【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第3章 第4节 定积分与微积分基本定理 含解析.doc，共(8)页，368.000 KB，由envi的店铺上传

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定积分与微积分基本定理[考试要求]1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将

区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数

A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝A.在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(

x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝abf(x)dxS＝－abf(x)dxS＝acf(x)dx－cbf(x)dxS＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx2．定积分的

性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a<c<b

)．提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算．3．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫作微积分基本定

理，又叫作牛顿-莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a)．[常用结论]函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有一、易错易误辨析(正确的打“√”

，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)若abf(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()[答案

](1)√(2)×(3)×二、教材习题衍生1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10t20B．5t20C.103t20D.53t20B2．＝________.1[＝lne－ln1＝1.]3.－101－

x2dx＝________.π4[－101－x2dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝1－x2所围成的图形的面积，∴－101－x2dx＝π4.]4.曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．16[如图，阴影部分的面积即为

所求．由y＝x2，y＝x，得A(1,1)．故所求面积为S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x310＝16.]考点一定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常

数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．1．计算12x＋1xd

x的值为()A.34B.32＋ln2C.52＋ln2D.3＋ln2B[12x＋1xdx＝12x2＋lnx21＝2＋ln2－12＝32＋ln2.故选B.]2.－11e|x|dx＝_

_______.2e－2[－11e|x|dx＝－10e|x|dx＋01e|x|dx＝－10e－xdx＋01exdx＝－e－x0－1＋ex10＝2e－2.]3．设函数f(x)＝x2，0≤x≤1，

1，1＜x≤2，则02f(x)dx＝________.43[02f(x)dx＝01x2dx＋121dx＝13x310＋x21＝13＋2－1＝43.]点评：运用微积分基本定理求定积分时的四个关键点

(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．考点二定积分的

几何意义(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案．利用定积分的几何意义计算定积分[典例1－1](1)计算：13

3＋2x－x2dx＝________.(2)若－2m－x2－2xdx＝π4，则m＝________.(1)π(2)－1[(1)由定积分的几何意义知，133＋2x－x2dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴133＋2x－x2dx＝1

4×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义－2m－x2－2xdx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又－2m－x2－2xdx＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]点评：正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．求

平面图形的面积[典例1－2]由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．4－ln3[由xy＝1，y＝3，可得A13，3.由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，由y＝x，y＝

3，得C(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为[逆向问题]已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.2[由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x

＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3k0＝k32－13k3＝43，即k3＝8，所以k＝2.]点评：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限

、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[跟进训练]曲线y＝－x＋2，y＝x与x轴所围成的面积为________．76[如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可

知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为01xdx＋12(－x＋2)dx＝23x10＋2x－x2221＝76.]考点三定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v

(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.[典例2](1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧

急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单

位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A.3JB.233JC.433JD.23J(1)C(2)C[(1)由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4

t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，在此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln(1＋t)40＝4＋25ln5.(2)变

力F在位移方向上的分力为Fcos30°，故F(x)做的功为W＝12(5－x2)cos30°dx＝3212(5－x2)dx＝325x－13x321＝433.]点评：(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算．(2)

如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝－abv(t)dt.[跟进训练]物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前

方5m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.130[设A追上B时，所用的时间为t0，则SA＝SB＋5，即(3t2＋1)dt＝(10t)dt＋5，∴(t3＋t)＝5t

20＋5，∴t30＋t0＝5(t20＋1)，即t0＝5，∴SA＝5t20＋5＝5×52＋5＝130(m)．]