【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2025届高三上学期高考质量调研（一）（9月）数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.580 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1iz=−，则2z=（）A.14B.1C.2D.

4【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘方运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】∵1iz=−，∴212i12iz=−−=−，∴22z=，故选：C2.下列命题中的真命题是（）A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角C.若22ab=，则||||ab=D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角【答案】C【解析】【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判

断D.【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为45，故A错误；对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误；对于C，若22ab=，则()()0abab+−=，即ab=或ab=−，则||||ab=，故C正确；对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

和，故D错误；故选：C3.若向量()(),1,1,1axb==−，且//a()2ab+，则a=（）A.5B.2C.2D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量线性坐标运算及向量共线的坐标表示求解x，再代入求模即可.【详解】由已知()(),1,1,1axb==−，得2(,1)2(1

,1)(2,1)abxx+=+−=+−，因为//a()2ab+，所以2xx−=+，解得1x=−，则()22112a=−+=，故选：C.4.以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的？（）A.样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好．B.样本标准差越大，数据的离散程度越小．C.相关系数的绝对值越

接近1，表示两个变量的线性关系越弱．D.决定系数R²越接近1，模型的解释能力越强．【答案】D【解析】【分析】根据均值、标准差、相关系数、决定系数的含义即可判断.【详解】对于A，样本均值不能表示样本的代表性，A错；对于B，样本标准差越大，数据的离散程度越大，B错

；对于C，相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越强，C错；对于D，决定系数R²越接近1，模型的解释能力越强，D对.故选：D5.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点分别为12FF，，过点1F且与

渐近线垂直的直线与双曲线C左右两支分别交于AB，两点，若125tan12FBF=，则双曲线的离心率为（）A.615B.355C.52D.2【答案】A【解析】【分析】求得1F到渐近线的距离为b，从而可求

得12sinBFF的值，再在12BFF△中利用正弦定理求出2BF，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可.【详解】由题意知，点1(,0)Fc−到渐近线byxa=−的距离为22bcbcdbcab===+，所以1212sin,cosabBFFBFFcc==，因为125tan012FBF=，

()120,πFBF，所以12π0,2FBF，所以12125sincos12FBFFBF=，因为221212sincos1FBFFBF+=，所以22121225coscos1144FBFFBF+=，得1212cos

13FBF=，则125sin13FBF=，在12BFF△中，由正弦定理得1221212sinsinFFBFFBFBFF=，即22513BFcac=，得2265BFa=，由双曲线的定义知122BFBFa−=，所以1226362255BFaBFaaa=+=+=，在12BFF△中，由余弦定理得

222121212122cosFFBFBFBFBFFBF=+−，即222362636261242555513caaaa=+−，整理得226125ca=，即222561ca=，所以离心率为615cea==.故选：A【点睛】关

键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题.6.已知函数()()sin2cos20fxaxx=+图象的对称轴方程为ππ4

xk=+，()kZ．则π4af=（）A.22B.22−C.2D.2−【答案】C【解析】【分析】由函数的对称轴可得2πT=即可求得，利用函数的对称性可得()π2π2fkxfx+−=，则()π2π02fkf+=

，即可求得a的值，得到函数解析式，代入即可求解．【详解】当0a=时，()cos2fxx=，又函数对称轴为ππ4xk=+，()kZ，则函数周期2π2π2T==，12=，函数()cosfxx=，对称轴为πxk=，Zk，与题干不符；当0a时，()()2sin2cos21sin2fx

axxax=+=++，其中1tana=，由函数()fx图象的对称轴方程为()ππ4xkk=+Z，得()fx的最小正周期2π2π2T==，所以12=，所以()sincosfxaxx=+，由函数()fx图象的对称轴方程为()ππ4xkk=+Z，得()()π2π2fk

xfxk+−=Z，令0x=，得()()π2π02fkfk+=Z，即()ππsin2πcos2π122akkk+++=Z，得1a=，所以()πsincos2sin4fxxxx=+=+，则ππππ2sin24444aff

==+=．故选：C．7.三棱锥SABC−的侧棱SA是它的外接球的直径，且8,1,3,13SAABBCAC====，则三棱锥SABC−的体积为（）A.353B.352C.32D.33【答案】B【解析】【分析

】根据SA是三棱锥SABC−外接球的直径，先找到垂直条件，求出SC，SB，再作出三棱锥SABC−的高SO，在ABCV中，用余弦定理求得ABC，再结合垂直关系求得OBC，设SOh=，表示出,BOCO，在OBC△

中，用余弦定理列等式求得h，再套入三棱锥体积公式求解即可.【详解】取SA的中点M，则三棱锥SABC−的外接球是球M，半径为142SA=，因为SA是球M的直径，,BC在球M的球面上，所以,SCACSBAB⊥⊥，()228

1351SC=−=，22816337SB=−==，过点S作SO⊥平面ABC，垂足为O，连接,BOCO，因为SO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SO⊥AB，又SBAB⊥，,SOSB平面SOB，SOSBS=，所以AB

⊥平面SOB，又BO平面SOB，所以AB⊥BO，在ABCV中，由余弦定理()22213131cos2132ABC+−==−，所以120ABC=，1209030OBC=−=，设SOh=，因为SO⊥平面ABC，,BOCO平面ABC，所以,SOBOSOCO⊥

⊥，22263BOSBSOh=−=−，22251COSCSOh=−=−，在OBC△中，由余弦定理()2222633513coscos3022633hhOBCh−+−−===−，解得21053h=

，11121053513sin12033232SABCABCVSh−===.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于底面三角形运用余弦定理的处理，以及三棱锥高的求解.8.已知在函数(

)()()ln1,0,0xxfxaxxbx+=+的图像上存在四个点,,,ABCD构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有：（）A1abB.()20f−C.()12fx−D.2eb

【答案】C【解析】【分析】通过对称性将问题转化为函数零点的问题,因为变量比较多，构造的函数较复杂，我们可以先计算较较简单选项，然后利用排除法即可.【详解】由题可知，原点线段,ACBD中点，不妨设()()()()1122221112,,,,,,,,0,0AxyBxyCxy

Dxyxx−−−−则有()()112222111222ln1ln1,yxyxyaxabxyaxabx=+=+−=−−=−分别相加得()()22111222ln10,ln10xaxabxxaxabx++−=

++−=相当于方程()2ln10xaxabx++−=，在(0,+∞)有两个不同的根，即()()2ln1hxxaxabx=++−在(0,+∞)有两个不同的交点，显然()00h=，即()()2ln1hxxaxabx=++−在)0,+有三个不同的交

点，得()()2ln1hxxaxabx=++−示意图由示意图可知该函数需要在(0,+∞)有两个极值点.为求导()()22211211axaabxabhxaxabxx+−+−=+−=++即导函数需要在(0,

+∞)有两个不同的零点，当0a时，显然()121hxaxabx=+−+在(0,+∞)单调递减，故不可能在(0,+∞)有两个不同的零点，当0a时，()()22211211axaabxabhxaxabxx+−+−=+−=++有两个不同零点，即()22210ax

aabxab+−+−=在(0,+∞)有两个不同的根34,xx，此时()()()222810280aabaabab−−−+−由韦达定理可知34341220,0222ababbbxxxxaa−−−=+==得1,2ab

b，故AD错误；因为0a，2b()()242220faabab−=−=−，故B错误；由题可知，当0x时，()()ln10fxx=+当0x时，()()fxaxxb=+，因为0a，2b得()211122442babfxf−

−=−=−,故C正确.故选：C【点睛】先利用对称性，将对称问题转化为交点问题，最后转化为函数零点问题，因为构造的函数有三个零点且连续，所以有两个极值点，然后讨论其导函数的解的问题，先判断简单选项，再判断复杂选项即可.二、多项选择题：本题共3

小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.设*Nn，曲线1nyx+=在点()1,1处切线的斜率为nk，与x轴的交点为(),0nx，与y轴

的交点为()0,ny，则（）A.1nnky+=−B.nnnykx=−C.121nnxxxk=D.()1121121nnnkkkyyy−−=−【答案】BC【解析】【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D．【详解】由于()1nynx=

+，所以1nkn=+，切线方程为()1ynxn=+−，从而1nnxn=+，nyn=−．1nnky+=，A错误；nnnykx=−，B正确；1212112311nnnxkxxnn===++，C正确；12123!nknkkn−==，()

()121121!nnnyyynn=−=−，D错误．故选：BC.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:(1)2Cxy−+=的动弦AB，圆22228C:(xa)(y)−+−=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C和圆2C存在公共点时，则实数a的取值范围为[3,5]−B.

1ABC的面积最大值为1C.若原点O始终在动弦AB上，则OAOB不是定值D.若动点P满足四边形OAPB为矩形，则点P的轨迹长度为23π【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，

分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.【详解】对于A，圆221:(1)2Cxy−+=的圆心为(1,

0)，半径为2，圆22228C:(xa)(y)−+−=的圆心为(),2a，半径为22，当圆1C和圆2C存在公共点时，12222222CC−+，所以222(1)232a−+，解得35a−，所以实数a的

取值范围为[3,5]−，正确；对于B，1ABC的面积为111122sinsin12ABCSACBACB==，当1π2ACB=时，1ABC的面积有最大值为1，正确；对于C，当弦AB垂直x轴时，()()0,1,0,1AB−，所以()011

1OAOB=+−=−，当弦AB不垂直x轴时，设弦AB所在直线为ykx=，与圆221:(1)2Cxy−+=联立得，()221210kxx+−−=，设1122()AxyBxy,,(,)，则12211x

xk−=+，()()2221212121212211111OAOBxxyyxxkxxkxxkk−=+=+=+=+=−+，综上1OAOB=−，恒为定值，错误；对于D，设𝑃(𝑥0,𝑦0)，OP中点00,22xy，该点也是AB中点，且2200ABOPxy==+，

又220022124xyAB=−−+，所以2222000022124xyxy−−+=+，化简得()220013xy−+=，所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为3的圆，

其周长为长度为23π，正确.故选：ABD11.已知函数()211xfxx+=−和()2gxxbxc=++，则下列说法正确的有（）A.若()0gx=有两个相同的实数根，则函数()241ycxbc=+−+

经过一二四象限B.()fx的图象和一个以()1,0为圆心，1为半径的圆没有交点C.()fx可以120x−时取到最小值222−D.若()gx有两个不同零点，设这两个零点分别为1x、2x（1x在2x的左边）在1x

时，若()fx的最小值等于2x，则bc=是不可能成立的【答案】BC在【解析】【分析】由𝑔(𝑥)=0有两个相同的实数根，得出240bc=，取0c=即可判断A；由两点之间距离公式及基本不等式即可判断B；由基本不等式即可判断C；由基本不等式及韦达定理即可判断D．【详解】对于A，若�

�(𝑥)=0有两个相同的实数根，则240bc−=，即240bc=，所以2411,0bcc−+=，则函数()2411ycxbccx=+−+=+，当0c=时，函数1y=，图象过一二象限，故A错误；对于B，()21,11xfxxx+=−，设(1,0)为点A，

设函数()fx的图象上一动点P坐标为21,,11mmmm+−，则()()()()()()22222222222111111111mmPAmmmmmm++=−+=−+−+−−−，()()2221121mm−+−，当且仅当2m=或0m=时，等号成立

，当0m=时，()22221121mPAmm+=−+=−，2PA=，当2m=时，()222211261mPAmm+=−+=−，26PA=，所以1PA，所以()fx的图象和一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆没有交点，故B正确；对于C，当120x−

时，()211xfxx+=−−，设1[13,1]xt−=−−，1xt=+，则()()22112222222tttfttttt++++=−=−=−−−−，当且仅当2tt−=−时，即2t=−时等号成立，12x=−，所以()f

x可以在120x−时取到最小值222−，故C正确；对于D，若()gx有两个不同零点，则方程20xbxc++=有两个不相等的实数根，所以240bc−，1212,xxbxxc+=−=，在1x时，()211xf

xx+=−，设10xt−=，则1xt=+，所以()()22112222222tttfttttt++++===+++，当且仅当2tt=，即2t=时取等号，此时21x=+，则2222x=+，若bc=，则()1212xxxx−+=，即()()11222222xx−−+

=+，解得12222xx=−，则存在4bc==−，()2Δ41644320bc=−=−−=，故D错误；故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和，若4210n

nSS=，则3nnSS=______．【答案】13【解析】【分析】利用等比数列的前n项和公式，结合已知求出3nq=，继而化简3nnSS，即可求得答案.【详解】设数列na的公比为q，由题意，显然10a，0q且1q，则()()41

242211111011nnnnnaqSqqSaqq−−==+=−−，解得3nq=，所以()()312311111391311nnnnnnaqSqqqSaqq−−==++=++=−−．故答案为：1313.若π0,2，ππ,22−，且()()1cos21sinsi

n2cos++=，则2tantan−的最小值为_________.【答案】3【解析】【分析】根据二倍角公式以及差角公式可得()cossin=−，进而得到π22=−，然后2tantan−中用π22−代换，化简后利用基本不等式求出最值.【详解】由()()1c

os21sinsin2cos++=得，()22cos1sin2sincoscos+=，又π0,2，所以cos0，所以()cos1sinsincos+=，所以()cossincoscossinsin

=−=−，因为π0,2，ππ,22−，tan0，所以()cossin0=−，则π22−+=−=，即π22=−，π2tantan2tantan22−=−−πsin2cos222tan2

tanπsin2cos22−−=−=−−2212sin1tan2tan2tan2sincos2tan−−=+=+23tan1113tan2tan2tan+==+1123tan32tan=当且仅当

3tan3=时，即ππ,66==−时等号成立.故答案为：3.14.对于两个事件M，N，若()01PM，()01PM，称(),PMN=()()()()()()()PMNPMPNPMPMPNPN−为事件M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划

周末去踏青，现有四个可出游的景点：南湖、净月、莲花山和天定山，若事件M：净月景点至少有一人：事件N：莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为______.【答案】1965819##1965819【解析】【分析】先求事件M

，N，MN的概率，再按定义求事件M，N的的相关系数.【详解】事件事件M：净月景点至少有一人，则事件M：净月景点无人，则()443814256PM==，所以()()8117511256256PMPM=−=−=；事件N：

莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，所以()()1432213244444CCC2C2C2654128PN+++==，所以()()656311128128PNPN=−=−=.事件MN：净月景点至少有一人，莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人，()()()

11123211231423334222424CCCCCCCCCCC4PMN+++++=1002525664==所以()()()()()()()(),PMNPMPNPMNPMPMPNPN−=251756564256128175816563256256128128−=

1965819=.故答案为：1965819.【点睛】方法点睛：解决组合综合题目，要先分类，再分布.在求事件MN所包含的基本事件个数时，按净月景点的人数为1，2，3分类，再选定莲花山和天定山中一个景点无人，则另一个景点必须有人，按人数分类，最后讨论剩下的人员的安排.四、解答题：本题共5小题，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscosaBbAbc−=+.（1）求角A；（2）若3a=，sinsin622CB+=，求ABCV的面积.【

答案】（1）2π3A=（2）9334−【解析】【分析】（1）由题意利用边化角可得sincossincossinsinABBABC−=+，再利用sinsin()CAB=+结合和差公式化简得1cos2A=−，继而即可求解.（2）利用和差公式，由sinsin622

CB+=可得2cos2B=，继而可得π4B=，π12C=，由（1）的结论，结合正弦定理及3a=，可得6b=，根据πππsinsin()1234=−，利用和差公式可得62sin4C−=，再由面积公式即可求解.【小问1详解】coscosaBbAbc−=+

，由正弦定理得sincossincossinsinABBABC−=+，即()sincossincossinsinABBABAB−=++，sincossincossinsincoscossinABBABABAB−=++，2sinc

ossinBAB−=，sin0B，1cos2A=−，0πA，2π3A=．【小问2详解】2π2sinsin2sinsin3CBBB+=++132sincossin22BBB=−++

2cos63B==，2cos2B=，0πB，π4B=，2πππππ3412CAB=−−=−−=，由23sinsinbaBA==，得223sin2362bB===，πππππππsinsin()sin

coscossin12343434=−=−32126222224−=−=，1136si2πsin22n1ABCCSab==△16293336244−−==.16.设数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS，且满

足3nnSa+=.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设12log3nnnaba+=−，数列{𝑏𝑛}的前n项和为nT，若对任意的*,21nnT−N恒成立，求的取值范围.【答案】（1）32nna=（2）)5,+【解析】【分析】

（1）根据nS与na之间的关系分析可知数列na是首项为32，公比为12的等比数列，进而可得通项公式；（2）由（1）可知：332nnnb+=，利用错位相减法可得3992nnnT+=−，结合恒成立问题分析求解即可.【小问1详解】因为3nnSa+=，当

1n=时，由113aa+=，解得132a=；当2n时，则113,3nnnnSaSa−−+=+=，两方程相减得120nnaa−−=，即112nnaa−=；可知数列na是首项为32，公比为12的等比数列，所以1313222nnna

−==.【小问2详解】由（1）可知：1233log32nnnnanba++=−=，则236912332222nnnT+=++++，2341169123322222nnnT++=++++，两式相减得123113114213333333

33122222212nnnnnnnT−++−++=++++−=+−−L，可得11939222nnnT++=−，即3992nnnT+=−.因为1113123936990222nnnnnnnnTT++++++

−=−−−=，可知nT是单调递增数列，且3902nn+，可得39992nnnT+=−，因为对任意的*,21nnT−N恒成立，可得921−，解得5，所以的取值范围为)5,+.17.已知函数()()lnfxaxxaa=−−R，且()0f

x恒成立．（1）求实数a的取值集合；（2）证明：()2ee32lnxxxx+−++．【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可知只需证明()min0fx，利用导数研究函数最小值即可；（

2）先利用（1）ln1xx−进行放缩，再构造函数证明即可.【小问1详解】()1(0)fxaxx=−．①当0a时，()()0,fxfx在(0,+∞)上单调递减，当1x时，()()10fxf=，

这与()0fx矛盾，不合题意.②当0a时，由𝑓′(𝑥)<0得10xa；由𝑓′(𝑥)>0得1xa，则𝑓(𝑥)在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增，1xa=时，函数()fx取得唯一极小值即最小值．又()

0fx且𝑓(1)=011a=，解得1a=，故实数a的取值集合是1．【小问2详解】由（1）可知：1a=时，()0fx，即ln1xx−对任意0x恒成立．要证明：()2e2e3lnxxxx++−+，则

只需要证明()2e1e2xxx++−，即()2e1e20xxx−−−−．令()()2e1e2,0xhxxxx=−−−−,()()e2e2xhxx=−−−，令()()()e2e2,e2xxuxxux=−−−=−，令()e20xux=−=，解得ln2x=．当()0,ln2

x时，()0ux，()ux单调递减，当()ln2,x+时，()0ux，()ux单调递增．的即函数()hx在()0,ln2内单调递减，在()ln2,+上单调递增．而()()()()01e23e0,ln210.hhh=−−=−=所以存在()00,ln2x，

使得()00hx=，当𝑥∈(0,𝑥0)时，()()0,hxhx单调递增；当()0,1xx时，()()0,hxhx单调递减．当𝑥∈(1,+∞)时，()()0,hxhx单调递增．又()()()01

10,1e11e20hh=−==−−−−=，对()0,0xhx恒成立，即()2e1e20xxx−−−−．综上可得()2ee32ln.xxxx+−++18.近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧

和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游

戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止.（1）若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（2）若恰

在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（3）游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两

个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？【答案】（1）103680（2）576（3）10【解析】【分析】（1）（2）根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解，（3）根据题意可得12nnnaa++=，*nN，即可根据

递推关系求解.【小问1详解】先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有46A种不同的搜索方法，再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有24A种搜索方法，再排余下4个搜索位置，有44A种搜索方法.所以共有424644AAA103680=种不同的搜索方法.【小问2详解】第5次搜索

恰为最后一个“魔法师”，则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，所以共有114464CCA576=种不同的搜索方法.【小问3详解】由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花.这意味着在第2次传花时

，花必须传给乙或丙.同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中.因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.设na为经过n次传花后花在甲手上的线路数，其中10a=.则1na+为经过1n+次传花后花在甲手上的线路数，即经过n次传花后花不在甲手上的线路数，所以1nnaa++为经过n次传花

的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），则12nnnaa++=，*nN.所以22a=，32a=，46a=，510a=，综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.19.已知Ω是棱长为2的正四面体ABCD，设Ω的四个顶点到平面的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则

称为Ω的k阶等距平面，M为Ω的k阶等距集.（1）若为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为a，求a的所有可能值以及相应的的个数；（2）已知为Ω的4阶等距平面，且点A与点,,BCD分别位于的两侧.若Ω的4阶等距集为,2,3,4bbbb，其中点A到的距离为b，求平面BCD与夹

角的余弦值.【答案】（1）答案见解析（2）427.的【解析】【分析】（1）分两种情况得出a的所有可能值以及相应的的个数；（2）先根据已知得出:1:2,:1:3,:1:4ADDBAEECAFFD===，再计算求得余弦值.【小问1详解】①情形一：

分别取,,ABACAD的中点,,MEF，由中位线性质可知22DEEF==，此时平面DEF为Ω的一个1阶等距平面，b为正四面体高的一半，等于1632233=.由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；②情形二：分别取,,

,ABACCDDB的中点,,,PQRS将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，则a为正方体棱长的一半，等于12.由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.综上，

当a的值为33时，有4个；当a的值为12时，有3个.【小问2详解】在线段,,ABACAD上分别取一点,,MEF，使得:1:2,:1:3,:1:4AMMBAEECAFFD===，则平面即为平面MEF.如图，取BD中点O，连接,OC，以O为坐标原点，,OCOD所在直线分别为,

xy轴，过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，623,0,63A，设111623162235623,0,,,,,43433362336618MEAEAMACAB=−=−=−−−−−=

，11162231622364243,,,,,,5356233623451545MFAFAMADAB=−=−=−−−−−−=，设平面M

EF法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)所以00mMFmME==，即4322052320xyzxyz++=++=，所以()0,1,6m=−，又平面BCD的法向量为()0,0,1n=，设平面BCD与夹角为所以642c

os716mnmn===+，所以平面BCD与夹角余弦值为427.