【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第3章 第3节 利用导数解决函数的极值、最值 含解析【高考】.doc，共(12)页，407.500 KB，由管理员店铺上传

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-1-利用导数解决函数的极值、最值[考试要求]1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x

)＞0，右侧f′(x)＜0x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0图像形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充

分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．2．函数的最值与导数(

1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的

，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：-2-①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中

最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论](1)若函数f(x)的图像连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个

极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(3)函

数的极大值一定是函数的最大值．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材习题衍生1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点

、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C[设f′(x)的图像与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′

(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.]2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点-3-B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[f

′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2(x＞0)，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．]3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．－1[f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(

x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0.∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln1－1＝－1.]4．函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________．－1616[f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，即3x2－12＝0

解得x＝±2，当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，因此x＝－2是极大值点，x＝2是极小值点，f(x)极大＝f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16，f(x)极小＝f(2)＝2

3－12×2＝－16.]考点一利用导数解决函数的极值问题利用导数研究函数极值问题的一般流程根据函数图像求值问题[典例1－1]函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像如图所示，则x21＋x22等于-4-()A.89B.109C.169D.289C[因为函数f(x)

的图像过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2.由题意知x1，x2

是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝23，x1x2＝－23，所以x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝49＋43＝169，故选C.]点评：可导函数在极值点处的导数

一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．求已知函数的极值[典例1－2]已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)

＝(x－1)(ex－2a)，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a，a＞0.①当a＝e2时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜e2时，ln2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x

)的变化情况如下表：x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.③当a＞e2时，ln2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(

1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)-5-f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.综上，当0＜a＜e2时，f(x)有极大值－a(l

n2a－2)2，极小值a－e；当a＝e2时，f(x)无极值；当a＞e2时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln2a－2)2.点评：求极值时，要注意f′(x)＝0的根是否在定义域内．已知函数极值求参数的值或范围[典例1－3](1)已知f(x)＝

x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．(1)－7[由题意得f′(x)＝3x2

＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.](2)[解]由f(x)＝[

ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a＞1，则当x∈1a，1时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x

＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以1不是f(x)的极小值点．-6-综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法

求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为()A．6B．2C．2或6D．

0B[由f′(2)＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图像(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图像(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值．故选B.]2．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图

所示，则f′(0)f′(1)＝________.1[f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图像知，方程f′(x)＝0的两根为－1和2，则有－2b3a＝－1＋2，c3a＝－1×2，即3a＋2b＝0，6a

＋c＝0，∴f′(0)f′(1)＝c3a＋2b＋c＝cc＝1.]3．(2019·江苏高考节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数，若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．[解]因为b＝c

，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)x－2a＋b3.-7-令f′(x)＝0，得x＝b或x＝2a＋b3.因为a，b，2a＋b3都

在集合{－3,1,3}中，且a≠b，所以2a＋b3＝1，a＝3，b＝－3.此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：x(－∞，－3)－3(－3,1

)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)×(1＋3)2＝－32.考点二利用导数求函数的最值(1)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步，求

函数f(x)在(a，b)内的极值；第二步，求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(2)求函数

在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[典例2](2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝excosx－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)

－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，

h′(x)＜0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．-8-所以对任意x∈0，π2，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0

)＝1，最小值为fπ2＝－π2.点评：当导函数y＝f′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f′(x)的正负号．[跟进训练]已

知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．[解](1)f′(x)＝1x－a(x＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a＞0，即函数f(x

)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0＜x＜1a时，f′(x)＝1－axx＞0；当x＞1a时，f′(x)＝1－axx＜0，故函数f(x)的单调递增区间为

0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.(2)①当0＜1a≤1，即a≥1时，函数f(x)

在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.②当1a≥2，即0＜a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小-9-值是f(1)＝－a.③当1＜1a＜2，即1

2＜a＜1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当12＜a＜ln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a＜1时，最小值为f(2)＝

ln2－2a.综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.考点三利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的

关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题，结合实际问题作答

．[典例3](2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到

OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－1800b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和

EF，且CE为80米，其中-10-C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？[解](1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1

，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)．(2)以O为原

点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．设F(x，y2)，x∈(0,40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD＝160－y1＝160

－140(80－x)2＝－140x2＋4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)＝k160＋1800x3－6x＋32k－140x2＋4x＝k1800x3－380x2＋160(0＜x＜40)．f′(x)＝k3800x2－34

0x＝3k800x(x－20)，令f′(x)＝0，得x＝20.x(0,20)20(20,40)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝20时，f(x)取得最小值．答：(1)桥AB的长度为120米；-11-(2)当O′E为20米时，桥墩CD

和EF的总造价最低．点评：实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此

时唯一的极小值就是所求函数的最小值．[跟进训练]某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x(0≤x≤24)小时内供水总量

为10x千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象．(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a＞2)千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除．[解](1)设x小时后的蓄水池水量为y千吨，则y＝15＋2x－10x(0≤

x≤24)，当供水出现紧张现象时，y＜3，即15＋2x－10x＜3，解得：2＜x＜3，∴4＜x＜9.∴一天内将在4点到9点时间段内出现供水紧张现象．(2)设x小时后的水池蓄水量关于x的函数为f(x)，则f(x)＝15＋ax－10x(0≤x≤24)，若无供水紧张现象，

则f(x)≥3在[0,24]上恒成立，∴a≥10x－12x在(0,24]上恒成立，设g(x)＝10x－12x(0＜x≤24)，则g′(x)＝12－5xx2，∴当0＜x＜14425时，g′(x)＞0，当14425＜x≤24时，g′(x)＜0，∴g(x)在0，14425上单调递增，在

14425，24上单调递减，∴当x＝14425时，g(x)取得最大值g14425＝2512.∴a的最小值为2512.-12-