【文档说明】数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（江苏专用）03（答案及评分标准）.docx，共(9)页，614.702 KB，由管理员店铺上传

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数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（江苏专用）03数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678AABDACCC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112BCDBCDACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、41150

2514、215、3616、2e,4+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【答案】(1)证明见解析，()212nnan=−(2)()1112212nnTn+=−+【分析】（1）由1n=可求得1a的值

，令2n，由2226nnnSa+=−+可得111226nnnSa+−−=−+，两式作差可证得数列nb为等差数列，确定数列nb的首项和公差，即可求得na的通项公式；（2）求得()()111212212nn

ncnn+=−−+，利用裂项相消法可求得nT.(1)解：当1n=时，111286aSa==−+，解得12a=，当2n时，由2226nnnSa+=−+可得111226nnnSa+−−=−+，上述两个等式作差可得11222nnnnaaa+−=−−，即1122nnnaa+−=+，（3分）所以，1

1222nnnnaa−−=+，所以，12nnbb−−=，且1112ab==，所以，数列nb为等差数列，且首项为1，公差为2，则()121212nnnabnn==+−=−，因此，()212nnan=−.（6分）(2)解：因为()()()()()2111232223212212

21212nnnnnnnnnnbncaannnn++++++===−+−+()()()()()()11221211121212212212nnnnnnnnn+++−−==−−+−+，（8分）因此，()()()122311111111

11123232522122122212nnnnTnnn++=−+−++−=−−++.（10分）18．（12分）【答案】(1)23C=(2)（1，4）【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.（2）由题意及正弦

定理可知8sinsinbaBA==，利用正弦定理及正弦函数两角和公式将2amb+化为()sin()fxAx=+型函数进行求解.(1)解：由已知及正弦定理得()()3cabcabab+−−+=，所以222abcab+−=−，（2分）由余弦定理得2221cos22abcCab+−==−，因为0

C，所以23C=．（4分）(2)由正弦定理得8sinsinbaBA==，所以()282sinsin8sin16sin3ambAmBmBB+=+=+−()()2318sin16cossin88sin83cos824sin22mBBBmBBmmB=+−=−

+=−++，（8分）其中3tan1m=−，0,2，又0,3B，所以,3B++，若2amb+存在最大值，则2B+=有解，则32+，即,62，（10分）所以1,33

,13mm−解得14m，即m的取值范围是（1，4）．（12分）19．（12分）【答案】(1)12eyx=(2)分布列见解析，()2EX=【分析】（1）设回归直线方程为ˆˆˆbva=+，由最小二乘法得出变量关于v的回归

方程，再由ln,lniiiivxy==得出y关于x的回归方程；（2）由1212eeee,97yxxxx==求出x，得出乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，再结合超几何分布求出随机变量X的分布列和期望．(1)散点()(),16iivi集中在一条

直线附近，设回归直线方程为ˆˆˆbva=+由6611114.1,3.0566iiiivv======，则1222175.364.13.051ˆ101.464.12niiiniivnvbvnv==−−===−−（3分）1ˆˆ3.054.112abv=−=−

=变量关于v的回归方程为112v=+121ln,ln,lnln1,e2iiiivxyyxyx===+=综上，y关于x的回归方程为12eyx=（6分）(2)由1212eeee,97yxxxx==，解得4981x剟，49,58,

67,77x=乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1,2,31221342424333666CCCCC131(1),(2)(3)C5C55,CPXPXPX==

=======（8分）X的分布列为：X123P153515131()1232555EX=++=（12分）20.（12分）【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由面面垂直的性质结合等腰三角形的性质可证得OA⊥平面BCD，

再由线面垂直的性质可证得结论，（2）取OD的中点F，则可得CFOD⊥，过O作OM∥CF，与BC交于M，则OMOD⊥，可得,,OMODOA两两垂直，所以以O为原点，,,OMODOA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可(1)证明：因为ABAD=，O为BD的中点，所以OA

BD⊥，（2分）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，OA平面ABD，所以OA⊥平面BCD，因为CD平面BCD，所以OACD⊥，（4分）(2)取OD的中点F，因为OCD为等边三

角形，所以CFOD⊥，过O作OM∥CF，与BC交于M，则OMOD⊥，由（1）可知OA⊥平面BCD，因为,OMOD平面BCD，所以,OAOMOAOD⊥⊥，（6分）所以,,OMODOA两两垂直，所以以O为原点，,,OMODOA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直

角坐标系，如图所示，因为OCD是边长为1的等边三角形，O为BD的中点，所以332242BCDOCDSS===，因为三棱锥ABCD−的体积为36，（8分）所以11333326BCDSOAOA==，所以1OA=，所以31(0

,0,1),(0,1,0),,,0,(0,1,0)22ABCD−，设DEtEA=（0t），则DEtEA=，则10,,11tEtt++因为OA⊥平面BCD，所以(0,0,1)OA=是平面BCD的一个法向量，设平面BCE的一个法向量为(,,

)nxyz=，因为332,,0,0,,2211ttBCBEtt+==++，所以330222011nBCxyttnBEyztt=+=+=+=++，令3x=−，则1y=，2tzt+=−，所以2(3,1,)

tnt+=−−，（10分）因为二面角EBCD−−的大小为45，所以222cos,2231tOAntOAnOAntt+−===+++，化简得2214t+=，解得2t=或23t=−（舍去），所以2DEEA=，（12分）21．（12分）【答案】(1)221

4xy+=(2)(1,0)N，13NPNEkk=−【分析】（1）先由36AHAC=uuuruuur求出A点坐标，再结合离心率为32，即可求出椭圆M的方程；（2）设出,PN坐标，表示出直线AP､BP的方程

求得C､D两点坐标，进而求得E坐标，表示出NPNEkk，由P是椭圆M上的一点化简得()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，即可求解.(1)由题意知：2cos36AHACAHACCAHAH===uuur

uuuruuuruuur，则6AH=，又(4,0)H，则(2,0)A−，故2a=−，（2分）又离心率为32ca=，则3c=，2221bac=−=，故椭圆M的方程为2214xy+=；（4分）(2)易得(2,0),(2,0)AB−，设00(,)Pxy，(,0)Nn，由直线N

P､NE的斜率NPk､NEk存在知0,4nxn，又直线AP､BP斜率必存在，则直线00:(2)2yAPyxx=++，令4x=，得0062yyx=+，则006(4,)2yCx+，（6分）直线00:(2)2y

BPyxx=−−，令4x=，得0022yyx=−，则002(4,)2yDx−，又00000002062224424yyxxxyyx++−−=−，（8分）则00020444,4xyyEx−−，则()()()2000002000020144

44444NPNEknnxyxyyxxknxyxn−−−==−−−−−，又P是椭圆M上的一点，则220014xy+=，（10分）即220044yx=−，故()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，故当1n=时，NPNEkk为

定值13−，此时(1,0)N.（12分）22．（12分）【答案】(1)1,e+(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数ln()xgxx=，利用导数求解函数()gx的最大值即可；（2），将证明不等式()

12122exxfxx++−转化为证明()1212lnexxxx++和()()212122axxbxx−+−+−，根据（1）的结果可证()1212lnexxxx++，代入零点12,xx，得2111lnxaxbx=+，2222lnxaxbx=+

，两式相减，化简得()()112221212121ln1xxxxaxxbxxxx++++=−，令()120,1xmx=，即证明()1ln21mmm+−，通过构造函数()4ln21hmmm=+−+，利用导数求解函数()hm在区间(0,1)上的最值，即可证

明()()212122axxbxx−+−+−.(1)解：当0a=时，()lnfxxbx=−，因为()ln0fxxbx=−在()0,x+上恒成立，所以lnxbx在()0,x+上恒成立，令ln()xgxx=，即max

()bgx在()0,x+上恒成立，（2分）则21ln()xgxx−=，令()0gx，解得0ex，令()0gx，解得ex，所以()gx在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减.故maxlne1()(e)eegxg===，所以实数b的取值范围是1,e

+．（4分）(2)证明：要证明()12122exxfxx++−，即证()()()212121212ln2exxxxaxxbxx++−+−+−，只需证()1212lnexxxx++和()()212122axxbxx−

+−+−．（6分）由（1）知，当0a=，1eb=时，()1ln0efxxx=−，即1lnexx，所以()1212lnexxxx++．要证()()212122axxbxx−+−+−，即证()()212122axxbxx+++．因为12,xx为()fx的两个

不同零点，不妨设120xx，所以2111lnxaxbx=+，2222lnxaxbx=+，则()()()11212122lnxaxxxxbxxx=+−+−，（8分）两边同时乘以1212xxxx+−，可得()()()()11222121212lnxxxxaxxbxxxx+=

+++−，即()()112221212121ln1xxxxaxxbxxxx++++=−．令()120,1xmx=，则()()()212121ln1mmaxxbxxm++++=−．即证()1ln21mmm+−，即证()214ln2

11mmmm−=−++，即证4ln201mm+−+．（10分）令函数()4ln21hmmm=+−+，()0,1m，则()()()()222114011mhmmmmm−=−=++，所以()hm在()0,1上单调递增，所以()()10hm

h=．所以()()212122axxbxx−+−+−．故()12122exxfxx++−．（12分）【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．