【文档说明】福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(21)页，1.528 MB，由小赞的店铺上传

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厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分命题人：高玉华审核人：黄文根）试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题，共58分）一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）1.已知(1,1,0),(1,1,2)ab==−，则ab=（）A.1−B.0C.1D.22.椭圆221259xy+=上一点P到左焦点距离为6，则P到右焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.123

.“3a=”是“直线20xy+−=与圆C：()()228xaya−+−=相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件4.下列命题中，不正确的命题是（）A.空间中任意两个向量一定共面B.若ab∥

，则存在唯一的实数，使得ab=C.对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若243OPOAOBOC=−+，则P，A，B，C四点共面D.若,,abc是空间的一个基底，mac=+，则,,abm也是空间的一个基底5.平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是边长为2的正方形，且1

160AADAAB==，13AA=，M为11AC，11BD的交点，则线段BM的长为（）的A.11B.10C.3D.226.在平面直角坐标系xOy中，直线l：0mxym+−=被圆M：224210xyxy+−−+=截得的最短弦的长度为（）A.2B.2C.22D.47.已知12,FF分

别为椭圆()2222:10xyEabab+=的两个焦点，P是椭圆E上的点，12PFPF⊥，且122PFPF=，则椭圆E的离心率为（）A.102B.104C.53D.568.如图是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是

由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是（）A.1232，B.1332，C.1222，D.13，22二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.空间直角坐标系Oxyz−中，已知()1,2,2A−，()0,1,1B，下列结论正确的有（）A.()1,1,3

AB=−−B.点A关于xOy平面对称点的坐标为()1,2,2−C.若()2,1,1m=，则⊥mABD.若(),2,6na=−，nBA∥，则2a=−10.如图，在棱长为2正方体1111ABCDABCD−中，E，F，G分别为棱11AD，1A

A，CD的中点，则（）的的A.直线BE与CD所成角的余弦值为53B.点F到直线BE的距离为1C.1BG⊥平面BEFD.点1A到平面BEF的距离为4311.已知椭圆22:1259xyC+=，12,FF分别为它的左右

焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.存在P使得12π2FPF=B.椭圆C的弦MN被点()1,1平分，则925MNk=−C.12PFPF⊥，则12FPF的面积为9D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值925第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空

题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知直线l的一个方向向量为()1,5−，则直线l的斜率为_______．13.已知F为椭圆22:14xCy+=的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若||||OMOF=，则OMF的面积为________．14.古希腊

数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A−，()2,0B，圆

()()221:24Cxym−+−=()0m，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是______．四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知ABCV的顶点()4,3

A，AB边上的高所在直线为30xy−−=，D为AC中点，且BD所在直线方程为370xy+−=.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求顶点B的坐标.16.已知空间三点()2,0,1A，()2,4,3B−，()1,1,1C．（1）求向量

AB与AC夹角的余弦值；（2）求ABCV的面积.17.已知圆C的圆心M在直线2yx=−上，并且经过点(0,1)P−，与直线10xy−−=相切．（1）求圆C的方程；（2）经过点(2,1)的直线l与圆C相交于A，B两点，若||2

AB=，求直线l的方程．18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣3，0），点13,2M在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=45

，求直线AB的方程.19.已知O为坐标原点，圆O：221xy+=，直线l：yxm=+（01m），如图，直线l与圆O相交于A（A在x轴的上方），B两点，圆O与x轴交于,MN两点（M在N的左侧），将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（

平面AMN）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BMN）互相垂直，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴正半轴，原y轴正半轴所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若0m=．（ⅰ）求三棱锥ABMN−体积；（

ⅱ）求二面角ABNM−−的余弦值．（2）是否存在m，使得AB折叠后长度与折叠前的长度之比为306？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．的的厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分命题人：高玉华审核人：黄文根）试卷分第I卷（选择题

）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题，共58分）一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知(1,1,0),(1,1,2)ab==−，则ab=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分

析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可.【详解】因为()()()1,1,01,1,21111020ab=−=−++=.故选：B2.椭圆221259xy+=上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.12【答案】C【解析】【分析】根据

椭圆的定义求解即得.【详解】由225a=，则5a=，所以210a=，根据椭圆的定义，点P到右焦点的距离为1064−=.故选：C.3.“3a=”是“直线20xy+−=与圆C：()()228xaya−+−=相切”的（）A.充分不必要

条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据相切关系可得1a=−或3，结合充分、必要条件分析判断.【详解】圆C：()()228xaya−+−=的圆心为(,)Caa，半径为22，若直线20xy+−=与圆C相切，则2222aa+

−=，解得1a=−或3，且3是1,3−的真子集，所以“3a=”是“直线20xy+−=与圆C：()()228xaya−+−=相切”的充分不必要条件．故选：A.4.下列命题中，不正确的命题是（）A.空间中

任意两个向量一定共面B.若ab∥，则存在唯一的实数，使得ab=C.对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若243OPOAOBOC=−+，则P，A，B，C四点共面D.若,,abc是空间的一个基底，mac=+，则,,abm也是空间的一个基底【答案】B【解析】【分析

】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确.B选项，若ab∥，可能a是非零向量，b是零向量，此时不存在，使ab=，所以B选项错误.C选项

，对于243OPOAOBOC=−+，有()2431+−+=，所以,,,PABC四点共面，所以C选项正确.D选项，若,,abc是空间的一个基底，mac=+，假设mxayb=+，(),1acxaybcxayb+=+=−+，则,,abc共面，与已知矛盾，所以,,abm不共面，所以,

,abm是基底，所以D选项正确.故选：B5.平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是边长为2的正方形，且1160AADAAB==，13AA=，M为11AC，11BD的交点，则线段BM的长为（）A.11B.

10C.3D.22【答案】A【解析】【分析】由11122BMAAADAB=+−平方即可求解.【详解】由题意可知：()11111111111112222BMBBBDBBADABAAADAB=+=+−=+−，则2222211111111122442BMAAADABAAADABAAAD

AAABABAD=+−=+++−−11911323201122=+++−−=，所以11BM=.故选：A.6.在平面直角坐标系xOy中，直线l：0mxym+−=被圆M：224210xyxy+−−+=截得的最短弦的长度为（

）A.2B.2C.22D.4【答案】C【解析】【分析】先求出直线l过定点()1,0A，由圆的几何性质可知，当AM⊥直线l时，弦长最短，求解即可.【详解】直线l：0mxym+−=过定点()1,0A，圆M：()()22214xy−+−=，圆心()2,1M，半径2R=因为点(

)1,0A在圆M内，由圆的几何性质可知，当AM⊥直线l时，弦长最短为22224222RMA−=−=，故选：C7.已知12,FF分别为椭圆()2222:10xyEabab+=的两个焦点，P是椭圆E上的点，12PFPF⊥，且122P

FPF=，则椭圆E的离心率为（）A.102B.104C.53D.56【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.【详解】由椭圆定义得：122PFPFa+=，又因为122PFPF=，所以解得：1242,33PFaPFa==，再由于12PFPF⊥

，122FFc=，结合勾股定理可得：()22242233aac+=，解得2259ca=，所以椭圆E的离心率为53，故选：C.8.如图是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若

点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是（）A.1232，B.1332，C.1222，D.13，22【答案】C【解析】【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解【详解】由题意得该几何体

有6个面为边长为2的正方形，8个面为边长为2的等边三角形，在原正方体中建立如图所示空间直角坐标系，原正方体边长为2，则(2,1,0)A，(2,2,1)F，(1,2,2)D，设(,1,2),01Ettt−，(0,1,1)AF=，(1,1,0

)DEtt=−−−，则直线DE与直线AF所成角的余弦值22222|1|12112cos121212(1)(1)tttttttt+++===+++−+−−，而01t，故220,11tt+，12cos[,]22，故

选：C.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.空间直角坐标系Oxyz−中，已知()1,2,2

A−，()0,1,1B，下列结论正确的有（）A.()1,1,3AB=−−B.点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2−的C.若()2,1,1m=，则⊥mABD.若(),2,6na=−，nBA∥，则2a=−【答案】ACD【解

析】【分析】根据空间向量的坐标运算计算判断A．由对称点的性质判断B，由向量的数量积是否为0判断C，由向量平行的坐标表示求参判断D，【详解】由题意(0,1,1)(1,2,2)(1,1,3)AB=−−=−−，A正确；关于xOy平面对称的点的坐标,xy

坐标相同，z坐标相反，因此点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,2)，B错，若()2,1,1m=，则2130mAB=−−+=，所以⊥mAB，C正确；若(),2,6na=−且nBA∥，则23116a−==−−，解得2a=−，D正确，故选：ACD．10.如图，在棱长为2的正方体

1111ABCDABCD−中，E，F，G分别为棱11AD，1AA，CD的中点，则（）A.直线BE与CD所成角的余弦值为53B.点F到直线BE的距离为1C.1BG⊥平面BEFD.点1A到平面BEF的距离为43【答案】BC

【解析】【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离.【详解】如图，以D坐标原点建立空间直角坐标系，为则()()()()()()()1112,0,0,2,2,0,0,2,0,0

,0,0,2,0,22,2,2,0,0,2ABCDABD，且E，F，G分别为棱11AD，1AA，CD的中点，可知()()()1,0,2,2,0,1,0,1,0EFG，可得()()()()()111,2,2,0,2,1,0,2,0,2,1

,2,0,0,1=−−=−===uuruuuruuuruuuruuurBEBFDCGBFA，对于选项A：因42cos,323−===−uuruuuruuruuuruuruuurBEDCBEDCBEDC，所以直

线BE与CD所成角的余弦值为23，故A错误；对于选项B：因为BF在BE方向上的投影向量的模长为2=uuuruuruurBFBEBE，且5BF=，点F到直线BE的距离为()22521-=，故B正确；对于选项C：因为1100GBBEGBBF

==，可得11GBBEGBBF⊥⊥，且BEBFB=，,BEBF平面BEF，所以1BG⊥平面BEF，故C正确；对于选项D：因为平面BEF的法向量可以为()12,1,2=uuurGB，点1A到平面BEF的距离为11123=uuuruu

uruuurFAGBGB，故D错误；故选：BC.11.已知椭圆22:1259xyC+=，12,FF分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.存在P使得12π2FPF=B.椭圆C的弦MN被点()1,1平分，则925MNk=−C.12PFPF⊥

，则12FPF的面积为9D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值925为【答案】ABC【解析】【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出12FPF范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D.【详解】对于A.由

余弦定理知()2222212122112211212122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==()()22222122112212212122711122522PFPFFFPFPFFFbPFPFaPFPF+−+−=−−=−=−

+，当且仅当11PFPF=时，等号成立，因为cosy=在(0,π)上递减，所以此时21FPF为钝角最大，所以存在P使得12π2FPF=，所以A正确；对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线

1x=时，66661,,1,55MN−，()1,1不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.设()()1122,,,MxyNxy，则222211221,1259259xyxy+=+=，两式相减并化简得12121212925yyyyxxxx

+−−=+−，所以1212925MNyykxx−==−−，所以B正确；对于C.12210PFPFa+==，1228FFc==，因为12PFPF⊥，所以222121264PFPFFF+==，因为()2221212

122PFPFPFPFPFPF+=++，解得1218PFPF=.因为12PFPF⊥，所以1212192FPFSPFPF==△，所以C正确；对于D.()()5,0,5,0AB−，设()()000,5Pxyx，则2200

1259xy+=，整理得()202092525xy−=−，的可得直线PA，PB的斜率分别为0000,55PAPByykkxx==+−，所以()20200022000092592555252525PAPBxyyykkxxxx−−====−+−−−，所以D

错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知直线l的一个方向向量为()1,5−，则直线l的斜率为_______．【答案】5−【解析】【分析】根据直线的方

向向量与直线斜率之间的关系分析求解即可.【详解】由题意可知，直线l的斜率为551k==−−.故答案为：5−.13.已知F为椭圆22:14xCy+=的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若||||OMOF=，则OMF的面积为________．【答案】12##0.5【解

析】【分析】法一：直接设出M坐标为00(,)xy，利用M在椭圆上以及||||OMOF=得到关于00,xy的方程组，从而解出0||y，进而求出OMF的面积.法二：利用||||OMOF=，推导出M与两焦点构成的三角形为直角三角形，再求出该直角三角形面积，从而利用几何关系得出O

MF的面积.【详解】法一：设椭圆上()00,Mxy，则22003xy+=，又220014xy+=，联立解得2013y=，033y=，则0113132232OMFSOFy===．法二：设椭圆的另一焦点F，OFOFOM==，则焦

点FMF△为直角三角形，设||FMm=，||FMn=，则24mna+==，2222||(2123)mnFF+===，解得2mn=，所以112FMFSmn==△.则1122OMFFMFSS==△△．故答案为：1214.古希

腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为

阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A−，()2,0B，圆()()221:24Cxym−+−=()0m，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是______．【答案】521,22【解析】【分析】设

𝑃(𝑥,𝑦)，根据2PAPB=求出点P的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，因为点()1,0A−，()2,0B，2PAPB=，所以(

)()2222122xyxy++=−+，即22650xyx+−+=，所以()2234xy−+=，可得圆心()3,0，半径2R=，由圆()()221:24Cxym−+−=可得圆心()2,Cm，半径12r=，因为在圆C

上存在点P满足2PAPB=，所以圆()2234xy−+=与圆()()221:24Cxym−+−=有公共点，所以()2211232222m−−++，整理可得：2925144m+，解得52122m，所以实数m的取

值范围是521,22，故答案为：521,22.四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知ABCV的顶点()4,3A，AB边上的高所在直线为30xy−−=，D为AC中点，且BD所在

直线方程为370xy+−=.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求顶点B的坐标.【答案】（1）70xy+−=；（2）(0,7)B.【解析】【分析】（1）利用垂直关系求出直线AB的斜率，进而求出其方程.（2）求出直线的交点坐标即可.【小问1详解

】由AB边上的高所在直线30xy−−=的斜率为1，得直线AB的斜率为1−，又直线AB过()4,3A，所以直线AB的方程为()34yx−=−−，即70xy+−=.【小问2详解】由直线BD的方程为370xy+−=，而顶点B为直线AB与直线BD的交点，由37070

xyxy+−+−＝＝，解得07xy=＝，所以点()0,7B.16.已知空间三点()2,0,1A，()2,4,3B−，()1,1,1C．（1）求向量AB与AC夹角的余弦值；（2）求ABCV的面积.【答案】（1）105−（2）6【解析】【分

析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值；（2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积.【小问1详解】由()2,0,1A，()2,4,3B−，()1,1,1C，则()0,4,2AB=−，()1,1,0AC=−，()2

24225AB=−+=，()22112AC=−+=，所以04010cos,5252ABAC−+==−；【小问2详解】由（1）得10coscos,5AABAC==−，则221015sin1cos155AA=−=

−−=，所以1115sin2526225ABCSABACA===.17.已知圆C的圆心M在直线2yx=−上，并且经过点(0,1)P−，与直线10xy−−=相切．（1）求圆C的方程；（2）经过点(2,1)的直线l与圆C相交于A，B两

点，若||2AB=，求直线l的方程．【答案】（1）222430xyxy+−++=（2）4350xy−−=或2x=【解析】【分析】（1）设圆C的方程为222()()(0)xaybrr−+−=，由题意，列出方程组，求解得,,abr的值，即可写出圆C的方程；（2）分直线的斜率是否存在

进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点,AB的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设l的方程为1(2)ykx−=−，由圆心到直线的距离等于半径求出k的值即得.【小问1详解】设圆C方程为222()()(0)xaybrr−+−=，由已知得2222(1),12baabrabr=−+−−=−

−=，解得1a=，2b=−，2r=，所以圆C的方程为22(1)(2)2xy−++=，即222430xyxy+−++=；【小问2详解】①若直线l有斜率，可设l的方程为1(2)ykx−=−，即(12)0kxyk−+−=，由已

知，则圆心(1,2)M−到直线l的距离2222(12)2(2)21kkk++−=−+解得43k=，此时，直线l的方程为41(2)3yx−=−，即4350xy−−=；②若直线l没有斜率，则l的方程为2x=，将其代入22(1)(2)2x

y−++=，可得1y=−或=3y−，即得(2,1)A−，(2,3)B−，满足条件||2AB=，综上所述，直线l的方程为4350xy−−=或2x=．18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣3，0），点13,2M在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2

）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=45，求直线AB的方程.【答案】（1）24x+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0.【解析】的【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点13,2M在椭圆上，

所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出a的值，再由222bac=−可求出b，从而可求得椭圆C的标准方程；（2）设1122()AxyBxy,,(,)，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根

与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出m的值，进而可得直线AB的方程.【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为2222xyab+=1（a＞b＞0），因为椭圆的左焦点为F1（﹣3，0），设椭圆的右焦点为F

2（3，0），由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，所以22431bac=−=−=，所以椭圆C的方程为24x+y2=1，（2）设1122()AxyBxy,,(,)，由题可设直线AB的方程为x=my+1.联立直线与椭圆的方程，

22141xyxmy+==+，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，则有12122223,44myyyymm−+==−++，所以1212SOPyy=−212121()42yyyy=+−2221234244mmm−=+++22234mm+=+又由S=45，即2

223445mm+=+解得m2=1，即m=±1.故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=019.已知O为坐标原点，圆O：221xy+=，直线l：yxm=+（01m），如图，直线l与圆O相交于A（A在x轴的上方），B两点，

圆O与x轴交于,MN两点（M在N的左侧），将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AMN）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BMN）互相垂直，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴正半轴，原y轴正半轴所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若0

m=．（ⅰ）求三棱锥ABMN−的体积；（ⅱ）求二面角ABNM−−的余弦值．（2）是否存在m，使得AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为306？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（ⅰ）16；（ⅱ）1477−（2）存在，22m=【解析】【

分析】（1）（ⅰ）由已知，可得22,22A，22,22B−−，即可求得求三棱锥ABMN−的体积；（ⅱ）求出平面ANB的一个法向量()12,1,21n=+−和平面BMN的一个法向量()0,0,1m=，利用向量的坐标运算即可

求得二面角ABNM−−的余弦值．（2）分别求出AB折叠前的长度与折叠后的长度，比为306时，求得22m=，可得答案.【小问1详解】（ⅰ）若0m=，折叠前直线l的方程为yx=，联立221yxxy=+=，解得2222xy==或2222xy=−

=−，可得22,22A，22,22B−−，圆O：221xy+=，与x轴交于,MN两点，则2MN=，折叠后三棱锥ABMN−的体积为11221232226=．（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则220,,22A，22,,022B

−，()0,1,0M−，()0,1,0N，220,1,22AN=−−，22,1,022BN=−+．设平面ANB的一个法向量为(),,nxyz=，则00ANnBNn==，即221022221022y

zxy−−=−++=，令1y=，则12x=+，21z=−，所以()12,1,21n=+−．易知()0,0,1m=为平面BMN的一个法向量，设二面角ABNM−−的大小为，由题可知为锐角，所以coscos,mnmnmn==()()22

221211477712112−−−===+++−故二面角ABNM−−的余弦值为1477−．【小问2详解】设折叠前𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，圆心()0,0到直线l的距离2md=，则2221212mABd=−=−，直线l与圆O方程联立22,1,yxm

xy=++=得222210xmxm++−=，即12xxm+=−，21212mxx−=．设A，B在新图形中的对应点分别为,AB，()110,,Axy，()22,,0Byx−，()()2222121AByxxy=−+−+2222221211223yx

xyxxm=+++−=−．若AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为306，则223306212mm−=−，解得22m=，故当22m=时，AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为306．【点睛】关键点点睛：（2）由几何法求出AB折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定

理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为306时，求得22m=，可得答案.