【文档说明】2024-2025学年精品同步课时作业 人教A版数学 必修第一册 第四章 单元素养水平监测.docx，共(8)页，151.748 KB，由envi的店铺上传

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第四章单元素养水平监测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数f(x)＝x－1＋log3(4－x)的定义域为()

A．{x|1<x<4}B．{x|1≤x≤4}C．{x|1<x≤4}D．{x|1≤x<4}2．有一组实验数据如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝0.5tB．v

＝0.5(t2－1)C．v＝log0.5tD．v＝log2t3．已知ab＝－5，则a－ba＋b－ab的值是()A．25B．0C．－25D．±254．函数f(x)＝－x5－x＋3的零点所在区间为()A．(1，2)B．(2，3)C．(0，1)D．(－1

，0)5．已知a＝log0.32，b＝30.3，c＝0.32，则()A．a<c<bB．a<b<cC．c<a<bD．b<c<a6．已知函数f(x)＝a＋22x＋1的图象关于原点对称，则a＝()A．1B．－1C．2D．－37．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为()8．某地有一片

长期被污染水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼类数量可以采用阻滞增长模型x(t)＝M1＋（Mx0－1）e－rt进行预测，其中x(t)为t年后的鱼类数量，r为自然增长率，M(单位：万条)为饱和量，x0(单位：万条)为初始值．已知2022年底该水域的鱼类数量为20万

条，以此为初始值，若自然增长率为0.14，饱和量为1600万条，那么预计2032年底该水域的鱼类数量约为(参考数据e1.4≈4)()A．68万条B．72万条C．77万条D．83万条二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符

合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．关于函数f(x)＝x3－2x＋1的零点，下列选项说法正确的是()A．(1，0)是f(x)的一个零点B．f(x)在区间(－2，－1)内存在零点C．f(x)至少有2个零点D．f(x)的零

点个数与x3－2x＋1＝0的解的个数不相等10．已知log12a<log12b，则下列不等式一定成立的是()A．1a>1bB．(14)a<(13)bC．ln(a－b)>0D．3a－b>111．图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的

成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是()A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用

为1万元B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用12．函数f(x)＝（13）x，x≤a－x2＋2x＋1，x>a，则下列结论正确

的是()A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数三、填空题(本题共

4小题，每小题5分，共20分．)13．已知函数f(x)＝(15)ax，其中a为常数，且函数的图象过点(－1，5)，则a＝________．14．已知函数f(x)＝3x（x≤0）log2x，（x>0），则f(f(116))＝________．15．已知函数f(x)＝

ax(a>0，a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝loga(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为________．16．函数f(x)＝2x，x≥0－x2－2x＋1，x<0，

函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)计算下列两个小题：(1)eln3＋2lg2＋lg15＋lg13；(2

)80.25×42＋(2×33)6＋π0.18．(本小题12分)己知f(x)＝2x＋1，x≤0log2（x＋1），x>0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围．19．(本小题

12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点P.(1)求P的坐标；(2)若f(x)在[2，4]上的图象始终在直线y＝－x＋8的下方，求a的取值范围．20．(本小题12分)已知

函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(1)若函数f(x)的图象经过点(2，14)，求f(x)在区间[－1，1]上的值域；(2)求使得不等式f(x2－x)>1成立的实数x的取值范围．21．(本小题12分)Logistic模型是常用的

预测区域人口增长的模型之一，其形式为Pt＝K1＋C×e－rt，其中Pt是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；时间2010年

2015年2020年…间隔年份t(单位：年)0510…人口数量Pt(单位：万)8086.36892.076…该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数Pt＝1201＋0.5×e－0.05t能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt

(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系．(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).参考数据：e－0.

5≈0.607，e－1≈0.368，(101.35192.076)0.1≈1.010.22．(本小题12分)已知函数f(x)＝log2x.(1)若a>b>0，证明：f（a）＋f（b）2<f(a＋b2)；(2)若g(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x＋2)－1.(ⅰ)求g(x)

的解析式；(ⅱ)求方程2g(x)－x＝0的所有根.第四章单元素养水平监测1．解析：由题意得，x－1≥0，4－x>0，解得1≤x<4，所以函数的定义域为{x|1≤x<4}．故选D.答案：D2．解析：由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，

数据散点图和对数函数v＝log2t的图象类似，所以选项D最能反映t，v之间的函数关系．故选D.答案：D3．解析：由题意知ab<0,a－ba＋b－ab＝a－aba2＋b－abb2＝a5a2＋b5b2＝a5|a|＋b5|b|，由于ab<0，故a|a|＝－b|b|，则原式＝0.

故选B.答案：B4．解析：因为f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1>0，f(2)<0，所以f(x)的零点所在区间为(1，2).故选A.答案：A5．解析：∵0<0.32<0.30＝1，30.3>30＝1，∴0<c<1<

b，∵log0.32<log0.31＝0，∴a<0，∴a<c<b.故选A.答案：A6．解析：由已知得f(x)的定义域为R且是奇函数，∴f(0)＝a＋220＋1＝a＋1＝0，解得a＝－1，检验：当a＝－1时，f(x)＝－1＋22x＋1＝－2x＋12

x＋1，f(－x)＝－2－x＋12－x＋1＝－1＋2x1＋2x＝－f(x)，故a＝－1.故选B.答案：B7．解析：函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，可以排除选项B、C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|

x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除选项D.故选A.答案：A8．解析：根据题中所给函数模型，代入有关数据，以2022年的数量为初始值，所以有x(10)＝16001＋（160020－1）e－0.14×10≈16001＋794＝640083≈7

7，所以预计2032年底该水域的鱼类数量约为77万条．故选C.答案：C9．解析：因为f(1)＝13－2×1＋1＝0，所以x＝1是f(x)的一个零点，A不正确；因为f(－2)＝(－2)3－2×(－2)＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3－2×(－1)＋1＝2>0，所以f(x)在区间

(－2，－1)内存在零点，B正确；令f(x)＝0，得x3－x2＋x2－2x＋1＝(x－1)(x2＋x－1)＝0，因为方程x2＋x－1＝0的判别式Δ>0，且1不是x2＋x－1＝0的根，所以f(x)有3个零点，C正确；由零点的定义可知D不正确．故选BC.答案：BC10．解析：由

题设a>b>0，则1a<1b，A错误；3a－b>30＝1，D正确；由(14)a<(14)b<(13)b，B正确；由于a－b与1的大小未知，C错误．故选BD.答案：BD11．解析：A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确

；B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：对于A，当a＝0时，函数f

(x)＝（13）x，x≤0－x2＋2x＋1，x>0，当x≤0时，f(x)＝(13)x为减函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(0，1)，故A正确；对于B，当x≤a时，

f(x)＝(13)x为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于正无穷，即f(x)没有最大值；当x>a时，f(x)＝－x2＋2x＋1的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即f(x)没有最小值；故B正确；对于

C，当x≤a时，函数f(x)＝(13)x的图象与x轴没有交点，当x>a时，由－x2＋2x＋1＝0得x＝1＋2或x＝1－2，所以当a≥1＋2时，函数f(x)＝－x2＋2x＋1＝0(x>1＋2)的图象与x轴没有交点，故C不正确；

对于D，当a≥1＋2时，函数f(x)＝(13)x在(－∞，a]上为减函数，函数f(x)＝－x2＋2x＋1在(a，＋∞)上为减函数，且(13)a>0，－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2≤0，(13)a>－a2＋2a＋1，所以此时函数f(x)为R上的减函数，故D正确．故选ABD.答案：ABD1

3．解析：由题知，将点(－1，5)代入f(x)＝(15)ax中有：(15)－a＝5，解得：a＝1.答案：114．解析：由分段函数可知，f(116)＝log2116＝－4，f(－4)＝3－4＝181，即f(f(116))＝181.答案：18115

．解析：当a>1时，f(x)在[0，1]单调递增，可得a＋1＝3，即a＝2；当0<a<1时，f(x)在[0，1]单调递减，可得a＋1＝3，即a＝2，舍去；所以y＝loga(－x2＋2x＋3)即y＝log2(－x2＋2x＋3)(－1<x<3)，设t＝－x2＋2x＋3，(－1

<x<3)，则y＝log2t.因为y＝log2t在(0，＋∞)单调递增，所以要求函数y＝loga(－x2＋2x＋3)的单调递减区间，只需求t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的减区间．而t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的减区间为(1，3).答案：(1，3)16．解析：由

题，当x≥0时，f(x)＝2x，当x<0时，y＝－x2－2x＋1为二次函数，对称轴为x＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象有故函数f(x)有1个零点．又y＝f(x)与y＝m有三个不同的交点则由图象有y＝－x2－2x＋1最大值为4×（－1）×1－

（－2）24×（－1）＝2.故m∈(1，2).答案：1(1，2)17．解析：(1)eln3＋2lg2＋lg15＋lg13＝3＋lg2＋lg15＋lg13＝3＋lg(2×15×13)＝4.(2)80.25×42＋(2×33)6＋π0＝20.75×20

.25＋(2)6×(33)6＋1＝2＋8×9＋1＝75.18．解析：(1)画出函数f(x)的图象，如图所示：(2)由图象得：f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)；无单调递减区间．(3)若函数y＝f(x)－m有两个零点，则y＝f(

x)与y＝m有2个交点，结合图象得1<m≤2.19．解析：(1)令x＝2，则f(2)＝loga1＋2＝2，所以P的坐标为(2，2).(2)对直线y＝－x＋8，当x＝2时，y＝6，当x＝4时，y＝4.当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，则f(4)＝loga3＋2<4，

得a>3.当0<a<1时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(2)＝2<4恒成立．故a的取值范围为(0，1)∪(3，＋∞).20．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，14)

，所以a2＝14，所以a＝12，所以f(x)＝(12)x，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)的最小值为f(1)＝12，最大值为f(－1)＝2，所以f(x)的值域为[12，2].(2)因为函数f(

x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以f(x2－x)>1即为ax2－x>1，所以ax2－x>a0，当a>1时，所以f(x)在区间R上单调递增，则x2－x>0，解得x<0或x>1；当0<a<1时，所以f(x)在区间R上单调递减，则得x2－x<0

，解得0<x<1，综上可得当a>1时，x的范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)；当0<a<1时，x的范围是(0，1).21．解析：(1)2030年即间隔年份为20年，该地区的人口数量P20＝1201＋0.5×e－0.05×20＝1201＋0.5×0

.368≈101.351，该地区2030年的人口数量大约为101.351万．(2)由表可知2020年的人口数量为92.076万，又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万，则有92.076×(1＋a)10＝101.351，即(1＋a)10＝101.35192.076

，解得a＝(101.35192.076)110－1≈0.010，所以该地区2020年到2030年的年平均增长率a大约为0.010.22．解析：(1)证明：因为a>b>0，所以f(a)＋f(b)＝log2a＋log2b＝log2ab，f(a＋b2)＝log2a＋b2，由基本

不等式，当a≠b时，ab<a＋b2，即log2a＋log2b2＝log2ab<log2a＋b2，即f（a）＋f（b）2<f(a＋b2).(2)(ⅰ)依题意得，当x>0时，g(x)＝log2(x＋2)－1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(0)＝0，代入上式成立

，即当x≥0时，g(x)＝log2(x＋2)－1，设x<0，则－x>0，所以g(x)＝－g(－x)＝1－log2(2－x)，所以g(x)＝1－log2（2－x），x<0log2（x＋2）－1，x≥0；(ⅱ)方程2g(x)－x＝0的根转化成曲线y＝g(x)与直线

y＝12x的交点的横坐标，当x≥0时，y＝g(x)与y＝12x交于点(0，0)和点(2，1)，由(1)知y＝g(x)的图象总是向上凸的，所以除(2，1)外不会有其它交点，同理，当x<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点(－2，－1)，所以方程2g(x)－x＝0有三个根－2

，0，2.