一点，且1(02)AM=，设点N为

ME的中点，则点N到平面1DEF的距离为（）A.3B.22C.23D.55【答案】D【解析】【分析】由几何体为正方体，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量n，结合向量

的点到平面距离公式求得点M到平面D1EF的距离，结合N为EM中点即可求解【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），1ED＝（﹣2，0，1），EF＝（0，2，0

），EM＝（0，λ，1），设平面D1EF的法向量n＝（x，y，z），则12020nEDxznEFy=−+===，取x＝1，得n＝（1，0，2），∴点M到平面D1EF的距离为：d＝||225||55EMnn==，N为EM中点，所以N到该面的距

离为55故选：D．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题10.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为111,BDBC的中点，点P在正方体

的表面上运动，且满足MPCN⊥，则下列说法正确的是（）A.点P可以是棱1BB的中点B.线段MP的最大值为32C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+5【答案】D【解析】【分析】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD方向为x轴

、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MPCN⊥，确定点P的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,MN分别为111,B

DBC的中点，则()0,0,0D，111,,222M，1,1,12N，()0,1,0C，所以1,0,12CN=，设(),,Pxyz，则111,,222MPxyz=−−−，因为MPCN⊥，所以1110222xz−+−=，243

0xz+−=，当1x=时，14z=；当0x=时，34z=；取11,0,4E，11,1,4F，30,1,4G，30,0,4H，连接EF，FG，GH，HE，

则()0,1,0EFGH==，11,0,2EHFG==−，所以四边形EFGH为矩形，则0EFCN=，0EHCN=，即EFCN⊥，EHCN⊥，又EFEHE=，且EF平面EFGH，EH平面EFGH，所

以CN⊥平面EFGH，又111,,224EM=−，111,,224MG=−，所以M为EG中点，则M平面EFGH，所以，为使MPCN⊥，必有点P平面EFGH，又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱1BB的中点，

即A错；又1EFGH==，52EHFG==，所以EFEH，则点P的轨迹不是正方形；且矩形EFGH周长为522252+=+，故C错，D正确；因为点M为EG中点，则点M为矩形EFGH的对角线交点，所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，所以线

段MP的最大值为34，故B错.的故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MPCN⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.二.填空题(共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处)11.已知点()3,1,5P−，则该点关

于yOz平面的对称点坐标为_______________.【答案】()3,1,5【解析】【分析】求一个点关于平面yOz的对称点坐标，就是将x轴的分量取相反数，而y轴和z轴的分量不变，由()3,1,5P−计算即可得.【详解】求一个点关于平面yOz的对称点坐标，就是将

x轴的分量取相反数，而y轴和z轴的分量不变，故点()3,1,5P−关于yOz平面的对称点坐标为()3,1,5.故答案为：()3,1,5.12.若(2,3,1),(2,0,3),(3,4,2)abc=−==，则(2)abc+=____________，若kab+与c互

相垂直，则实数k=____________.【答案】①.1−②.3【解析】【分析】空1：直接根据空间向量的坐标运算和数量积坐标公式即可；空2：根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】空1：()28,8,7bc+=，则(2)2

838171abc+=−+=−；空2：()()()2,3,12,0,322,3,3kabkkkk+=−+=+−+，若kab+与c互相垂直，则()0kabc+=，()()32212230kkk+−++=，3k=.故答案为：1−；3.13.如图，在长方体1111AB

CDABCD−中，设11ADAA==，2AB=，则11CCBD−=__________，11CCCA=__________.【答案】①.5②.1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量

积的坐标运算，求得所求的结果.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()1110,2,0,0,2,1,1,2,0,0,0,1,2,0,1CCBDA.所以()()()1110,0,1,1,2,1,2,2,1CCBDCA==−−=−，所以()111,2,0140

5CCBD−==++=，()()110,0,12,2,11CCCA=−=.故答案为：（1）5；（2）1【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题.14.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的

余弦值为___________【答案】24【解析】【分析】利用正四棱锥的性质可得EFO为侧面与底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求．【详解】如图正四棱锥EABCD−，取底面ABCD中心O，取AB中点F，连接EO、EF、OF，由正四棱锥的性质知EO⊥平面AB

CD，OFAB⊥，EFAB⊥，所以EFO为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，222211122cos42231ADOFEFOEFAEAF=====−−，故答案为：24．15.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，2PAA

B==，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF△的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.3【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE⊥平面P

BC，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F位于点C时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥，又底面ABCD为正方形，所以ABBC⊥，又ABPAA=，,ABPA平面PAB，所以⊥BC平面

PAB，因为AE平面PAB，所以BCAE⊥，又2PAAB==，所以PAB为等腰直角三角形，且E为线段PB的中点，所以AEPB⊥，又BCPBB=，,BCPB平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE平面AEF，所以平

面AEF⊥与平面PBC.因为AE⊥平面PBC，EF平面PBC，所以AEEF⊥，所以当EF最大时，AEF△的面积的最大，当F位于点C时，EF最大且226EFEBBC=+=，所以AEF△的面积的最大为12632=.故答案为：垂直；316.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平

面互相垂直．点P在正方形ABCD及其内部运动，点Q在矩形ABEF及其内部运动．设2,1ABAF==，给出下列四个结论：①存在点,PQ，使3PQ=；②存在点,PQ，使//CQEP；③到直线AD和EF距离相等的点P有无数个；的④若PAPE⊥，则四面体PAQE体积的最大值为13．其中所有正确结论

的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系AFBD−，则有𝐴(0,0,0)、()1,0,0F、()0,2,0B、()0,0,2D

、()0,2,2C、()1,2,0E，设()0,,Pmn，(),,0Qst，其中0,,2mnt，01s，对①：(),,PQstmn=−−，则()222PQstmn=+−+，当1s=，2tn==，0m=时，有1443PQ=++=，故存点,PQ，使3PQ=，故①正确；对②：(

),2,2CQst=−−，()1,2,EPmn=−−，若//CQEP，则有()()222smtsn−=−−=，由0,,2mnt，01s，故当2sn=时，1s=，2n=，此时有()22mt−=−−，即

4mt+=，即2mt==，此时Q与E重合，P与C重合，故不存点,PQ，使//CQEP，故②错误；对③：点P到直线AD的距离为m，点P到直线EF的距离为221n+，即有221mn=+，即221mn−=，由0,2mn

，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P有无数个，故③正确；对④：()0,,APmn=，()1,2,EPmn=−−，由PAPE⊥，故有()220mmn−+=，则()22110,1nm=−−，又1112122ABAQEFESS==矩形，故11113313PAQEAQEVSn−==

，故④正确.在在故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三、解答题(共3个小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处)1

7.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,,//ABCDABADADBC⊥，22PAABBCAD====.（1）设点M为AB上任意一点，求证：ADPM⊥；（2）求直线PB和平面PCD所成角的正弦值;（3）求二面角APDC

−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）66−【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得AD⊥平面PAB，即可证明ADPM⊥；（2）求直线PB的方向向量和平面PCD的法向量，利用向量夹角公式求结论；（3）求平面A

PD的法向量，利用向量夹角公式求结论；【小问1详解】因为PA⊥平面,ABCDAD平面,ABCD所以PAAD⊥，又因为ABAD⊥，,,PAABAPAAB=平面PAB，所以AD⊥平面PAB，点M为AB上任意一点，则PM平面PAB，所

以ADPM⊥.【小问2详解】因为PA⊥平面,ABCDABAD⊥，所以以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为22PAABBCAD====，所以()()()()()0,0,0,0,1,0,2,0,0,2,2,0,0,0

,2ADBCP，因为()()()2,0,2,2,1,0,0,1,2PBDCPD=−==−，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则2020nDCxynPDyz=+==−=，取2y=，可得1,1xz=−=，所以()1,2,1n=−，设直线

PB和平面PCD所成角的大小为，所以43sincos,3226PBnPBnPBn====，直线PB和平面PCD所成角的正弦值33.【小问3详解】平面APD的法向量为()1,0,0m=,设二面角APDC−−的平面角大小为，所以16coscos,66mnmnmn==

==，因为二面角APDC−−的平面角为钝角，所以二面角APDC−−的余弦值66−.18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面,ABCABAC⊥，11,ABACAAM===为线段11AC上的一点．（1）求证:

1//BM平面ABC；（2）求直线1BC与直线1AB所成角的余弦值；（3）若直线1AB与平面BCM所成角为π4，求点1A到平面BCM的距离．【答案】（1）证明见解析（2）0（3）13【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理推导即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用空

间向量数量积的坐标运算公式可得11BCAB⊥，即可得其所成角的余弦值；（3）利用空间向量夹角公式可确定点M位置，再结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】连接1BM，由三棱柱性质可得平面//ABC平面111ABC，又1BM平面111ABC，故1//BM平面ABC；【小问2

详解】因为1AA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以11,AAABAAAC⊥⊥，而ABAC⊥，故1,,ABACAA两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−：则111(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,1,

1)AABCBC，连接1BC，则11(1,1,1),(1,0,1)BCAB=−=，由111110110BCAB=−++=，故11BCAB⊥，故直线1BC与直线1AB所成角的余弦值为πcos02=；【小问3详解】设(0,,1)Ma，0,1a，则(1,,1),(1,1,0)BM

aBC=−=−，设平面BCM的法向量为(,,)nxyz=，有00nBMxayznBCxy=−++==−+=，令1x=，则1y=，1za=−，即(1,1,1)na=−，因为直线1AB与平面BCM所成角为π4，所以11222

111π2cos,sin4211(1)2aABnABnABna+−===++−，解得12a=，即1(1,1,)2n=，因为1(1,0,1)AB=−uuur，所以点1A到平面BCM的距离为1222111231112ABnn−==++.

19.设()2nn为正整数，若()12,,,nxxx=满足：①0,1,,1ixn−，1,2,,in=；②对于1ijn，均有ijxx.则称具有性质()En.对于()12,,,nxxx=和()12,,,nyyy=

，定义集合(),,1,2,,iiTttxyin==−=.（1）设()0,1,2=，若具有性质()3E，请写出一个及相应的(),T；（2）设()0,1,2,3,4=，请写出一个具有性质()5E的，满足(),0,1,2,3,4T=；（3）设()0,1,2,

3,4,5,6=，是否存在具有性质()7E的，使得(),0,1,2,3,4,5,6T=？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()0,1,2=时(),0T=（答案不唯一，正确写出任意一个并求得对应(),T的值即可.（2）2,4,1,

3,0=(不唯一)．（3）不存在，证明见解析.【解析】【分析】(1)本题属于新定义类型题，可根据题意举例进行直接进行求解；(2)利用反证法进行求解，并举例即可；(3)利用反证法和合情推理进行求解．【小问1详解】令()0,1,2=，即10y=，21y=，32y=，则()|01,2,3ii

txyi=−==，则(),0T=；【小问2详解】当0,1,2,3,4=，∵4∈(),0,1,2,3,4T=，∴()152,,,yyy=中的14y=或者50y=,不妨设50y=,接下来，3T,∴可能13y=或24y=,

不妨取24,y=中的剩余数0，2，3可以分别对应2，1，3，如此=（2，4，1，3，0）(不唯一)．【小问3详解】不存在证明：不妨设()0,1,2,3,4,5,6=，()127,,,yyy=

，并将其看做数列.假设(),{0T=，1，2，3，6}成立，∵集合{0，1，2，3，4}中有3个奇数，4个偶数.设数列中有x个奇数与有序数组中x个偶数对应作差的绝对值，中y个偶数与中的y个奇数对应作差的绝对值，共得到得到x+y=3个奇数；则α中剩余3x−个奇

数，4y−个奇数，中剩余4x−个偶数，3y−个奇数，要对应作差的绝对值恰好为4个偶数，则,的剩余数中奇数与奇数相配对，偶数与偶数相配对，故33,44,xyyx−=−−=−即xy=,但是3xy+=,矛盾，故满足条件的不存在.