【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2023-2024学年高三上学期入学考试理科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.950 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024成都锦江区嘉祥外国语高级中学高三上入学考试理科数学试卷一、选择题（共12小题）1.已知全集06UABxZx==，()1,3,5UAB=ð，则B=A.2,4,6B.

1,3,5C.0,2,4,6D.06xZx【答案】C【解析】【分析】由已知()1,3,5UAB=ð可得A中有元素，1，3，5，且1，3，5不在集合B内可排除选项B,D，讨论元素0即可得出结论.【详解

】由()1,3,5UAB=ð得元素1，3，5不在集合B内.若元素0不在集合B内，则由06ABxZx=得元素0在集合A内，则()0UABð，与题意不符，所以元素0在集合B内，同理可得元素2，4，6也在集合B内，所以0,2,4,6B=，故选：C.【点睛】本题考查了交集

、补集、并集和全集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z满足21izi=+，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为22(1)11(1)(1)iiiziiii−===++−+,所以1zi=−，所以z的

共轭复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3.在等差数列na中，263,11aa==，直线l过点()()()*,,,,,mnMmaNnamnmnN，则直线l的斜率为（）A.2B.2−C.4D.4−【答案

】A【解析】【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出,MN，即可求出结果.【详解】因为na是等差数列，263,11aa==，令数列na的公差为d，所以6248aad−==，2d=，则()2221naan

dn=+−=−，所以()(),21,,21MmmNnn−−，则直线l的斜率为222nmnm−=−.故选：A4.直线30xy−=绕原点按顺时针方向旋转30后所得的直线l与圆()2223xy−+=的位置关系是（）A.直线l过圆心B.直线l与圆相交，但不过圆心C.直线l与圆相切D.直线

l与圆无公共点【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答.【详解】直线30xy−=过原点，斜率为33，倾斜角为30，依题意，直线l的倾斜角为0，斜率为0，而l过原点，因此直线l的方程为：0

y=，而圆22(2)3xy−+=的圆心为(2,0)，半径为3，于是得圆心(2,0)在直线l上，所以直线l与圆相交，过圆心.故选：A5.剪（折）纸是幼儿园大班儿童的必修课，通过剪（折）纸，可以培养儿童的动手能力和热爱劳动的优秀品质以及对艺术作品的欣赏能力．通过对正三角形、正方形、

正五边形、正六边形纸片进行简单的裁前、折叠可以制作出三叶风车、四叶风车、五叶风车、六叶风车．如图（1）是一个五叶风车，图（2）是正五边形ABCDE，若该正五边形的边长为1，则ACAD=（）A.2π2cos5B.3π2cos5C.2π4cos5D.3π4cos5【答案】D【解析】【分析】设O

为正五边形的外接圆圆心，π5CAD=，在AED△中，由余弦定理求出AD，再由数量积的定义求解即可.【详解】如图，设O为正五边形的外接圆圆心，则2π5COD=，所以π5CAD=．又3π5AED=，所以在AED△中，由余

弦定理得：23π2π2π11211cos22cosπ22cos555AD=+−=−−=+，又ACAD=，所以πcos5ACADADAC=232πππππ22coscos222cos1cos4cos55555=+

=+−=，故选：D．6.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，,AB各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当,AB各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知2PA

AB=，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（）A.12B.23C.255D.53【答案】D【解析】【分析】设ABx=，则2PAx=，由题意可得2bx=，3ax=，根据离心率公式即可求解.【详解】解：由题意知PA与PB的长度不变，已知2PAAB=，设ABx=，则2PAx=，当A

滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长2bx=，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长3ax=，故离心率为2294533cxxax−==.故选：D.7.奇函数f（x）在R上存在导数()fx，当x＜0时，()fx2x−＜f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为

（）A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C.（﹣1，0）∪（1，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据当x＜0时，()fx¢2x−＜ff（x）的结构特征，构造函数()()2hxxfx=，求导得()()

()(2)hxxxfxfx=+，由当x＜0时，()fx¢2x−＜f（x），得()()2hxxfx=在()0−，上是减函数，再根据f（x）奇函数，则()()2hxxfx=也是奇函数，()()2hxxfx=在()0，+上

也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数()fx¢，所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且()hx与()fx同号，将（x2﹣1）f（x）＜0转化为()21()0xhx−求解.【详解】设()()2hxxfx=

，所以()()()(2)hxxxfxfx=+，因为当x＜0时，()fx¢2x−＜f（x），即()()20xfxfx+，所以()()()(2)0hxxxfxfx=+，所以()()2hxxfx=在()0−，上是减函数.又因为f（x）奇函数，所以()()2hxxfx=也是奇函数，所以()

()2hxxfx=在()0，+上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数()fx¢，所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且()hx与()fx同号，所以（x2﹣1）f（x）＜0()21()0xhx−210()0

xhx−或210()0xhx−解得1x或10x−故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.8.在新高考改革中，学生可先从物理、历史

两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A.24B.30C.48D.60【答案】D【解析】【分析】甲乙二人可能在物理、历史两科中选择的一科相同,也可能在化学、生物、

政治、地理四门学科中任选两科中恰有一科相同,由此求解.【详解】由题,当甲乙二人在物理、历史两科中的选择相同,有24212C=种；当甲乙二人在化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科中恰有一科相同,则有11324248CC

=种；则共有124860+=种,故选:D【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,考查分类讨论思想.9.已知等比数列na前n项和为nS，则下列结论一定成立的是（）A.若30a，则20230aB.若30a，则20240aC.若30a，则20230SD.若30a，则20240S【

答案】C【解析】【分析】对于选项ABD，举特殊等比数列排除即可；对于选项C，可分类讨论公比0q和0q两种情况证明，从而得解．【详解】对于选项A，可列举公比1q=−的等比数列1,1,1,1,−−L，显然满足30a，但202310a=，故A错误；对于选项B，可列举

公比1q=的等比数列1,1,1,1,，显然满足310a=，但202410a=，故B错误；对于选项C，因为30a，即210aq，所以10a，当公比0q时，10naaq=，故有20230S；当公比0q时，20230q，故10q−

，202310q−，仍然有()202312023101aqSq−=−；综上：20230S，故C正确；对于选项D，可列举公比1q=−的等比数列1,1,1,1,−−L，显然满足30a，但20240S=，故D错误．故选：C．10.在平面直角坐标系中，不等式组22200xyx

yxyr+−+(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝13xyx+++的最小值为A.－1B.－5217+C.13D.－75【答案】D【解析】【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知21

4r=，解得2r=．因为目标函数12133xyyzxx++−==+++表示区域内上的点与点(3,2)P−连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为2(3)ykx−=+，即320kxyk−++=，则有

2|32|21kk+=+，解得125k=−或0k=（舍），所以min127155z=−=−，故选D．11.M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（）①//MN平面ABD；②异面直线AC与MN所成的角为定值；

③在二面角DACB−−逐渐变小的过程中，三棱锥DABC−外接球的半径先变小后变大；④若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则ABC的取值范围是0,2A.①②B.①②④C.①④D.①②③④【答案】B【解析】【分析

】利用线面平行的判定定理判断①；利用线面垂直的判定定理求出异面直线AC与MN所成的角，判断②；借助极限状态，当平面DAC与平面ABC重合时，三棱锥DABC−外接球即是以ABC外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面

角DACB−−逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析可判断③；过A作AHBC⊥于H，按ABC分别为锐角，直角，钝角三种情况进行分析判断即可判断④．【详解】对于①，∵M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，∴//MNBD，又MN平面ABD，BD平面ABD，∴//MN平面ABD，①正

确；对于②，取AC中点O，连接,DOBO，如图，则,DOACBOAC⊥⊥，BODOO=，∴AC⊥平面BDO，而BD平面BDO，∴ACBD⊥，∴ACMN⊥，即异面直线MN与AC所成的角为90°，②正确；对于③，借助极限状态，

当平面DAC与平面ABC重合时，三棱锥DABC−外接球即是以ABC外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面角DACB−−逐渐变大时，球心离开平面ABC，但球心在平面ABC内射影仍然是ABC外接圆圆心，故二面角DACB−−逐渐变小的过程中，三棱锥DABC−外接球的半径不

可能先变小后变大，③错误；对于④，过A作AHBC⊥于H，若ABC为锐角，则H在线段BC上，若ABC为直角，则H与B重合，若ABC为钝角，则H在线段CB的延长线上，若存在某个位置，使得直线AD与BC垂直，∵AHB

C⊥，∴BC⊥平面AHD，由线面垂直的性质得BCHD⊥，若ABC为直角，则H与B重合，则CBBD⊥，而已知BCCD=，∴CBBD⊥不可能成立，即ABC不可能为直角，若ABC为钝角，则H在线段CB的延长线上，则在原平面菱形ABCD中，DCB为锐角，由于立体

图形中DBDOOB+，因此立体图形中DCB比原平面图形更小，∴立体图形中DCB为锐角，而BCCD=，∴空间图形中BCD△是锐角三角形，由BCHD⊥知H在线段BC上，与H在线段CB的延长线上矛盾，因此ABC不可能为钝角，综上可知，ABC只能为锐角，即④正确．故选：B．【点睛】本题考查异

面直线所成的角，线面平行与线面垂直的判定，多面体外接球问题，考查空间图形折叠问题，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，借助极限状态和反证法思想的运用是解题的关键，综合性较强，属于难题．12.内接于椭圆22149xy+=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A

.413B.1413C.110133D.上述三个选项都不对【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149xy+=的菱形为ABCD，()12,,,2AB+，分别求出22,OAOB，再根据222ABOAOB=+，结合三角恒等变换化简，再根据

三角函数的性质求出AB的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149xy+=，得229436xy+=，化为极坐标方程为223645cos=+，设内接于椭圆22149xy+=的菱形为ABCD，则OAOB⊥，设()12,,,2AB+，则2212

3645cosOA==+，22222363645sin45cos2OB===+++，所以2221222363645cos45sinAB=+=+++2223613361325162025sincos36sin24

==+++，当2sin20=时，2AB取得最大值，即AB的最大值为13，所以菱形的周长的最大值为413，当2sin21=时，2AB取得最小值，即AB的最小值为121313，所以菱形的周长的最小值为481313，所以内接于椭圆22149xy+=的菱形周长的最大值和最小值之和是

4813110134131313+=.故选：D.二、填空题（每题5分，共20分）13.已知倾斜角为的直线l与直线210xy++=垂直，则sin3cossincos+=−___________

．【答案】5【解析】【分析】利用倾斜角和直线斜率的关系可得tan的值，再利用同角三角函数关系求解即可.【详解】直线210xy++=的斜率为12−，因为倾斜角为的直线l与直线210xy++=垂直，所以1tan12−=−解得tan2

=，所以cos0，则sin3costan35sincostan1++==−−故答案为：5.14.双曲线()222210,0xyabab−=的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线

的渐近线方程为______．【答案】43yx=【解析】【分析】由等差数列定义确定,,abc关系，由此可得双曲线的渐近线方程.【详解】设双曲线22221xyab−=的半焦距为c，因为双曲线22221xyab−=的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，

所以224acb+=，即2acb+=，又222cab=+，所以()2222baab−=+，故234bab=，所以43ba=，所以双曲线22221xyab−=的渐近线方程为43yx=.故答案：43yx

=.15.如图，已知圆柱底面圆的半径为2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是___．.为【答案】22【解析】【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.【详解】展开圆柱的侧面如

图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是222222AC=+=.故答案为：2216.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的编号）①

存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线ykxb=+不经过任何整点；③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点；④直线ykxb=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤

存在恰经过一个整点的直线.【答案】①③⑤【解析】【分析】逐项分析判断即可，或举例说明或举反例判断或直接证明.【详解】对于①，令12yx=+，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，

取2k=，2b=−，直线22yx=−经过整点()1,0，故②错误；对于③，设直线经过整点()11,xy，()22,xy，1122,,,Zxyxy，当12xx=时，直线方程为2xx=，经过无穷多个整点；当12xx时，则直线斜率2121Qyykxx−=

−，不妨设为(),Z,0pkpqqq=，则直线()11:plyyxxq−=−，它经过1*11()()Nnnxqypqn−++，无数个整点，故③正确；对于④，当k，b都为有理数时，可能不经过整点，例如12k=，13b=，故④错误；对于⑤，直线2y

x=只经过一个整点()0,0，故⑤正确.故答案为：①③⑤三、解答题（70分，17题10分，其余每题12分）17.为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木AE的高度()Hm，垂直放置的标杆BC的

高度4hm=，仰角,(,,ABEADEDCE==三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：（1）若测得0060,30==，试求H的值；（2）经过分析若干测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d（单位：）使与之差较大时，可以提高测量的精确度，.若

树木的实际高为8m，试问d为多少时，−最大？【答案】（1）6（2）42【解析】【分析】（1）根据题意解三角形即可得出,ABBD的代数式再利用ADABDB−=即可求出H．（2）先d分别表示出tan,tan，再根据两角和公式求得tan()−的代数式整理成基本不等式的

形式然后根据基本不等式求出该式的最大值进而可得−有最大值求出即可．【详解】（1）解：tantanHHADAD==，同理：,tantanHhABBD==．ADABDB−=，故得tantantanHHh−=，解得：t

an436tantan333hHm===−−（2）解：由题设知dAB=，得tan,tanHHhHhdADDBD−====，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhHHhdHHhdddd−−−−==

==−−++−++而()2()HHhdHHhd−+−，（当且仅当()42dHHh=−=时取等号）故当42d=时，tan()−最大．因为02，则02−，所以当42d=时，−最大

．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的实际应用问题，以及两角差的正切公式和基本不等式的应用，其中解答中熟记三角函数的恒等变换的公式，合理使用基本不等式求最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18.各

项都为正数数列na的前n项和为nS，已知()221nnnSaa+=+.（1）求数列na的通项公式；的（2）若数列nb满足12b=，12nnbb+=，数列nc满足()()nnnancbn=为奇数为偶数，数列nc的前n项和为nT，当n为偶数时，求nT.

【答案】（1）1nan=+（2）()2242143nnTnn+=+−【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS−=−求解na的通项；（2）根据（1）中的数列通项，结合等差数列和等比数列求和公式采用分组求和即可.【小问1详解】当1n=时，(

)211121Saa+=+，即21120aa−−=,解得12a=或11a=−（负值舍去），当2n时，()221nnnSaa+=+，()211121nnnSaa−−−+=+，两式相减得：()()1110nnnnaaaa−−+−−=，

因为0na，所以11nnaa−−=，所以数列na是以2为首项，1为公差的等差数列.所以1nan=+.【小问2详解】因为12b=，12nnbb+=，所以数列nb是以2为首项，2为公比的等差数列，所以2nn

b=，当n为偶数时，()()12124nnnTaaabba−=+++++++()()22114(14)2422121443nnnnaann−+−+=+=+−−.19.已知函数()()elnxfxxm=−+的图象在点()()2,2Mmfm−−处的切线l与直线210xy++=垂直．（1）求m的值及

切线l的方程；（2）证明：()0fx．【答案】（1）2m=，11ln22yx=+−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案.（2）先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零

，所以()0fx.【小问1详解】()1exfxxm=−+，因为函数()fx的图象在点()()2,2Mmfm−−处的切线l与直线210xy++=垂直，所以()2112e22mfm−−−==，解之得2m=，又()()201ln2fmf−==−，所以切线l的方程为()()()00

0yffx¢-=-，即11ln22yx=+−．【小问2详解】由（1）知，()()eln2xfxx=−+，()1e2xfxx=−+，令()()gxfx=，()()21e02xgxx+=+，所以()fx在区间()2,

−+上单调递增，又()11e10f−−=−，()1002f=，所以()0fx=在区间()2,−+上有唯一实根0x，且()01,0x−，当()02,xx−时，()0fx，当()0,xx+时，()0fx¢>，从而当0xx=时，()fx取得最小值，由()0

0fx=，得001e2xx=+，()00ln2xx−+=，所以()()()20000011022xfxfxxxx+=+=++，所以()0fx成立．20.如图，在矩形ABCD中，3AB=，6AD=，点E，

F分别在AD，BC上，且1AE=，4BF=，沿EF将四边形AEFB折成四边形AEFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.（1）求证：平面BCD⊥平面BHD；（2）求直线HC与平面AED所成角的正弦值.【答案】

（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直，从而线面垂直证明面面垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.【小问1详解】因为点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，故BH⊥平面CDEF.又CD

平面CDEF，故BHCD⊥，又CDDE⊥，DEBHH=，DE平面BHD，BH平面BHD，故CD⊥平面BHD.又CD平面BCD，故平面BCD⊥平面BHD.【小问2详解】如图所示：以ED为y轴，平面CDEF内与ED垂直的直线

为x轴，平面'BHD内与ED垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则()0,0,0E，()0,5,0D，()3,3,0F，设()0,,Byz，则()()0,,,3,3,BEBFzyzy=−−=−−，故2210BEyz

=+=，()22934BFyz=+−+=，取正解，得到2y=，6z=，故()0,2,6B.()113,1,644EAFB=−=−，故316,,444A−−，又()0,5,0ED=，设平面AED的法向量为(),,n

xyz=，故00nEDnEA==，即503160444yxyz=−−+=，取3z=，得到6x=，故()6,0,3n=.又()3,5,0C，()0,2,0H，所以()3,3,0CH=−−，所以直线HC与平面AED所成角的正弦值为

365cos,51532CHnCHnCHn===.故直线HC与平面AED所成角的正弦值为55.21.随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所

有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额

时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）年份20142015201620172018年份编号t12345参与人数（百万人）050.611

.41.7（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数y（百万人）与年份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：ˆˆˆybta=+，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数；（2

）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：报价区间(千元))12，)23，)34，)45，)56，)67，.频数200600600300200100①求

这2000为参与人员报价X的平均值x和样本方差2s（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X可视为服从正态分布2(,)N，且与2可分别由①中所求的样本平均值x和样本方差2s估值.若预计2019年双十一该商

品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.参考公式即数据（i）回归方程：ˆˆˆybta=+，其中1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−（ii）552115

5,18.8,1.71.3iiiiitty====（iii）若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则()0.6826PZ−+=，(22)0.9544PZ−+=，(33)0.9974PZ−

+=【答案】(1)0.32.0.ˆ08yx=+；2百万(2)3.5；1.7①②4.8千元【解析】【分析】（1）分别求得t和,y，求得回归方程，再取6t=求得预测值；（2）分别利用表中数据求得X的平均值x和样本方差2s，再利用正态分布求得(4.8)PX，求得，从而预测出最低价.【

详解】解:(1)由题意,得123450.50.611.41.73,1.0455ty++++++++====,218.8531.043.20.32,1.040.3230.08.55531ˆ0ˆba−====−=−回归直线方程为0

.32.0.ˆ08yx=+又当6t=时,0.3260.082y=+=.所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万.(2)①由表中的数据,得2006006003002001001.52.53.54.55.56.53.5,20002000200020002000200

0x=+++++=样本方差222222200600300200100(2)(1)01231.720002000200020002000s=−+−++++=②由①可知()~3.5,1.7XN,且(3.51.33.51.3)0.6

826PX−+=,则10.6826(4.8)0.15872PX−==又3174000.1587,2000000=所以该商品的最低成交价为4.8千元.【点睛】本题考查了线性回归方程，以及正态分布的综合应用，属于中档题型，合理理解题意是解题的关键.22.如图，设椭圆2221xya+=（a＞

1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）2222211akkak=++；（Ⅱ）202e．【解析】【详解】试题分析：

（Ⅰ）先联立1ykx=+和2221xya+=，可得1x，2x，再利用弦长公式可得直线1ykx=+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试

题解析：（Ⅰ）设直线1ykx=+被椭圆截得的线段为AP，由2221{1ykxxya=++=得()2222120akxakx++=，故10x=，222221akxak=−+．因此22212222111akAPkxxkak=+−=++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭

圆上有两个不同的点P，Q，满足,APAQ=．记直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1k，20k，12kk．由（Ⅰ）知，2211221211akkAPak+=+，2222222211akkAQak+=+，故22221122222212212111akkakk

akak++=++，所以()()22222222121212120kkkkaakk−+++−=．由于12kk，1k，20k得()2222221212120kkaakk+++−=，因此22221211(1)(1)1(2)aakk++=+−，①因为①式关于1k，2k的方程有解的充要条件

是221(2)1aa+−，所以2a．因此，任意以点()0,1A为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a，由21caeaa−==得，所求离心率的取值范围为202e．【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1ykx=+和2221xya+=，可得交点

的横坐标，再利用弦长公式可得直线1ykx=+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1A为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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