【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册课后习题 第八章 8-2-1　一元线性回归模型　8-2-2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 Word版含答案.docx，共(13)页，370.934 KB，由小赞的店铺上传

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8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计A级必备知识基础练1.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化的繁殖情况,得到如下实验数据,并分析可得经验

回归方程为𝑦^=0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值为()天数x/天34567繁殖个数y/千个2.5344.5cA.5B.6C.7D.82.红铃虫是棉花的主要害虫之一,一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据,用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残

差分析,进一步得到如图4幅残差图,根据残差图,拟合效果最好的模型是()A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四3.某咖啡厅为了解热饮的销售量y(单位:杯)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的销售量与气温,并制作了对照表:气温/℃181310-1销售量/杯24343864由表中数据分析

,可得经验回归方程𝑦^=-2x+a.当气温为-4℃时,预测销售量约为()A.68杯B.66杯C.72杯D.77杯4.关于残差图的描述错误的是()A.残差图的横坐标可以是样本编号B.残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C.残差分布的带状区域的宽度越窄R2越小D.残差

分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小5.由一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),经分析可得经验回归方程为y^=3x+𝑎^,若𝑥=1.5,𝑦=2,则𝑎^=.6.某工厂为了对新研发的一种产

品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568(1)求销量y关于单价x的经验回归方程𝑦^=b^x+𝑎^,其中𝑏^=-20,�

�^=𝑦−𝑏^𝑥;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)7.在一段时间内,某网店一种商品的销售价格x(单位:元)和日销售量y(单位:件)之间的一组

数据如下表:价格x/元2220181614日销售量y/件3741435056求出y关于x的经验回归方程,并用R2说明拟合效果.参考数据:∑𝑖=15xiyi=3992,∑i=15𝑥𝑖2=1660.B级关键能力提升练8.研究表明蟋蟀鸣叫的

频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据,建立了y关于x的经验回归方程𝑦^=0.25x+k,则下列说法不正确的是()x/(次数/分钟)2030405060y/℃2527.52932.536A.k的值是2

0B.变量x,y正相关C.若x的值增加1,则y的值约增加0.25D.当蟋蟀52次/分钟鸣叫时,该地当时的气温预测值为33.5℃9.(多选题)下列说法正确的是()A.经验回归直线一定经过点(𝑥,𝑦)B.若两个具有线性相关关系的变量的相关程度越强,则样本相关系数r的值越接近于1C.在残差图中,

残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高D.在线性回归模型中,决定系数R2越接近于1,说明回归模型的拟合效果越好10.(2022甘肃兰州期末)某研究所为了研究近几年留学生回国人数的情况,对2017至2021年留学生回国

人数进行了统计,数据如表:年份20172018201920202021年份代码12345留学生回国人数/万36.540.943.348.151.9根据上述统计数据求得留学生回国人数y(单位:万)与年份代码x满足的经验回归方程为𝑦^=b^x+32.74,利用经验回归方程预测202

2年留学生回国人数为()A.63.14万B.64.72万C.66.81万D.55.54万11.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y=c1e𝑐2𝑥拟合,设z=lny,其变换后得到一组数据:x2023252730z22.4334.6由上表可得经验回归方程z=0.2x+a

,则c1=()A.-2B.e-2C.3D.e312.某工厂为研究某种产品产量x(单位:吨)与所需某种原材料y(单位:吨)的相关关系,在生产过程中收集了4组对应数据(x,y)如下表所示:x3456y2.53

4m根据表中数据,得出y关于x的经验回归方程为𝑦^=0.7x+a.据此计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为.13.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(单位:件)与平均气温x(单位:℃)之间的关

系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如下表:时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均气温x/℃381217旬销售量y/件55m3324由表中数据算出经验回归方程𝑦^=b^x+𝑎^中的𝑏^=-2,𝑥

=10,𝑦=38.(1)表中数据m=.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为件.14.流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季两个流行

高峰.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计,得到如下数据:年龄x23456患病人数y2222171410(1)求y关于x的经验回归方程;(2)计算样本相关系数r(计算结果精确到0.01),并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患

流感人数与年龄负相关很强?(若|r|∈[0.75,1],则x,y相关性很强;若|r|∈[0.3,0.75),则x,y相关性一般;若|r|∈[0,0.25],则x,y相关性较弱)参考数据:√30≈5.477.参考公式:𝑏^=∑i=1n(𝑥𝑖-𝑥)(�

�𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-𝑛𝑥2,样本相关系数r=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)√∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2·∑𝑖=1�

�(𝑦𝑖-𝑦)2.15.为了防控疫情,某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品,该产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关,根据已经生产的统计数据,绘制了如右的散点图:观察散点图,两个变量不具有线性相关关

系,现考虑用函数y=a+𝑏𝑥对两个变量的关系进行拟合.参考数据如下其中ui=1𝑥𝑖:uu2∑i=16ui2∑i=16yi∑i=16yi2∑i=16uiyi√0.4834×5252.440.410.16811

.49230620858.44173.850.39(1)求y关于x的经验回归方程,并求y关于u的样本相关系数(精确到0.01);(2)该产品采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为80元,则

签订9千件订单的概率为0.7,签订10千件订单的概率为0.3;若单价定为70元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元,根据(1)的结果,要想获得更高

利润,产品单价应选择80元还是70元?请说明理由.参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽^=∑i=1n𝑢𝑖𝑣𝑖-𝑛𝑢𝑣∑𝑖=1𝑛𝑢𝑖2-𝑛𝑢2,𝛼^=𝑣−

𝛽^𝑢,相关系数r=∑𝑖=1𝑛𝑢𝑖𝑣𝑖-𝑛𝑢𝑣√(∑𝑖=1𝑛𝑢𝑖2-𝑛𝑢2)(∑𝑖=1𝑛𝑣𝑖2-𝑛𝑣2).C级学科素养创新练16.某市某小区2020年11月至2021年11月期间的在售二手房均价(单位:万元/平方米)的散点图如图所

示.(图中月份代码1~13分别对应2020年11月~2021年11月)根据散点图选择y=a+b√𝑥和y=c+dlnx两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个经验回归方程分别为𝑦^=0.9369+0.0285√x和𝑦^=0.9554+0.0306lnx,并得到以下

一些统计量的值:类型y^=0.9369+0.0285√xy^=0.9554+0.0306lnx∑i=113(yi-y^i)20.0005910.000164∑i=113(yi-y)20.006050(1)请利用R2判断哪个模型的拟合效果更好.(

2)某位购房者拟于2022年4月购买这个小区m(70≤m≤160)平方米的二手房(欲购房为其家庭首套房).若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年,请你利用(1)中拟合效果更好的模型解决以下问题:①估算该购房者应支付的购房金额;(购房金额=房款+税费,房屋均价精确到0.001万元/平方

米)②若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房,试估算其可购买的最大面积.(精确到1平方米)附注:根据有关规定,二手房交易需要缴纳若干项税费,税费是按房屋的计税价格(计税价格=房款)进行征收的.房产证满2年但未满5年的征收方式如下:首套面积90平方米以内(含90平方米)为1%;首套

面积90平方米以上且140平方米以内(含140平方米)为1.5%;首套面积140平方米以上或非首套为3%.参考数据:ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln17≈2.83,ln19≈2.94,√2≈1.41,√3≈1.73,√

17≈4.12,√19≈4.36.参考公式:R2=1-∑𝑖=1𝑛(yi-y^𝑖)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2.8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计1.B∵𝑥=3+4+5+6+75=5,且

(𝑥,𝑦)在经验回归直线上,∴𝑦=0.85𝑥-0.25=0.85×5-0.25=4.∴2.5+3+4+4.5+c=4×5=20,解得c=6.故选B.2.D当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明拟合效果越好,对比4个残

差图,可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.3.A∵𝑥=18+13+10-14=10,𝑦=24+34+38+644=40,又(𝑥,𝑦)在经验回归直线上,∴𝑦=-2𝑥+a,即a=40+2×10=60.

∴经验回归方程为𝑦^=-2x+60.∴当x=-4时,y^=68.故选A.4.C残差分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,则残差平方和越小,此时R2的值越大,故描述错误的是选项C.5.-2.5因为𝑥=1.5,𝑦

=2,经验回归方程为𝑦^=3x+a^,所以2=3×1.5+𝑎^,解得𝑎^=-2.5.6.解(1)因为𝑥=16×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,𝑦=16×(90+84+83+80+75+68)=80.所以𝑎^=𝑦−�

�^𝑥=80+20×8.5=250.所以经验回归方程为𝑦^=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L(单位:元),依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1

000=-20(𝑥-334)2+361.25.当且仅当x=334=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.7.解作出散点图(图略),观察散点图可知这些点散布在一条直线的附近,故可知x与y线性相关.因为𝑥=22+20+18+16+145=18,�

�=37+41+43+50+565=45.4.所以𝑏^=∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)2=∑𝑖=15𝑥𝑖𝑦𝑖-5𝑥𝑦∑𝑖=15𝑥𝑖2-5𝑥2=3992-5×18×45.41660-5×

182=-2.35,𝑎^=45.4-(-2.35)×18=87.7.所以经验回归方程为𝑦^=-2.35x+87.7.yi-𝑦^𝑖与yi-𝑦的值如下表:yi-y^i10.3-2.4-0.11.2yi-y-8.4-4.4-2

.44.610.6计算得∑𝑖=15(yi-y^𝑖)2=8.3,∑𝑖=15(yi-𝑦)2=229.2,所以R2=1-8.3229.2≈0.964.因为0.964很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.8.D由题意,得𝑥=15×(20+30+40+50+60)=40

,𝑦=15×(25+27.5+29+32.5+36)=30,则k=𝑦-0.25𝑥=30-0.25×40=20,故A正确;由经验回归方程可知,𝑏^=0.25>0,变量x,y呈正相关关系,故B正确;若x的值增加1,则y的值约增加0.25,故C正确;

当x=52时,𝑦^=0.25×52+20=33(℃),故D错误.9.ACD对于选项A,因为经验回归直线一定经过点(𝑥,𝑦),故选项A正确;对于选项B,由样本相关系数的绝对值越趋近于1,相关程度越强可知,若两个变量负线性相关,其线性相关程度越强,则样本相关系数r的值

越接近于-1,故选项B错误;对于选项C,因为在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高,故选项C正确;对于选项D,因为在线性回归模型中,决定系数R2越接近于1,说明线性回归模型的拟合效果越好,故选项D正确.10.D由表中数据可得,

𝑥=1+2+3+4+55=3,𝑦=36.5+40.9+43.3+48.1+51.95=44.14,∵留学生回国人数y(单位:万)与年份代码x满足的线性回归方程为𝑦^=b^x+32.74,∴44.14=𝑏^×3+32.74,解得𝑏^=3.8,故𝑦^=3.8x+32.74,2

022年对应的年份代码为6,令x=6,则𝑦^=3.8×6+32.74=55.54,故预测2022年留学生回国人数为55.54万.故选D.11.B由已知可得,𝑥=15×(20+23+25+27+30)=25,𝑧=15×(2+2.4+3+3+4.6

)=3,代入z=0.2x+a,得a=3-0.2×25=-2,z=lny=ln(c1e𝑐2𝑥)=c2x+lnc1,则lnc1=-2,即c1=e-2.12.4.5由在样本(4,3)处的残差为-0.15,可得𝑦^=3.15.故3.15=0.7×4+a,解得a=0.35.

由题意可知产量x的平均值为x=14×(3+4+5+6)=4.5.因为经验回归直线过点(x,y),所以y=0.7x+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5.又因为y=14(9.5+m),所以m=4.5.13.(1)40(2)14(1)由y=14(55+m+3

3+24)=38,解得m=40.(2)由a^=𝑦−𝑏^𝑥,得𝑎^=58.故𝑦^=-2x+58.当x=22时,𝑦^=14.故三月中旬的销售量约为14件.14.解(1)由题意可得𝑥=2+3+4+5+65=4,𝑦=22+22+17+14+105=17,𝑏^=∑𝑖

=15(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)2=(-2)×5+(-1)×5+0×0+1×(-3)+2×(-7)(-2)2+(-1)2+02+12+22=-3.2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥=17+

3.2×4=29.8.故y关于x的经验回归方程为𝑦^=-3.2x+29.8.(2)r=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)√∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2·∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2=-32√10×108=-163√30≈

-0.97,由r<0,可知x,y负相关.又因为|r|∈[0.75,1],所以x,y相关性很强.因此,可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.15.解(1)令u=1𝑥,则y=a+𝑏𝑥可转化为y=a+bu.因为𝑦=3

066=51,所以𝑏^=∑𝑖=16𝑢𝑖𝑦𝑖-6𝑢𝑦∑𝑖=16𝑢𝑖2-6𝑢2=173.8-6×0.41×511.492-6×0.1681=48.340.4834=100.所以𝑎^=𝑦−�

�^𝑢=51-100×0.41=10.所以𝑦^=10+100u.所以y关于x的经验回归方程为𝑦^=10+100𝑥.y关于u的样本相关系数为r=∑𝑖=16𝑢𝑖𝑦𝑖-6𝑢𝑦√(∑𝑖=16𝑢𝑖

2-6𝑢2)(∑𝑖=16𝑦𝑖2-6𝑦2)=48.34√0.4834×5252.44=48.3450.39≈0.96.(2)(方法一)(ⅰ)若产品单价为80元,记企业利润为X(单位:元).当订单为9千件时,每件产品的成本为10+1009+30

=(40+1009)(元),企业的利润为80-40+1009×9000=260000(元).当订单为10千件时,每件产品的成本为10+10010+30=50(元),企业的利润为(80-50)×10000=300000(元).所以企业利润X的分布列为X260000

300000P0.70.3E(X)=260000×0.7+300000×0.3=272000.(ⅱ)若产品单价为70元,记企业利润为Y(单位:元).当订单为10千件时,每件产品的成本为10+10010+30=50(元),企业的利润为(70-50)×10000=200000(元)

.当订单为11千件时,每件产品的成本为10+10011+30=(40+10011)(元),企业的利润为70-40+10011×11000=230000(元).所以企业利润Y的分布列为Y2000002300

00P0.30.7E(Y)=200000×0.3+230000×0.7=221000.所以E(X)>E(Y),故企业要想获得更高利润,产品单价应选择80元.(方法二)(ⅰ)若产品单价为80元,记企业的产量为X

(单位:千件),其分布列为X910P0.70.3所以E(X)=9×0.7+10×0.3=9.3,企业的利润为80-40+1009.3×9300=272000(元).(ⅱ)若产品单价为70元,记企业的产量为Y(单位:千件),其分布列为Y1011P0.30.7所以E(Y)=10×0.

3+11×0.7=10.7,企业的利润为70-40+10010.7×10700=221000(元).因为272000>221000,所以企业要想获得更高利润,产品单价应选择80元.16.解(1)𝑦^=0.

9369+0.0285√x的R12=1-0.0005910.006050≈0.902;y^=0.9554+0.0306lnx的𝑅22=1-0.0001640.006050≈0.973.由𝑅12<𝑅22,可知模型y

=0.9554+0.0306lnx拟合的效果更好一些.(2)通过散点图确定2022年4月对应的x=18,代入(1)中拟合效果更好的模型的经验回归方程,可得𝑦^=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306×(ln2+2ln3)=0.9554+0.0306×(0.6

9+2×1.10)≈1.044.故2022年4月份二手房均价的预测值为1.044万元/平方米.①设该购房者应支付的购房金额为h(单位:万元),因为税费中买方需缴纳契税,所以当70≤m≤90时,契税为计税价格的1%,故h=m×1.044×(1%+1)=1.054

44m;当90<m≤140时,契税为计税价格的1.5%,故h=m×1.044×(1.5%+1)=1.05966m;当140<m≤160时,契税为计税价格的3%,故h=m×1.044×(3%+1)=1.07532m.所以h={1.05

444𝑚,70≤𝑚≤90,1.05966𝑚,90<𝑚≤140,1.07532𝑚,140<𝑚≤160,所以当70≤m≤90时购房金额为1.05444m万元,当90<m≤140时购房金额为1.05966m万元,当140<m≤160时购房金额为1.07532m万元.②设该购房者可购买该小区

二手房的最大面积为t(单位:平方米),由①知,当70≤m≤90时,应支付的购房金额为1.05444t.又因为1.05444t≤1.05444×90<100,且房屋均价约为1.044万元/平方米,所以t<100.所以90≤t<100.由1.05966t≤100,解得t≤1001

.05966,且1001.05966≈94.