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北京市第三十五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024.10行政班______________教学班___________姓名__________学号____________试卷说明：试卷分值共120分，考试时

间90分钟．一.选择题(共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处)1.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,mn则//mnB.若m⊥，n，则mn⊥C.若

m⊥，mn⊥，则//nD.若//m，mn⊥，则n⊥2.下列说法正确的是（）A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.任一个向量p在基底,,abc下分解式与在基底,,ef

g下的分解式相同3.若直线l的方向向量为(1,2,3)a=−,平面的法向量为(3,6,9)n=−−,则AlB.//lC.l⊥D.l与相交4.如图，已知斜三棱柱111ABCABC−，设1,,.,ABaACbAAcMN===分别为1AC与BC

的中点，则MN=（）A1122ac−+B.1122abc++C.111222abc+−D.1122ac−5.已知空间三点()()()1,3,2,2,5,1,1,7,ABCpq−+共线，则p和q的值分别是（）A.3，6B.2，4C.1，4D.2，66.在

正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）的..A.π2B.π3C.π4D.π67.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BACE=（）A.1B.－1C.3D.3−8.已知长方体1111ABCDABCD−中，2AB=，

11ADAA==，则直线1BD与平面11BCCB所成角的正弦值为（）A.33B.22C.63D.129.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11AB上的一点，且1(02)AM

=，设点N为ME的中点，则点N到平面1DEF的距离为（）A.3B.22C.23D.5510.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为111,BDBC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN⊥，则下列说法正确的是（）A.点P可以是棱1BB的中点B

.线段MP的最大值为32C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+5二.填空题(共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处)11.已知点()3,1,5P−，则该点关于yOz平面的对称点坐标为_______________.12

.若(2,3,1),(2,0,3),(3,4,2)abc=−==，则(2)abc+=____________，若kab+与c互相垂直，则实数k=____________.13.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，设11ADAA=

=，2AB=，则11CCBD−=__________，11CCCA=__________.14.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为___________15.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，2PAAB==，E为线段

PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF△的面积的最大值为_____________．16.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直．点P在正方形ABCD及其内部运动

，点Q在矩形ABEF及其内部运动．设2,1ABAF==，给出下列四个结论：①存点,PQ，使3PQ=；②存在点,PQ，使//CQEP；③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个；④若PAPE⊥，则四面体PAQ

E体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题(共3个小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处)17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,,//ABCDABADADB

C⊥，22PAABBCAD====.（1）设点M为AB上任意一点，求证：ADPM⊥；（2）求直线PB和平面PCD所成角的正弦值;在（3）求二面角APDC−−的余弦值．18.如图，在三棱柱111ABCA

BC−中，1AA⊥平面,ABCABAC⊥，11,ABACAAM===为线段11AC上的一点．（1）求证:1//BM平面ABC；（2）求直线1BC与直线1AB所成角余弦值；（3）若直线1AB与平面BCM所成角为π4，求点1A到平面BCM的距离．19

.设()2nn为正整数，若()12,,,nxxx=满足：①0,1,,1ixn−，1,2,,in=；②对于1ijn，均有ijxx.则称具有性质()En.对于()12,,,nxxx=和(

)12,,,nyyy=，定义集合(),,1,2,,iiTttxyin==−=.（1）设()0,1,2=，若具有性质()3E，请写出一个及相应的(),T；（2）设()0,1,2,3,4=，请写出一个具有性质

()5E的，满足(),0,1,2,3,4T=；（3）设()0,1,2,3,4,5,6=，是否存在具有性质()7E的，使得(),0,1,2,3,4,5,6T=？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由.的