【文档说明】2024-2025学年精品同步课时作业 人教A版数学 必修第一册 第五章 单元素养水平监测 Word版含解析.docx，共(10)页，137.479 KB，由envi的店铺上传

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第五章单元素养水平监测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．与角－420°终边相同的最小正角是()A．－60°B．60°C.

300°D．120°2．若cosα＝32，且角α的终边经过点P(x，－2)，则P点的横坐标x是()A．23B．±23C．22D．－233．已知一个面积为π的扇形所对的弧长为π，则该扇形圆心角的弧度数为()A．12B．π2C．2D．π4．下列函

数中最小正周期为π且是奇函数的为()A．y＝tan2xB．y＝tan(x＋π4)C．y＝cos(2x＋3π2)D．y＝sin(2x＋π2)5．已知a＝cos9π5，b＝sin20π7，c＝tan19π

3，则有()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a6．计算：23sin70°－3sin10°cos10°＝()A．1B．2C．3D．47．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度得

到函数g(x)的图象，则g(x)＝()A.2cos2xB．3sin(2x－π6)C．3sin(2x＋π6)D．2sin(2x＋π6)8．设函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，其图象的一条对称轴

在区间(π6，π3)内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为()A．12，1B．(0，2)C．[1，2)D．(1，2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得0分．)9．下列说法正确的是()A．钝角大于锐角B．时间经过两个小时，时针转了60°C．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D．若α是第三象限角，则α2是第二象限角或第四象限角10．下列等式正确的是()A．sin15°cos15°＝14B．2sin222.5°－1＝22C．si

n26°cos34°＋cos26°sin34°＝32D．tan71°－tan26°1＋tan71°tan26°＝111．cos(π4＋α)＝()A．sin(5π4＋α)B．sin(π4－α)C．cos(－3π4＋α)

D．cos(7π4－α)12．已知函数f(x)＝sinx＋3cosx＋|sinx－3cosx|，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的一个周期为πB．函数f(x)图象不关于y轴对称C．函数f(x)在[5π2，3π]上单调递减D．函数f(x)的值域为[－3，23]三、填空题(本

题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知α∈[－3π，3π]，且cos(α－π6)＝－32，写出一个满足条件的α的值：________．14．已知tan(α＋π3)＝23，则tan(α＋π6)的值为________．15．已知α，β∈(0，π2)，sin(α＋β)＝67，tanα＝

2tanβ，则sin(α－β)＝________．16．将函数f(x)＝sin(2x＋π6)的图象向右平移π6个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝________，若函数y＝g(x)在区间[－π12，32a]与[4a，4π3

]上均单调递增，则实数a的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)已知角α的终边经过点P(2cos2π3，32sinπ4)，试求：

(1)tan(π＋α)的值；(2)2sin2α＋3sinαcosα－cos2α的值．18．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[－π6，π3]时，求f(x)的值域．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx

＋1－2sin2x.(1)求f(x)的对称轴；(2)若α∈[π4，π2]且f(α)＝325，求cos2α.20(本小题12分)若函数f(x)＝22cosx·sin(x＋π4)－1.(1)求函数f(x)的最大值及最小正

周期；(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合．21．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π2)，其图象过点(π3，3)，相邻两条对称轴之间的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变

，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．22.(本小题12分)“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．“湾

区之光”旋转一圈时间是28分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t(单位：min)后距离地面的高度为H(单位：m).(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式H(t)；(2)

若甲、乙两人进舱时间相差143分钟，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值．第五章单元素养水平监测1．解析：与角－420°终边相同的角为α＝－420°＋k·360°，k∈Z，当k＝2时，α取最小正角，

为－420°＋2×360°＝300°.故选C.答案：C2．解析：由三角函数的定义可得：cosα＝xx2＋（－2）2＝32，(x>0)，解得x＝23.故选A.答案：A3．解析：设扇形的半径为r，圆心角为α，则

12αr2＝παr＝π，解得r＝2，α＝π2.故选B.答案：B4．解析：y＝tan2x的最小正周期为π2，故A错误；y＝tan(x＋π4)为非奇非偶函数，故B错误；y＝cos(2x＋3π2)＝sin2x，易知为奇函数，且最小正周期为2π2＝π，故

C正确；y＝sin(2x＋π2)＝cos2x为偶函数，故D错误．故选C.答案：C5．解析：a＝cos9π5＝cos(9π5－2π)＝cos(－π5)＝cosπ5＝sin3π10，b＝sin20π7＝sin(2π＋6π7)＝sin6

π7＝sinπ7，因为y＝sinx在(0，π2)为增函数，所以sinπ7<sin3π10，又c＝tan19π3＝tan(6π＋π3)＝tanπ3＝3，所以b<a<1<c.故选C.答案：C6．解析：23sin70°－3sin10°cos10°＝23sin（60°＋10°）－3sin10°cos1

0°＝23（32cos10°＋12sin10°）－3sin10°cos10°＝3cos10°cos10°＝3.故选C.答案：C7．解析：依题意有2πω＝2×(11π12－5π12)＝π，得ω＝2，又f(5

π12)＝Asin(2×5π12＋φ)＝0，所以2×5π12＋φ＝kπ，k∈Z，且0<φ<π2，得φ＝π6，又f(0)＝Asinπ6＝1，得A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π6)，所以g(x)＝f(x＋π6)＝2sin[2(x＋π6)＋π6]＝

2cos2x.故选A.答案：A8．解析：f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π6)，由ωx＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π3ω＋kπω，k∈Z，取k＝0，得x＝π3ω，取k＝1，得x＝4π3ω，由π6<π3ω<π3，得1<ω<2，此时T＝2πω>π，由π6<4

π3ω<π3，得4<ω<8，此时T＝2πω<π，不合题意，依次当k取其它整数时，不合题意，所以ω的取值范围为(1，2).故选D.答案：D9．解析：对于A，因为锐角α1∈(0，π2)，钝角α2∈(π2，π)，因此钝角大于锐角，A正确；

对于B，时间经过两个小时，时针转了－60°，B不正确；对于C，当三角形的一个内角为π2时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正确；对于D，因为α是第三象限角，即2kπ－π<α<2kπ－π2，k∈Z，则kπ－π2<α2<kπ－π4，k∈Z，当k为奇数时，α2是第二象限角，当k

为偶数时，α2是第四象限角，D正确．故选AD.答案：AD10．解析：sin15°cos15°＝12sin30°＝14，A正确；2sin222.5°－1＝－cos45°＝－22，B错误；sin26°cos34°＋cos26°sin34°＝sin(26°＋34°)＝

sin60°＝32，C正确；tan71°－tan26°1＋tan71°tan26°＝tan(71°－26°)＝tan45°＝1，D正确．故选ACD.答案：ACD11．解析：sin(5π4＋α)＝sin[π＋(π4＋α)]＝－sin(π4＋α)，A

错误；sin(π4－α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)，B正确；cos(－3π4＋α)＝cos(－π＋π4＋α)＝－cos(π4＋α)，C错误；cos(7π4－α)＝cos[2π－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)，D

正确．故选BD.答案：BD12．解析：因为f(x＋π)＝sin(x＋π)＋3cos(x＋π)＋|sin(x＋π)－3cos(x＋π)|＝－sinx－3cosx＋|sinx－3cosx|≠f(x)，故A错误；因为f(－x)＝－sinx＋3cosx＋|－sinx－3cos

x|≠f(x)，故函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B正确；当x∈[π3，4π3]时，sinx≥3cosx，则f(x)＝2sinx，当x∈[4π3，7π3]时，sinx≤3cosx，则f(x)＝23cosx，而f(x)＝f(x＋2π)，故函数f(x

)的最小正周期为2π；作出函数f(x)的大致图象如图所示，观察可知，C，D均正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：由于cos(α－π6)＝－32，所以α－π6＝2k1π＋5π6或α－π6＝2k2π－5π6，所以α＝2k1π＋π或α＝2k2π－2π3，其中k1，k2∈Z，由于α∈[－3π，

3π]，所以一个满足条件的α的值为π.答案：π(答案不唯一)14．解析：tan(α＋π3)＝23，则tan(α＋π6)＝tan[(α＋π3)－π6]＝tan（α＋π3）－tanπ61＋tan（α＋π3）tanπ6＝23－331＋23×33＝53

9.答案：53915．解析：由tanα＝2tanβ得，sinαcosα＝2sinβcosβ，则sinαcosβ＝2cosαsinβ①，由sin(α＋β)＝67得，sinαcosβ＋cosαsinβ＝67②，联立①②解得

sinαcosβ＝47cosαsinβ＝27，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝27.答案：2716．解析：根据条件可知g(x)＝sin[2(x－π6)＋π6]＝sin(2x－π6)，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，

解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，令k＝0，1，得单调递增区间为[－π6，π3]，[5π6，4π3]，结合条件可知－π12<3a2≤π35π6≤4a<4π3，解得5π24≤a≤2π9.答案：sin(2x－π6)[5π24，2π9]17．解析：(1)由题知，角α的终

边经过点P(2cos2π3，32sinπ4)，即P(－1，3)，所以sinα＝31＋9＝31010，cosα＝－11＋9＝－1010，所以tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝31010－1010＝－3.综上：tan(π＋α)＝－3.(2)由(1)得，sinα＝31010，cosα

＝－1010，所以原式2sin2α＋3sinαcosα－cos2α＝2(31010)2－3×31010×1010－(－1010)2＝45.18．解析：(1)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2⇒kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－π3，kπ＋π6](

k∈Z).(2)由x∈[－π6，π3]，可得－π6≤2x＋π6≤5π6，从而sin(2x＋π6)∈[－12，1]，所以2sin(2x＋π6)＋1∈[0，3].所以f(x)的值域为[0，3].19．解析：(1)f(x)＝2sinxcosx＋1－

2sin2x，＝sin2x＋cos2x，＝2sin(2x＋π4)，令2x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝kπ2＋π8，k∈Z，所以f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π8，k∈Z.(2)由f(α)＝2sin(2α＋π4)＝325，得sin(2α＋π4)＝35，因为α∈[π4，π

2]，所以2α＋π4∈[3π4，5π4]，则cos(2α＋π4)＝－45，所以cos2α＝cos[(2α＋π4)－π4]，＝cos(2α＋π4)cosπ4＋sin(2α＋π4)sinπ4，＝－45×22＋35×22＝

－210.20．解析：(1)f(x)＝22cosx(sinxcosπ4＋cosxsinπ4)－1＝2cosxsinx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4)，∴f(x)max＝2，最小正周期T＝π.(2)∵f(x)＝2sin

(2x＋π4)≥1，∴sin(2x＋π4)≥22，∴2kπ＋π4≤2x＋π4≤2kπ＋3π4，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ＋π4，k∈Z，∴使f(x)≥1成立的x的取值集合为{x|kπ≤x≤kπ＋π4，k∈Z}．

21．解析：(1)因f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则周期T＝2πω＝2π，解得ω＝1，又f(π3)＝2sin(π3＋φ)＝3，即sin(π3＋φ)＝32，而0<φ<π2，即π3<φ＋π3<5π6，则φ＋π3＝2π3，即φ＝π3，所以函数f(x)的解析式

为f(x)＝2sin(x＋π3).(2)依题意，g(x)＝f(12x)＝2sin(12x＋π3)，当0≤x≤π时，π3≤12x＋π3≤5π6，而函数y＝sinx在[π3，π2]上递增，在[π2，5π6]上递减，由π3≤12x＋π3≤π2得0≤x≤π3，由π2≤

12x＋π3≤5π6得π3≤x≤π，因此，函数g(x)在[0，π3]上单调递增，函数值从3增到2，在[π3，π]上单调递减，函数值从2减到1，又x＝π3是g(x)图象的一条对称轴，直线y＝m与函数y＝g(x)在[0，π]上的图象有两个公共点，当且仅当3≤m<2，如图，于是得

方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解时，当且仅当3≤m<2，所以实数m的取值范围为3≤m<2.22．解析：(1)因为摩天轮转一圈的时间是28min，即周期T＝28，所以角速度ω＝

2π28＝π14，不妨以摩天轮在地面上的投影所在直线为x轴，过摩天轮的中心且垂直x轴的直线为y轴建立直角坐标系，又因为摩天轮离地面最近为128－114＝14(米)，摩天轮半径为114÷2＝57(米)，即摩天轮中心离地面的距离71米，所以H(t)＝57sin(π14t－π2)＋71＝7

1－57cos(π14t).(2)由(1)知甲出发t分钟后离地面的高度H1(t)＝71－57cos(π14t)，当t≥143时，乙离地面的高度为H2(t)＝71－57cos[π14(t－143)]，设两人的高度差第一次达到最大时的时间为t0，则h＝H1(t0)－H2(t0)＝57co

s[π14(t0－143)]－57cos(π14t0)＝57cos(π14t0－π3)－57cos(π14t0)＝57[32sin(π14t0)－12cos(π14t0)]＝57sin(π14t0－π6)≤57，当且仅当π14t0－π

6＝π2，即t0＝283时取等号，所以t0＝283(min)时两人高度第一次达到最大，为57米．