【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2025届高三上学期高考质量调研（二）（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.067 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（二）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成

的没有重复数字的自然数集合有（）个元素A.15B.16C.17D.18【答案】A【解析】【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有

12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有36615++=种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有1

5个元素，故选：A.2.若直线2yx=是曲线()()=−2exfxxa的切线，则a=（）A.e−B.1−C.1D.e【答案】B【解析】【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.【详解】()()=−2exfx

xa，()()212exfxxa=+−，依题意，直线2yx=是曲线()()=−2exfxxa的切线，设切点为(),2tt，则()()22e212e2tttatta−=+−=，()()22e212e2tttatta=

++=+，通过对比系数可得()212,20,0ttttt+===，则1a=−.故选：B3.已知tan2=，则1cos2sin2+=（）A.3B.13C.2D.12【答案】D【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结

合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos11sin22sincostan2+===.故选：D.4.若(1,0)A，(0,)Bb，(2,2)C−−三点共线，则b=（）A23−B.32−C.23D.32【答案】A【解析】【分析】利用共线向量的性

质，设ACAB=且0，进而列方程求解.【详解】,,ABC三点共线，ACAB=且0，得21=(01)20=(0)b−−−−−−，解得=32=3b−,故选：A.5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方

几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩

形长为ab+，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC⊥于点F，则下列推理正确的是（）.A.由图1和图2面积相等得2abdab

=+B.由AEAF可得2242abab++C.由ADAE可得222112abab++D.由ADAF可得22abab++【答案】C【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中,,ADAEAF的

表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案【详解】对于A，由图1和图2面积相等得()ababd=+，所以abdab=+，故A错误；对于B，因为AFBC⊥，所以221122ababAF=+，所以22abAFab=+，22abAEdab==+，因为AEAF，所以222abab

abab++，整理得2222abab++，故B错误；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以222abAD+=，因为ADAE，所以2222ababab++，整理得222112abab++，故C正确；对于D，因为AD

AF，所以22222ababab++，整理得222abab+，故D错误．故选：C．6.已知设i(,)zxyxy=+R，则|(3)(3)i|2xy−++=，则|1|z+的最小值为（）A.3B.4C.5D

.6【答案】A【解析】【分析】先求得复数z实部与虚部的关系，再去求|1|z+的最小值即可解决.【详解】由|(3)(3)i|2xy−++=，可得22(3)(3)4xy−++=，可令2cos32sin3x

y=+=−，则2222|1|(1)(2cos4)(2sin3)zxy+=++=++−2916cos12sin2920sin()=+−=+−（为锐角，且4tan3=）由1sin()1−−，可得32

920sin()7+−则|1|z+的最小值为3.故选：A7.若数列na为正项等比数列，31a=，数列nb为公差为6，首项为1的等差数列，则数列nnab前5项和的最小值为（）A.1874B.1674C.1474D.65【答案】A【解析】【分析】由已知可得211

22334455217131925abababababqqqq++++=++++，利用导数可求其最小值.【详解】因为数列nb为公差为6，首项为1的等差数列，所以123451,7,13,19,25,bbbbb=====若数列na为正

项等比数列，31a=，设公比为q，则21245211,,,aaaqaqqq====，所以数列nnab前5项和为21122334455217131925abababababqqqq++++=++++，设2217131925yqqqq=++++，求导可得3432327271950

1950qqqyqqqq−−−++=−++=，令34()271950gqqqq=−−++，可得23()757200gqqq=−++，()gq在(0,)+上增函数，又2333700051305400()757(200(0101010)0)0gq−++=−++=，当310q时

，()0gq，所以()gq在3[,)10+上为增函数，为又341111()2719()50()02222g=−−++=，所以当31(,)102q,0y，1,2q+，0y，所以min192518741413244y=++++=，当3(0,)10q,21710

07042718713139394yqq=++++=,所以则数列nnab前5项和的最小值为1874.故选：A.8.设tan0.21a=，ln1.21b=,2122c=，则下列大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.c

abD.cba【答案】B【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x时，tanxx，再通过构造函数()()πln1,02fxxxx=−+进一步得到()ln1xx+，π0,2x，由此即可比较,ab，

进一步比较,cb，由此即可得解.【详解】设()πtan,02hxxxx=−，则()()22coscossinsin1π110,0coscos2xxxxhxxxx−−=−=−，所以()ta

nhxxx=−在π0,2上单调递增，所以()()tan00hxxxh=−=，即πtan,02xxx，令()()πln1,02fxxxx=−+，则()11011xfxxx=−=++，所以

()()ln1fxxx=−+在π0,2上单调递增，从而()()()ln100fxxxf=−+=，即()ln1xx+，π0,2x，所以()tanln1xxx+，π0,2x，从而当0.21x=时，tan0.21ln

1.21ab==，π32446321tan0.21tan633666622ac=====，所以cab.故选：B.【点睛】关键点点睛：在比较,ab的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知非零向量,,abc，则下列结论正确的是（）A.若()0abc=，则bc⊥B.若()(),abab+⊥−则||||ab=C.若acbc=，则ab=D.向量()()abcacb−与向量a垂直【答案】ABD

【解析】【分析】选项A，根据条件，利用数乘向量的定义得到0bc=，即可判断选项A的正误；选项B，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos,||cos,aacbbc=，即可求解；选项D，根据条件，结合数量积的运算律，

得到[()()]0abcacba−=，即可求解.【详解】对于选项A，因为a为非零向量，若()0abc=，则0bc=，故bc⊥，所以选项A正确，对于选项B，若2222()()||||0abababab+−=−=−=，故||||ab=，所以选项В正确，对于选项C，若acbc=

，则||||cos,||||cos,acacbcbc=，得到||cos,||cos,aacbbc=，不能确定ab=，所以选项C错误，对于选项D，[()()]()()()()()()0abcacbaabcaacbaabcaabca−=−=−

=，故[()()]abcacba−⊥，所以选项D正确，故选：ABD．10.已知,(0,1)(1,)mn+，若211log2,log212mnaa==−，则下列命题正确的是（）A.若2a=，则2mn=B.若2a，则2mnC.若1mn=，则1a=D.若1mn

，则1a【答案】ABC【解析】【分析】由对数运算的性质得2212aamn−+=，通过代入2a=即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；代入1mn=即可求出a的值，则可判断C；由1mn可得2221(1)0aaa−+=−，可解得a的取值范围

，则可判断D.【详解】由题意知222log12,logmana=−=，所以22log()21mnaa=−+，所以2212aamn−+=．对于A，若2a=，则122mn==，故A正确；对于B，若2a，则2221(1)1aaa−+=−，所以122mn=，故B正确；对于C，若1mn=，则221

0aa−+=，解得1a=，故C正确；对于D，若1mn，则2221(1)0aaa−+=−，不能得到1a，故D错误．故选：ABC.11.已知cos,cos2,cos3sin,sin2,sin3=，则可以是（）A.π8B.3π8−

C.2π7−D.4π1−【答案】AB【解析】【分析】利用积化和差和辅助角公式得到π7π2sin()2sin()2424+=+，即可求解得到2π3k=或ππ28k=+，Zk，可求答案.【详解】cos,cos2,cos3sin,sin2,sin3

=，coscos2cos3sinsin2sin3++=++，()()sinsinsin2sin3sincoscos2cos322++=++，sinsinsinsinsinsin222222sinsin2sin3coscos2cos3

++++=，33557coscoscoscos+coscon35375sinsinsinsinsisins222222222222=−+−−−−+−+，77coscossinsin2222−=−，77sincossinc

os2222+=+，π7π2sin()2sin()2424+=+，7ππ()()32π2424k+−+==或()7πππ421π24242k+++=+=+，Zk,2π3k=，Zk，或ππ28k=+，Zk，经检验，3π8

=−或π8符合，其它都不符合.故选：AB.12.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇

家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在BroughantBridge．对四元数ijkuabcd=+++，,,,abcdR的单位,,ijk，其运算满足：222ijk1===−，ijk=，jki=，kij=，jik=−，kji=−，i

kj=−；记ijkuabcd=−−−，()2222Nuuuabcd==+++，2222uabcd=+++，定义11uu−=，记所有四元数构成的集合为V，则以下说法中正确的有（）A.集合1,i,j,k的元素按乘法得到一个八元集合B.若非零元,uv

V，则有：11uvuv−−=C.若,uvV，则有：()()()NuvNuNv=D.若非零元uV，则有：12uuu−=【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用已知条件求出所求集合为1,i,j,k,1,i,j,k−−−−即可；对于B，直接给出反例1u=，2v=即可；对于C，利用()N

u的定义计算即可；对于D，利用C选项的结果验证即可.【详解】对于A，由于222ijk1===−，jik=−，kji=−，ikj=−，故集合1,i,j,k的元素按乘法可以得到集合1,i,j,k,1,i,j

,k−−−−，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合1,i,j,k的元素按乘法得到的集合是八元集合1,i,j,k,1,i,j,k−−−−，故A正确；对于B，取1u=，2v=，则11111121121222uvuv−−−−=====，故B错误；对

于C，若,uvV，设ijkuabcd=+++，ijkvxyzw=+++，则()()()()ijkijkNuvNabcdxyzw=++++++()()()()()ijkNaxbyczdwaybxcwdzazcxdybwawdxbzcy=−−−+++−+++−+++

−()()()()2222axbyczdwaybxcwdzazcxdybwawdxbzcy=−−−+++−+++−+++−22222222222222222222222222222222axbxcxdxaybycydyazbzczdzawbwcwdw=+++

++++++++++++()()22222222abcdxyzw=++++++()()ijkijkNabcdNxyzw=++++++()()NuNv=，故C正确；对于D，根据题目中的定义有()2Nuu=，从而()()()()()()()()

22221NuNuNuuuuuuuuuNuuNuNuNuNu======.所以12uuu−=，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.三、填空题：本题共3

小题，每小题5分，共15分.13.若函数()243fxxax=−−在区间()4,−+上单调递增，则实数a的取值范围是______．【答案】(,2−−【解析】【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与4−的

关系即可求解.【详解】因为函数()243fxxax=−−的对称轴为2xa=，图象开口向上，所以函数在)2,a+上单调递增，因为函数()fx在区间()4,−+上单调递增，所以24a−，解得2a−.故答

案为：(,2−−.14.若()ππsin3sin63fxaxx=+++是偶函数，则实数a的值为__________.【答案】3−【解析】【分析】由函数()fx是偶函数，则ππ66ff−=

，代入计算并验证即可求出a.【详解】函数()fx是偶函数，则ππ66ff−=,πππ3ππππππ3sinsin3sinsin36632666633ffaa−=−+===+++=+

,化简可得3a=−.当3a=−时，则()ππ3sin3sin63fxxx=−+++ππππ3sincoscossin3sincoscossin6633xxx

x=−+++31133sincos3sincos3cos2222xxxxx−+++=所以()3cosfxx=，则()()()3cos3cosxxf

xfx−===−，所以函数()fx是偶函数，则3a=−.故答案为：3−15.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,AB中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B中没有糖的概率

是__________．【答案】117【解析】【分析】设最初在A中有k颗糖，B中有6k−颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为()0,1,,6kak=，归纳找出递推关系，利用方程得出0a，再由递推关系求3a.【详解】设A中有k颗糖，B中有6k−颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为(

)0,1,,6kak=.显然0113aa=，()65112112,153333kkkaaaaak+−=+=+，可得()112kkkkaaaa+−−=−，则()566510022aaaaa−=−=，()656267

65040010002222221aaaaaaaaaa=+=++=+++=−，同理()256510002221aaaaa=+++=−，()()760021212133aa−=−+，解得011385255a==()430112115.25517aa=−==故答案为：117

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a，即可得出这一统一模型的答案.16.已知0a，如果有且仅有四个不同的复数z，同时满足()21(1)zza−+=和1z=，则a的

取值范围是__________.【答案】1630,9【解析】【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可.【详解】由()21(1)zza−+=可得211=zza−+，又由1z=可得，复数z在复平面上对

应的点在单位圆上，设单位圆上动点P，()1,0A−，()1,0B，则1z−表示PB长度，1z+表示PA长度，即2aPBPA=，又因为22+4PBPA=，所以()24aPBPB=−，令PBx=，可设()()2344fxxxxx=−=−+，()0,2x()234fxx

=−+，令()0fx=，可得233x=，当2303x，时，()2340fxx=−+，所以()34fxxx=−+2303，上单调递增；当2323x，时，()2340fxx=−+，所以()34fxxx=−+

在2323，上单调递减；由32323231634=3339f=−+，()32242=0f=−+，()00f=，所以当1630,9a时，x在(0,2)有两解，即在x轴上方一定

存在两个复数z对应的点满足条件，再利用圆关于x轴对称，所以在x轴下方也一定存在两个复数z对应的点满足条件，综上此时有四个不同的复数z，故答案为：1630,9.【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为2aPBPA=，再利用2

2+4PBPA=消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得a的范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在17.已知函数21()log1xfxx-=+．（1）判断并证明()fx的奇偶性；（2）若对任意11,33x−，2,2t−，不等式2

()6fxtat+−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）1122a−.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；（2）根据对数复合函数单调性确定()fx在11,33x−上最小

值，把问题化为250tat+−在2,2t−上恒成立，即可求结果.【小问1详解】()fx为奇函数，证明如下：由解析式易知10(1)(1)0111xxxxx−−+−+，函数定义域为(1,1)−，而22

11()loglog()11xxfxfxxx+−−==−=−−+，故()fx为奇函数.【小问2详解】由12111xmxx−==−++在11,33x−上为减函数，而2logym=在定义域上为增函数，所以()fx在11,33x

−上为减函数，故()min1()13fxf==−，要使任意11,33x−，2,2t−，不等式2()6fxtat+−恒成立，只需261tat+−−在2,2t−上恒成立，即250tat+−在2,2t−上恒

成立，由25ytat=+−开口向上，则425011425022aaa−−−+−，综上，1122a−.18.海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.

1时即为凌晨3点06分）时刻：x（时）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根据以上数据，可以用函数()πsin0,||2yAxb=++来近似描述这一天内港口水

深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．【答案】（1

）5π2.4sin5,02431yxx=+（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分.【解析】【分析】（1）由公式maxminmax

min,22Ab−+==可求，由表格可得周期12.4012.4T=−=，进而求，代入最高点(3.1,7.4)可求；（2）由题意可知进港条件为6.2y，解不等式即可.【小问1详解】由表格可知y的最大值为7.

4，最小值为2.6，所以7.42.67.42.62.4,522Ab−+====，由表格可知12.4012.4T=−=，所以2π2π5π12.431T===，所以52.4sin531yx=++，将点(3.1,7

.4)代入可得：5π7.42.4sin3.1531=++，所以5ππ3.12π,Z312kk+=+，解得02π,Zkk=+，因为π2，所以0=，所以5π2.4sin5,02431yxx=+.【小问2详解】货船需要的安全水深为4.22

6.2+=米,所以进港条件为6.2y.令5π2.4sin56.231x+,即5π1sin312x,所以π5π5π2π2π,Z6316kxkk++,解得31623162,Z30565kkxk++,因为024x，所以0k=时

，3131306x,𝑘=1时，4035273030x因为3130（时）=1时2分,316（时）5=时10分.40330（时）13=时26分，（时）17=时34分.因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时

26分进港，下午17时34分出港.则该货船最早进港时间1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.19.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为a，b，c，已知3sincos3aCCb=+.（1）求角B；（2）若D是ABCV边AC上的一点，且满足BABDB

DBCBABC=，9425ac+=，求BD的最大值．【答案】（1）π3B=（2）3【解析】为【分析】（1）根据题意可得3sincos3abCbC=+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan3B=，即可得结果；

（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABDCBD==，利用面积关系可得311BDac=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3sincos3aCCb=+，即3sincos3abCbC=+，由

正弦定理可得3sinsinsinsincos3ABCBC=+，且()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，即3sincoscossinsinsinsincos3BCBCBCBC+=+，可得3cossinsinsin3

BCBC=，且()0,πC，则sin0C，可得tan3B=，又因为0πB，所以π3B=.【小问2详解】因为BABDBDBCBABC=，即BABDBDBCBABDBCBD=，可得coscosABDCBD=，即ABD

CBD=，可知BD平分ABC，则π6ABDCBD==，因为ABCABDBCDSSS=+△△△，即131111222222acBDaBDc=+，整理可得311BDac=+，又因为9425ac+=，则()31111491499413

1321252525cacaacBDacacac=++=+++=，当且仅当49caac=，即53a=，52c=时取等号，可得3BD，所以BD的最大值为3.20.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂

前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布

直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布()2,N，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5PX；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了2

0辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N，则()0.6827P−+=，()()220.

9545,330.99731PP−+=−+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都

12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),

0n的概率为()160nPn，试证明数列1nnPP−−是等比数列()259n，求出数列()160nPn的通项公式，并比较59P和60P的大小.【答案】（1）300（2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16

.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362nnnPn−−−=+=，5960PP【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.

（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得nP，利用差比较法比较59P和60P的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.

453550.24050.05300x++++=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862PX−=+=.（ⅱ））∵Z服从二项分布()20,0.

8186B，∴()200.818616.372EZ==.【小问3详解】当359n时，()12112111,222nnnnnnnPPPPPPP−−−−−=+−=−−，1221111131,,222244PPPP==+=−=.∴1(259)nnPPn−−是以14为首项，12−为公比的

等比数列，2111(259)42nnnPPn−−−=−.22132111111,,,(259)44242nnnPPPPPPn−−−=−=−−=−.累加得：1158160

58111422111111,(259),1362236212nnnnPPPnPP−−−−−==−−==++.∴158211,159362111,60362nnn

Pn−−−=+=∵58585960111111033232PP−=−=−，∴5960PP.注：比较59P和60P的另一个过程：5859605959

2112111,13623622PPPP=−−==−.21.已知ABCV的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan3tanCB=．（1）若2ab=，求C；（2）若6a=，3bc+

=，求ABCV的面积．【答案】（1）π3（2）154【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，化切为弦，再利用内角和定理结合两角和正弦公式化简求值即可；（2）法一，由sin4sincosABC=利用正、余弦定理化角为边，联立3bc+=解方程组可得,bc，进而求得cos,sinCC，

然后由面积公式可得；法二，作辅助线三角形的高，由tan3tanCB=利用直角三角形化角为边，再利用勾股定理建立关于高的方程求解可得，进而可求面积.【小问1详解】因为tan3tanCB=，所以sin3sincosc

osCBCB=，则sincos3sincosCBBC=.因为2ab=，由正弦定理可得，sin2sinsin()sincoscossinABBCBCBC==+=+4sincosBC=，所以2sin4sincosBBC=，由B为三

角形内角，故sin0B，所以1cos2C=，又0πC，故π3C=.【小问2详解】法一：由（1）知，sincos3sincosCBBC=，的则sinsin()sincoscossin4sincosABCBCBCBC=+=+=，由正弦定理可得4cosabC=，由6a=，且2222

26cos226abcbcCabb+−+−==代入4cosabC=可得2266426bc−+=，化简得223cb−=，联立3bc+=，解得2,1cb==，又由4cos6abC==可得6cos4C=，则21

0sin1cos4CC=−=，故111015sin62244ABCSabC===.法二：由tan3tanCB=可知，,BC均为锐角，且tantanCB，所以0π2BC，如图在ABCV中，过点A作

边BC上的高AD，垂足为D，由tan3tanCB=可得，3ADADDCBD=，则有3BDDC=，由64aBCBDDCDC===+=，可得366,44BDDC==.设ADh=，则222278cABhBDh=

=+=+，22238bAChDCh==+=+，由3bc+=可得22273388hh+++=，解得258h=，即104h=，故高104AD=.所以ABCV的面积为11101562244BCAD==.22.

设函数()()2e2sin1xfxxax=+−+.（1）当1a=时，求()fx在)0,+上的最小值；（2）若()gx与()fx关于y轴对称，当0x时，()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）2（2）3a【解析】【分析】（1）先将1a=代入()fx

，然后求导得到()2e2cos2xfxx=+−，再求导得到()2e2sinxfxx=−，因为)0x+，，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值；（2）先利

用两个函数的互对称得到()gx，然后代入不等式()()fxgx，整理得()ee2sin10xxxax−−+−+，构造函数()()ee2sin1xxhxxax−=−+−+，得到()00h=，然后利用端点效

应得到3a，最后判断其充分性即可.【小问1详解】当1a=时，()2e2sin2xfxxx=+−，所以()2e2cos2xfxx=+−，令()2e2cos2xFxx=+−，得()2e2sinxFxx−=，因为0x，得e1,sin1xx，所以()2e2sin0

xFxx=−，故()()2e2cos2xFxfxx==+−在[)0，+?单调递增；所以()()02fxf=，所以()2e2sin2xfxxx=+−在[)0，+?单调递增，故()fx在[)0，+

?上的最小值为()02f=.【小问2详解】由题得()()()2e2sin1xgxfxxax−=−=−++，得当0x时，()()2e2sin12e2sin1xxxaxxax−+−+−++恒成立，整理得

()ee2sin10xxxax−−+−+恒成立，令()()ee2sin1xxhxxax−=−+−+，显然，()00h=，要使0x时，()ee2sin10xxxax−−+−+恒成立，则()00h，()()ee2cos1xxhxxa−=++−+，

所以有()()000ee2cos0103haa=+++−，验证，当3a时，令()()ee2cos1xxGxxa−=++−+，()ee2sinxxGxx−−=−，令()ee2sinxxHxx−=−−，()ee2cos2ee2cos22cos0xxx

xHxxxx−−=+−=−−，故()ee2sinxxHxx−=−−在)0,+单调递增；所以()()000ee2sin00HxH=−−=，故()()ee2cos1xxGxxa−=++−+在)0,+单调递增；所

以()()00GxG，故()()ee2sin1xxhxxax−=−+−+在)0,+单调递增；所以()()0=0hxh，故3a符合题意.【点睛】思路点睛：()()ee2sin10xxhxxax−=−+−+恒成立，显然()00h=，我们由函数图

像可知，在0x=时，()()ee2sin1xxhxxax−=−+−+不可能单调递减，所以可知()00h，然后求得3a，此时3a为()ee2sin10xxxax−−+−+恒成立的必要条件，我们还需要利

用3a去判断()ee2sin10xxxax−−+−+恒成立，证明3a为()ee2sin10xxxax−−+−+恒成立的充分条件.