【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题 含解析【高考】.doc，共(16)页，400.000 KB，由管理员店铺上传

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-1-利用导数解决函数的单调性问题[考试要求]1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在

(a，b)内是增加的f′(x)＜0f(x)在(a，b)内是减少的f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．[常用结论](1)在某区间内f′(x)＞0

(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、易错易误辨析(正

确的打“√”，错误的打“×”)(1)在(a，b)内f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．()(3)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立

．()[答案](1)√(2)×(3)×-2-二、教材习题衍生1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是()A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区

间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性

是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D[因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]3．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．(0,1][函

数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－1x≤0，得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________

．3[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.]考点一不含参数的函数的单调性求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(

3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．1．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图像大致是()-3-ABCDA[设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)＝

2－2cosx≥0.所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A.]2．(2020·河北九校联考)函数y＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是()A．(－3,1)B．(0,1)C．(－1,3)D．(0,3)B[y′＝1－3x2＋2x＝x2＋2x－3

x2(x＞0)，令y′＜0得x2＋2x－3＜0x＞0，解得0＜x＜1，故选B.]3．(2019·天津高考改编)函数f(x)＝excosx的单调递增区间为________．2kπ－34π，2kπ＋π4(k∈Z)[f′(x)＝excosx－exs

inx＝ex(cosx－sinx)，令f′(x)＞0得cosx＞sinx，∴2kπ－34π＜x＜2kπ＋π4，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为2kπ－34π，2kπ＋π4(k∈Z)．]点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图像的上升与下降，函

数的二阶导数可以用来研究函数图像的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图像的上升与下降．(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．考点二含参数的函数的单调性解决含参数的函数的单调性问题应注意的两点-4-(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影

响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．[典例1]已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．[解](1)函数f(x)的定义域

为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′

(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)＜0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)＞0.故f

(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a＞0，则由(1)得，当x＝lna时，

f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna，从而当且仅当－a2lna≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln－a2时，f(x)取得最小值，最小值为fln－a2＝a2

34－ln－a2，从而当且仅当a234－ln－a2≥0，-5-即－2e34≤a＜0时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e34，1]．点评：要使f(x)≥0，只需

f(x)min≥0；要使f(x)≤0，只需f(x)max≤0.[跟进训练]已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x.若a＞0，试讨论函数f(x)的单调性．[解]因为f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x，所以f′

(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋1x＝(2ax－1)(x－1)x，由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0得x＝1或x＝12a，(1)若12a＜1，即a＞12，由f′(x)＞0得x＞1或0＜x＜12a，由f′(x)＜0得12a＜x＜1，即函数f(x)在0，12a

，(1，＋∞)上单调递增，在12a，1上单调递减；(2)若12a＞1，即0＜a＜12，由f′(x)＞0得x＞12a或0＜x＜1，由f′(x)＜0得1＜x＜12a，即函数f(x)在(0,1)，12a，＋∞上单调递增，在

1，12a上单调递减；(3)若12a＝1，即a＝12，则在(0，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可得：当0＜a＜12时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在1

，12a上单调递减，在12a，＋∞上单调递增；当a＝12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；-6-当a＞12时，函数f(x)在0，12a上单调递增，在12a，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．考点

三已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函

数在区间D上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f(x

)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[典例2]已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4

]上单调递减，求a的取值范围．[解](1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，即a＞1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－

2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由h(x)在[1,4]上单调递减得，-7-当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2

－2x恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716且a≠0，即a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞)．[母题变迁]1．本例条

件不变，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．[解]h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)＜0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a＞1x2－2x有解，又

当x∈[1,4]时，1x2－2xmin＝－1，所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．2．本例条件不变，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上不单调，求a的

取值范围．[解]因为h(x)在[1,4]上不单调，所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝1x2－2x有解，令m(x)＝1x2－2x，x∈(1,4)，则－1＜m(x)＜－716，所以实数a的取值范围为

－1，－716.点评：注意区分在区间[a，b]上单调递增(减)和在区间[a，b]上存在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解．-8-[跟进训练](2020·

青岛模拟)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b.(1)若f(x)与g(x)的图像在x＝1处相切，求g(x)；(2)若φ(x)＝m(x－1)x＋1－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取

值范围．[解](1)由已知得f′(x)＝1x，所以f′(1)＝1＝12a，所以a＝2.又因为g(1)＝12a＋b＝f(1)＝0，所以b＝－1.所以g(x)＝x－1.(2)因为φ(x)＝m(x－1)x＋1－f

(x)＝m(x－1)x＋1－lnx在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x)＝－x2＋(2m－2)x－1x(x＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则

2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞)，因为x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以2m－2≤2，即m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2]．考点四函数单调性的应用构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差

、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→f(x)x′；(4)f′(x)＋f(

x)→[exf(x)]′；-9-(5)f′(x)－f(x)→f(x)ex′.比较大小[典例3－1](1)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝f(e)e，b＝f(

ln2)ln2，c＝f(－3)－3，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b(2)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈0，π2满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f

(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2fπ3＜fπ4B.2fπ3＞fπ4C.2fπ6＞3fπ4D.2fπ3＞f

π6(1)D(2)B[(1)设g(x)＝f(x)x，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2＜0，即函数g(x)在x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y

＝f(x)为奇函数知f(－3)＝－f(3)，则c＝f(－3)－3＝f(3)3.∵a＝f(e)e＝g(e)，b＝f(ln2)ln2＝g(ln2)，c＝f(3)3＝g(3)且3＞e＞ln2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，即c＜a＜b，故选D.(2)设g(x)＝f(x)c

osx，则g′(x)＝f′(x)cosx＋f(x)sinxcos2x＝1＋lnxcos2x，x∈0，π2.令g′(x)＝0得x＝1e，当x∈0，1e时g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，当x∈1e，π2时，g′(x)＞

0，函数g(x)单调递增．-10-∵1e＜π6＜π4＜π3＜π2，∴gπ6＜gπ4＜gπ3，即fπ312＞fπ422＞fπ632，化简得2f

π3＞fπ4，3fπ3＞fπ6，3fπ4＞2fπ6，故选B.]解不等式[典例3－2](1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任

意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)(2)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是____

____．(1)B(2)－1，12[(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)

－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.(2)因为f(－x)＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增．又

f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，故实数a的取值范围为－1，12.]点评：构造函数F(x)，把所求不等式转化为F(a)＞F(b)或F(

a)＜F(b)的形式，然后根据F(x)的单调性得到a＞b或a＜b.-11-[跟进训练]1．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则()A．4f(1)＜f(2)B．4f(1)＞f(2)C．f(1)＜4f(2)D．f(1)＞4

f′(2)B[令g(x)＝f(x)x2(x＞0)，则g′(x)＝xf′(x)－2f(x)x3，由不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立知g′(x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)是减函数，∴g(1)＞g(2)，即f(1)1＞f(2)4，即4

f(1)＞f(2)，故选B.]2．已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，若f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)＝0，则f(x)＞0的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(－∞，0)D．(－1，＋∞)A[设g(x)＝f(x)e2x，则g′(x)＝f′(x)－2f(x

)e2x＜0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减．因为f(x)＞0，所以g(x)＞0，又g(－1)＝0，所以x＜－1.]备考技法2导数中的函数构造问题函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想

，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现.利用f(x)与xn构造函数(1)若F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]．(2)若F(

x)＝f(x)xn，则F′(x)＝f′(x)xn－nxn－1f(x)x2n＝xf′(x)－nf(x)xn＋1.由此得到结论：①出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；②出现xf′(

x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)xn.-12-[技法展示1](1)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜

0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．(1)(－1,0)∪(0,1)(2)(－∞，－4)∪(0,4)[(1)构造F(x)＝f(x)x2，则F′(x)＝f′(x)·x－2f(x)x3，当x＞0时，xf′(

x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可

得函数图像如图所示，根据图像可知f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，

0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像如图所示，根据图像可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．][评析]构造函数后可根据条件判断构

造函数的单调性、奇偶性，画出相应函数的图像，再根据图像写出解集．[技法应用]设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[构造F(x)＝f(x)x，则F′(x)＝f′(

x)·x－f(x)x2，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，-13-∴F(x)在(0，

＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]利用f(x)与ex构造函数(1)若F(x)＝enxf(x)，则F′(x)＝n·enxf(

x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]．(2)若F(x)＝f(x)enx，则F′(x)＝f′(x)enx－nenxf(x)e2nx＝f′(x)－nf(x)enx.由此得到结论：①出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；②出现f′(x)－nf

(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)enx.[技法展示2]已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是()A．f(1)＜f(0)B．f(2)＞e2f(0)C．f(3)＞e3

f(0)D．f(4)＜e4f(0)C[构造F(x)＝f(x)ex，则F′(x)＝exf′(x)－exf(x)e2x＝f′(x)－f(x)ex，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，则x＞1时F′(x)＞0，F(x)在[

1，＋∞)上单调递增．当x＜1时F′(x)＜0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，从而F(3)＞F(0)即f(3)e3＞f(0)e0，

∴f(3)＞e3f(0)，故选C.][评析]构造函数时，要注意F(x)＝f(x)xn与F(x)＝f(x)enx，F(x)＝xnf(x)与F(x)＝enxf(x)的构造条件．[技法应用]-14-若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞

e2x的解集为________．(0，＋∞)[构造F(x)＝f(x)e2x，则F′(x)＝e2xf′(x)－2e2xf(x)e4x＝f′(x)－2f(x)e2x，函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．又∵

f(0)＝1，则F(0)＝1，f(x)＞e2x⇔f(x)e2x＞1⇔F(x)＞F(0)，根据单调性得x＞0.]利用f(x)与sinx，cosx构造函数sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考查的

范畴，下面是常考的几种形式．F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx－f(x)cosxsin2x；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)

cosx－f(x)sinx；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx＋f(x)sinxcos2x.[技法展示3]已知函数y＝f(x)对于任意的x∈－π2，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不

成立的是()A.2fπ3＜fπ4B.2f－π3＜f－π4C．f(0)＜2fπ4D．f(0)＜2fπ3A[构造F(x)＝f(x)cosx形式，则F′(x)＝f

′(x)cosx＋f(x)sinxcos2x，导函数f′(x)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0，则F′(x)＞0，F(x)在－π2，π2上单调递增．-15-∴Fπ4＜Fπ3，即fπ4cos

π4＜fπ3cosπ3，∴2fπ3＞fπ4，故选A.][评析]准确记忆函数F(x)＝f(x)sinx，F(x)＝f(x)cosx，F(x)＝f(x)sinx，F(

x)＝f(x)cosx的导数，是构造函数的前提．[技法应用]定义在0，π2上的函数f(x)，函数f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立，则()A.3fπ4＞2fπ3B．f(1)＜2fπ2sin1C.2fπ6＞f

π4D.3fπ6＜fπ3D[f(x)＜f′(x)tanx⇔f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，令F(x)＝f(x)sinx，则F′(x)＝f′(x)sinx－f(x)cosxsin2x

＞0，即函数F(x)在0，π2上是增函数，∴Fπ6＜Fπ3，即fπ6sinπ6＜fπ3sinπ3，∴3fπ6＜fπ3，故选D.]构造具体函数关系式这类题型需要根

据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．[技法展示4]已知α，β∈－π2，π2，且αsinα－βsinβ＞0，则下列结论正确的是()A．α＞βB．α2＞β2-16-C．α＜βD．α＋

β＞0B[构造函数f(x)＝xsinx，则f′(x)＝sinx＋xcosx.当x∈0，π2时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，当x∈－π2，0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，又f(x)为偶函数，∴αsinα－βsinβ＞0⇔αsinα＞βsinβ⇔f(α)＞

f(β)⇔f(|α|)＞f(|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β2，故选B.][评析]认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的式子，结合所求构造函数．[技法应用]定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对对任意x∈R，f′(x)＜12，则不等式f(log2x)

＞log2x＋12的解集为________．(0,2)[构造函数F(x)＝f(x)－12x，则F′(x)＝f′(x)－12＜0，∴函数F(x)在R上是减函数．由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)－12＝

1－12＝12，∴f(log2x)＞log2x＋12⇔f(log2x)－12log2x＞12⇔F(log2x)＞F(1)⇔log2x＜1⇔0＜x＜2.]