【文档说明】数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（江苏专用）03（解析版）.docx，共(24)页，1.605 MB，由管理员店铺上传

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数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（江苏专用）03（解析版）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，

先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.考试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·全国·模拟预测）已知集合2250Axxx=+，142xBx=，则AB=（）A．52xx−B．

20xx−C．2xx−D．522xx−−【答案】A【解析】【分析】先化简集合A、B，再去求AB即可【详解】2525002Axxxxx=+=−，142xBx=2xx=−，则

5022ABxxxx=−−=52xx−.故选：A.2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））若复数2i1iaz+=+（i为虚数单位）是纯虚数，则实数=a（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】A【解析】【分析】

利用复数的运算法则和纯虚数的定义求解.【详解】2i(2i)(1i)22+i1i222aaaaz++−+−===+为纯虚数，2a=−，故选：A．3．（2022·湖北·二模）已知()212nxnNx−的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x的

系数为（）A．160B．160−C．60D．60−【答案】B【解析】【分析】由二项式系数的性质求出n，写出二项展开式的通项公式，令x的指数为3，即可得出答案.【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，

得264n=，得6n=．∵6212xx−的展开式的通项公式为()626123166r1C2(1)C2(1)rrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令1233r−=，则3r=，所以其展开式中3x的系数为()3336211

60C−=−．故选：B.4．（2022·重庆·二模）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校m名同学每人随

机写下一个都小于1的正实数对(),xy；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),xy的个数a；最后再根据统计数a估计的值，那么可以估计的值约为（）A．4amB．2am+C．2amm+D．42amm+【答案】D【解析】由试验结果知m对0～1之间的均匀随机数,xy，满足0

101xy，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)xy，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对(),xy，即0101x

y，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,xy能与1构成钝角三角形三边，则有22110101xyxyxy++，其面积142S=−；则有142am=−，解得42amm+=

故选：D．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量

，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.5．（2022·天津南开·三模）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且()fx在[0,)+单调递增，记13log2af=，()0.32.3bf=，()2log10cf=，则a，b，c的大小关系为

（）．A．abcB．cabC．bcaD．acb【答案】A【解析】【分析】先根据函数()fx是定义在R上的偶函数，得到()133log2log2aff==，再利用()fx在[0,)+

单调递增求解.【详解】因为函数()fx是定义在R上的偶函数，所以()133log2log2aff==，又因为30log21，0.312..323，2log103，且()fx在[0,)+单调递增，所以()3log2f()0.32

.3f()2log10f，即abc，故选：A6．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知点E是ABC的中线BD上的一点（不包括端点）．若AExAByAC=+，则21xy+的最小值为（）A．4B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】先根据向量共线可知(01)BEBD=，表达出,

xy和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.【详解】解：由题意得：点E是ABC的中线BD上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：设(01)BEBD=()(1)2AEABBEABABABABACBDAD=+=++=+=

−−1,(0,0)2xyxy=−=21222222(1)22(1)[(1)]44281111xy−−+=+=+−+=+++=−−−−当且仅当22(1)

1−=−，即12=时取等号，故21xy+的最小值为8.故选：C7．（2022·湖南·模拟预测）已知直线:20+−=lxy与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当ABP最大时，△A

PB的面积为（）A．2B．1C．2D．22【答案】C【解析】【分析】先求圆A的方程，当ABP最大时，直线PB是圆A的切线，结合切线方程即可求出结果．【详解】由已知()2,0A，()0,2B圆A的方程为()2224xy−+=，当ABP最大时，此时直线PB是圆()2224A

xy−+=的切线，即直线PB的方程为：2y=或0x=，当直线PA的方程为2y=时，△APB的面积为12222=，当直线PA的方程为0x=时，△APB的面积为12222=，故选：C．8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知对任意实数x都有()()3exfxfx=

+，()01f=−，若不等式()()2fxax−（其中1a）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（）A．41,3e2B．4,13eC．274,4e3eD．271,42e【答案】C【解析】【分析】依题意可得()e3xfx

xC=+（C为常数），再根据()01f=−，即可求出C，即可得到()()31exfxx=−，求出函数的单调性，画出()fx图象，设()(2)hxax=−，只需满足(1)(1)(2)(2)fhfh−−−−，求解即可.【详解

】解：由()()3exfxfx=+，即()()3exfxfx−=，得()3exfx=，则()e3xfxxC=+（C为常数），又()01f=−，所以1C=−，所以()()31exfxx=−，故()()32exfxx=+，所以当23x−时()0fx，当23x−时()0

fx，即()fx在2,3−+上单调递增，在2,3−−上单调递减，所以()fx在23x=−取得极小值．设()(2)hxax=−，可知该函数恒过点(2,0)，画出(),()fxhx的图象，如下图所示，不等式()()2fxax−（其中0a）的解集中恰有两个整数，则

这两个整数解为0,1−，所以(1)(1)(2)(2)fhfh−−−−，即124e37e4aa−−−−−−，解得2744e3ea，所以274,3e4ea．.故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量abc，，满足2222ababcc=−=−==，则可能成立的结果为（）A．34b=B．54b=C．34bc=D．54bc

=【答案】BCD【解析】【分析】不妨设()10C，，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解.【详解】对于选项A、B，由题意2=a，1c=，1abbc−=−

=，设OAa=，OBb=，OCc=，不妨设()10C，，如图，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB=uuur，圆C方程是22(1)1xy−+=.当B在圆C上运动时，由ABOBOA+，得1OB，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图

易知2OB，即12b，故选项A不满足，选项B满足；对于选项C、D，设()Bxy，，则()()10bcxyx==，，，由22221(1)1xyxy+=−+=，解得1232xy==，12Bx，又2Bx.即122x

.122bc，，选项C，D满足.故选：BCD10．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知函数()()sinfxx=+0,2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数()fx的图象可由sin2yx=的图象向左平移3个单位得到B．直线1112x=

−是()fx图象的一条对称轴C．若()()122fxfx−=，则21xx−的最小值为2D．直线12y=与函数()yfx=在100,3上的图象有7个交点【答案】BCD【解析】【分析】由图象求出函数()fx的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数

的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的周期性可判断C选项；求出()12fx=在100,3x时23x+的可能取值，可判断D选项.【详解】对于A选项，由图可知，函数()fx的最小正周期为4126T=+=，则22==，又因为

sin1126f=+=，因为22−，则2363−+，所以，62+=，则3=，所以，()sin2sin236fxxx=+=+，故函数()fx的图象可由sin2yx=的图象向左平移6个单位得到，A

错；对于B选项，11113sinsin112632f−=−+=−=，所以，直线1112x=−是()fx图象的一条对称轴，B对；对于C选项，因为()()()()12m

axmin2fxfxfxfx−==−，所以，21xx−的最小值为22T=，C对；对于D选项，当1003x时，2733x+，由()1sin232fxx=+=可知23x+的可能取值集合为5131725293741,,,,,,6666666

，所以，直线12y=与函数()yfx=在100,3上的图象有7个交点，D对.故选：BCD.11．（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆

直径为23，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（）A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，120APB=B．△PAB面积的最大值为3C．当△PAB面积最大值时，三棱锥

C-PAB的体积最大值为632+D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，MAMB+的最小值为15【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B，由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断，对于C，当△PAB面积最大值时，22AB=，从而可求出点C到AB的距离

的最大值，进而可求出三棱锥C-PAB的体积最大值，对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中求出sinAPC，从而可求出PC边上的高，则可求出MAMB+的最小值【详解】对于A，记圆锥底面圆心为O，3

sin2AOAPOAP==，所以60APO=，所以120APB=，故A正确；对于B，设()0120APB=≤，则截面三角形的面积1sin2sin22SPAPB==≤，故B不正确；对于C，由选项B中推理可知，此时22AB=，所以点C到AB的距离的最大值为()()2233

231+−=+，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为()116231221323++=，故C选项正确；对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，2PAPC==，6AC=，所以4461cos2224APC+−==，进而15sin4APC=，记PC边上的高为

h（垂足为Q），则1515sin242hPAAPC===，所以215MAMBh+=≥，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；故选：ACD．12．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线()220ypxp=的焦点为F，点()1,2M，()11,Axy

，()22,Bxy都在抛物线上，且0FAFBFM++=ruuruuruuur，则下列结论正确的是（）A．抛物线方程为22yx=B．F是ABM的重心C．6FAFMFB++=D．2223AFOBFOMFOSSS++=△△△【答案】BCD【解析】【

分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F是ABM的重心，利用抛物线的定义可得6FAFMFB++=，利用三角形面积公式及122xx+=，可得2223AFOBFOMFOSSS++=△△△.【详解】对于A，由

()1,2M在抛物线上可得42p=，即抛物线方程为24yx=，错误；对于B，分别取,ABAM的中点,DE，则2FAFBFD+=uuuuruurur，2FMFD=−uuuruuur，即F在中线MD上，同理可得F也在中线BE上，所以F是ABM的重心，正确；对于C，由抛物线的定

义可得121,2,1FAxFMFBx=+==+uuruuuruur，所以124++=++FAFMFBxxuuruuuruur.由()1,0F是ABM的重心，所以12113xx++=，即122xx+=，所以1246++=++=FAFMFBxxuuruuuruur，正确；对于D，112AFO

SOFy=△，221114AFOSyx==△；同理222214BFOSyx==△,21MFOS=△，所以2221213AFOBFOMFOSSSxx++=++=△△△，正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·河北·模拟预测）将自然数1

、2、3、L、600，按照以下规则分成12组，数字1排在第1组，数字2排在第2组，…，数字12排在第12组，然后，数字13排在第12组，数字14排在第11组，L，数字24排在第1组，依此顺序类推，则第8组的第4个数字为_______

____，第8组的所有数字的和为___________.【答案】4115025【解析】【分析】按题中要求列举出数阵，可得出第8组的第4个数字，设第8组第()21,25kkNk−个数为ka，第8组第()2N,25kkk个数为kb，分析可知这两个数列均为等差数列

，确定这两个数列的首项和公比、项数，结合等差数列的求和公式可求得第8组的所有数字的和.【详解】以第()1,2,,12ii=为第i组，数阵如下：124254860022326475993222746598421284559752029445966193043595718

314259481732415939163340592101534395911114353859012133637589可知第8组的第4个数字为41，设第8组第()21,25kkNk−个数为ka

，第8组第()2N,25kkk个数为kb，则数列ka是首项为8，公差为24的等差数列，且这个数列共25项，数列kb是首项为17，公差为24的等差数列，且这个数列共25项，因此，第8组的所有数字的和

为()252425817224150252++=.故答案为：41；15025.14．（2022·湖北·一模）已知双曲线C：2222xyab−=1（a>0，b>0）的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为________

___.【答案】2【解析】【分析】设双曲线的右焦点为(c,0)F，求出渐近线方程，设F关于byxa=的对称点为(,)bmma−，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理可得a，b的关系，再由离心率公式，计算

即可得到所求结果．【详解】双曲线2222:1(,0)xyCabab−=的右焦点为(c,0)F，渐近线方程为byxa=，设F关于byxa=的对称点为(,)bmma−，由题意可得bmaacmb=−−，(*)且11(0)()22bbmmcaa−=+，可得12mc=−，代入(*)可

得223ba=，故22224caba=+=，则离心率2cea==，故答案为：2．15．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200mm，曲柄

CB长70mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为___________mm.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）【答案】36【解析】【分

析】在ABC中，利用正弦定理求出7sin25BAC=，再求出cosBAC，cosACB，再利用两角和的正弦公式可求出sinABC，再利用正弦定理可求出AC，从而可求得答案【详解】如图，在ABC中，200AB=，70BC=，53.2ACB=，4sin5ACB=，由正弦定理，

sin7sin25BCACBBACAB==，∵ABBC，∴ACBBAC，故BAC为锐角，∴2724cos12525BAC=−=，243cos155ACB=−=∴()42437117sinsin5

25525125ABCACBBAC=+=+=，所以sin1175200234sin1254ABABCACACB===，故()()()00002007023436mmAAABBCAC=+−=+−=.故曲柄0CB按顺时针方向旋转532.时

活塞移动的距离约为36mm.故答案为：3616．（2022·湖北·模拟预测）已知函数(),0e,0xkxxfxxx=，若函数()()()gxfxfx=+−有5个零点，则实数k的取值范围为______．【答案】2e,4+【解析】【分析】先分析

函数()gx的奇偶性，再转化为()2e0xkxx=有两个不同的正实数解，令()2exxx=，求出函数的最小值即得解.【详解】解：因为()()()gxfxfx=+−，所以()()()()gxfxfxgx−=−+=，所以函数()gx为偶函数，又

()()0200gf==，所以()gx在()0,+上有两个零点，即()()e0xfxfxkxx+−=−=有两个不同的正实数解，即()2e0xkxx=，令()2exxx=，则()()3e2xxxx−=，()()3e

20,2xxxxx−=；()()3e20,02xxxxx−=.故()x在()0,2上递减，()2,+上递增，故()2mine(2)4xg==．画出图像如图所示从而2e4k.故答案为：2e,4+．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022·河北·模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且2226nnnSa+=−+.(1)设2nnnab=，求证nb为等差数列，并求出数列na的通项公式；(2)若212nnnnnbcaa++=，求数列

nc的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析，()212nnan=−(2)()1112212nnTn+=−+【解析】【分析】（1）由1n=可求得1a的值，令2n，由2226nnnSa+=−+可得111226nnnSa+−−=−+，两式作差可证得

数列nb为等差数列，确定数列nb的首项和公差，即可求得na的通项公式；（2）求得()()111212212nnncnn+=−−+，利用裂项相消法可求得nT.(1)解：当1n=时，111286aSa==−+，解

得12a=，当2n时，由2226nnnSa+=−+可得111226nnnSa+−−=−+，上述两个等式作差可得11222nnnnaaa+−=−−，即1122nnnaa+−=+，所以，11222nnnnaa−−

=+，所以，12nnbb−−=，且1112ab==，所以，数列nb为等差数列，且首项为1，公差为2，则()121212nnnabnn==+−=−，因此，()212nnan=−.(2)解：因为()()()()()21

1123222321221221212nnnnnnnnnnbncaannnn++++++===−+−+()()()()()()11221211121212212212nnnnnnnnn+++−−

==−−+−+，因此，()()()12231111111111123232522122122212nnnnTnnn++=−+−++−=−−++.18．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()()sinsinsin3sin

cabCABaB+−−+=．(1)求角C的大小；(2)设1m>，若ABC的外接圆半径为4，且2amb+有最大值，求m的取值范围．【答案】(1)23C=(2)（1，4）【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.（

2）由题意及正弦定理可知8sinsinbaBA==，利用正弦定理及正弦函数两角和公式将2amb+化为()sin()fxAx=+型函数进行求解.(1)解：由已知及正弦定理得()()3cabcabab+−−+=，所以222abcab+−=−，由余弦定理得2221cos22abcCab+−=

=−，因为0C，所以23C=．(2)由正弦定理得8sinsinbaBA==，所以()282sinsin8sin16sin3ambAmBmBB+=+=+−()()2318sin16cossin88sin83cos824sin22mBBBmBBmmB=+−=−+=

−++，其中3tan1m=−，0,2，又0,3B，所以,3B++，若2amb+存在最大值，则2B+=有解，则32+，即,6

2，所以1,33,13mm−解得14m，即m的取值范围是（1，4）．19．（2022·山东临沂·三模）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生

活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：旅游类别城市展馆科技游乡村特色游齐鲁红色游登山套票游园套票观海套票套票价

格x（元）394958677786购买数量y（万人）16.718.720.622.524.125.6在分析数据、描点绘图中，发现散点()(),16iivi集中在一条直线附近，其中ln,lniiiivxy=

=(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间ee,97上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，

求随机变量X的分布列和期望．附：①可能用到的数据；66662111175.3,24.6,18.3,101.4iiiiiiiiivvv========．②对于一组数据()()()1122,,,,,,nnvvv

，其回归直线ˆˆˆbva=+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1221ˆˆˆ,niniiiivnvbabvvnv==−==−−【答案】(1)12eyx=(2)分布列见解析，()2EX=【解析】【分析】（1）设回归直线方程为ˆˆˆbva=+，由最小二乘法得出变量关于v的

回归方程，再由ln,lniiiivxy==得出y关于x的回归方程；（2）由1212eeee,97yxxxx==求出x，得出乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，再结合超几何分布求出随机变量X的分布列和期望．(1)散点()(),16

iivi集中在一条直线附近，设回归直线方程为ˆˆˆbva=+由6611114.1,3.0566iiiivv======，则1222175.364.13.051ˆ101.464.12niiiniiv

nvbvnv==−−===−−1ˆˆ3.054.112abv=−=−=变量关于v的回归方程为112v=+121ln,ln,lnln1,e2iiiivxyyxyx===+=，综上，y关于x的回归方程为12eyx=(2)由1212eeee,9

7yxxxx==，解得4981x剟，49,58,67,77x=乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1,2,31221342424333666CCCCC131(1)

,(2)(3)C5C55,CPXPXPX=========X的分布列为：X123P153515131()1232555EX=++=20．（2022·上海静安·模拟预测）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点．(1)证明：OACD⊥；(2)已

知OCD是边长为1的等边三角形，且三棱锥ABCD−的体积为36，若点E在棱AD上，且二面角EBCD−−的大小为45，求DEEA．【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质

结合等腰三角形的性质可证得OA⊥平面BCD，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）取OD的中点F，则可得CFOD⊥，过O作OM∥CF，与BC交于M，则OMOD⊥，可得,,OMODOA两两垂直，所以以O为原点，,,OMO

DOA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可(1)证明：因为ABAD=，O为BD的中点，所以OABD⊥，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，OA平面ABD，所以

OA⊥平面BCD，因为CD平面BCD，所以OACD⊥，(2)取OD的中点F，因为OCD为等边三角形，所以CFOD⊥，过O作OM∥CF，与BC交于M，则OMOD⊥，由（1）可知OA⊥平面BCD，因为,OMOD平面BCD

，所以,OAOMOAOD⊥⊥，所以,,OMODOA两两垂直，所以以O为原点，,,OMODOA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为OCD是边长为1的等边三角形，O为BD的中点，所以332242BCDOCDSS===，因为三棱锥ABCD−的体积为36，所以1

1333326BCDSOAOA==，所以1OA=，所以31(0,0,1),(0,1,0),,,0,(0,1,0)22ABCD−，设DEtEA=（0t），则DEtEA=，则10,,11tEtt++

因为OA⊥平面BCD，所以(0,0,1)OA=是平面BCD的一个法向量，设平面BCE的一个法向量为(,,)nxyz=，因为332,,0,0,,2211ttBCBEtt+==++，所以330222011nBCxyttnBEyztt=+=+=+=++，令

3x=−，则1y=，2tzt+=−，所以2(3,1,)tnt+=−−，因为二面角EBCD−−的大小为45，所以222cos,2231tOAntOAnOAntt+−===+++，化简得2214t

+=，解得2t=或23t=−（舍去），所以2DEEA=，21．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，已知离心率为32的椭圆()2222:10xyMabab+=的左右顶点分别为A､B，P是椭圆M上异于A､B的一点，直线AP､BP分别交直线:4lx=于C､D两点.直线

l与x轴交于点H，且36AHAC=uuuruuur.(1)求椭圆M的方程；(2)若线段CD的中点为E，问在x轴上是否存在定点N，使得当直线NP､NE的斜率NPk､NEk存在时，NPNEkk为定值？若存在，求出点N的坐标及NPNEk

k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214xy+=(2)(1,0)N，13NPNEkk=−【解析】【分析】（1）先由36AHAC=uuuruuur求出A点坐标，再结合离心率为32，即可求出椭圆M的方程；（2）设出,PN坐标，表示出直线AP､BP的方程求得C､D两点坐标，进而求得E

坐标，表示出NPNEkk，由P是椭圆M上的一点化简得()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，即可求解.(1)由题意知：2cos36AHACAHACCAHAH===uuuruuuruuuruuur，则6AH=，又(

4,0)H，则(2,0)A−，故2a=−，又离心率为32ca=，则3c=，2221bac=−=，故椭圆M的方程为2214xy+=；(2)易得(2,0),(2,0)AB−，设00(,)Pxy，(,0)Nn

，由直线NP､NE的斜率NPk､NEk存在知0,4nxn，又直线AP､BP斜率必存在，则直线00:(2)2yAPyxx=++，令4x=，得0062yyx=+，则006(4,)2yCx+，直线00:(2)2yBPyxx=−−，令4x=，得0022yyx=−，则002(4,)2yDx−，又0

0000002062224424yyxxxyyx++−−=−，则00020444,4xyyEx−−，则()()()200000200002014444444NPNEknnxyxyyxxknxyxn−−−==−−−−−，又P是椭圆M

上的一点，则220014xy+=，即220044yx=−，故()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，故当1n=时，NPNEkk为定值13−，此时(1,0)N.22．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知

函数()()2ln,fxxaxbxabR=−−．(1)当0a=时，若()0fx在()0,x+上恒成立，求实数b的取值范围；(2)设12,xx为()fx的两个不同零点，证明：()12122exxfxx++−．【答案】(1)1,e+(2

)证明见解析【解析】【分析】（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数ln()xgxx=，利用导数求解函数()gx的最大值即可；（2），将证明不等式()12122exxfxx++−转化为证明()1212lnexxxx++

和()()212122axxbxx−+−+−，根据（1）的结果可证()1212lnexxxx++，代入零点12,xx，得2111lnxaxbx=+，2222lnxaxbx=+，两式相减，化简得()()11

2221212121ln1xxxxaxxbxxxx++++=−，令()120,1xmx=，即证明()1ln21mmm+−，通过构造函数()4ln21hmmm=+−+，利用导数求解函数()hm在区间(0,1)上的最值，即可证明()()212122ax

xbxx−+−+−.(1)解：当0a=时，()lnfxxbx=−，因为()ln0fxxbx=−在()0,x+上恒成立，所以lnxbx在()0,x+上恒成立，令ln()xgxx=，即max()bgx在()0,x+上恒成立

，则21ln()xgxx−=，令()0gx，解得0ex，令()0gx，解得ex，所以()gx在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减.故maxlne1()(e)eegxg===，所以实数b的取值范围是1,e+．(2)证明：要证明()12122exxfxx+

+−，即证()()()212121212ln2exxxxaxxbxx++−+−+−，只需证()1212lnexxxx++和()()212122axxbxx−+−+−．由（1）知，当0a=，1eb=时，()1ln0efxxx=−，即1lnex

x，所以()1212lnexxxx++．要证()()212122axxbxx−+−+−，即证()()212122axxbxx+++．因为12,xx为()fx的两个不同零点，不妨设120xx，

所以2111lnxaxbx=+，2222lnxaxbx=+，则()()()11212122lnxaxxxxbxxx=+−+−，两边同时乘以1212xxxx+−，可得()()()()11222121212lnxxxxaxxbxxxx+=+++−，即()()11222121

2121ln1xxxxaxxbxxxx++++=−．令()120,1xmx=，则()()()212121ln1mmaxxbxxm++++=−．即证()1ln21mmm+−，即证()214ln211mmmm−=−++，即证4ln201mm+−+．

令函数()4ln21hmmm=+−+，()0,1m，则()()()()222114011mhmmmmm−=−=++，所以()hm在()0,1上单调递增，所以()()10hmh=．所以()()212122axxbxx−+−+−．

故()12122exxfxx++−．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分

相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．