【文档说明】2021-2022学年高中数学人教版必修4教案：3.1.1两角差的余弦公式 3 含解析【高考】.doc，共(11)页，1.698 MB，由小赞的店铺上传

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-1-3．1.1两角差的余弦公式教学分析本节是以一个实际问题做引子，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题．在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在研究像tan(45°＋α)这样

的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°＋α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程．

本节首先引导学生对cos(α－β)的结果进行探究，让学生充分发挥想象力，进行猜想，给出所有可能的结果，然后再去验证其真假．这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程，最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案．方案一，利用单位圆上的三角函数线进

行探索、推导，让学生动手画图，构造出α－β角，利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度，教师要作恰当的引导；方案二，利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方

法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由

来；②使学生认识公式的结构特征，加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．三维目标1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加

深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分

析问题、解决问题的能力．3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题．创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力

和代换、演绎、数形结合等数学思想方法．-2-重点难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式．教学难点：探索过程的组织和适当引导．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例．在用方程

的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在研究像tan(45°＋α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°＋α)这样的包含两角和的

三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课．思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝22，cos30°＝32，由此我们能否得到cos15°＝

cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是个什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课：我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”．这是全章公式的基础．推进新课新知探究

提出问题①请学生猜想cos(α－β)＝？②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α－β)呢？③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α－β)＝？④细心观察C(α－β)公式的结构

，它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α－β)公式进行求值计算？活动：问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到cos(α－β)＝cosα－cosβ的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特

殊角来验证它的正确性．如α＝60°，β＝30°，则cos(α－β)＝cos30°＝32，而cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝1－32，这一反例足以说明cos(α－β)≠cosα－cosβ.让学生明白，要想说明猜想正

确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反-3-例即可．问题②，既然cos(α－β)≠cosα－cosβ，那么cos(α－β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题，是α－β这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来

探究呢？如图1，设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β.过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，那么OM就是角α－β的余弦线，即OM＝cos(α－β)，这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作P

A垂直于OP1，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C.那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋si

nβsinα.所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.图1教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角α、β、α－β是有条件限制的，即α、β、α－β均为锐角，且α>β，如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并且

这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试．问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ

，sinβ)，∠AOB＝α－β.图2由向量数量积的定义有OA→·OB→＝|OA→||OB→|·cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示有OA→·OB→＝(cosα，sinα)(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，于是，cos(α－β)＝cosαco

sβ＋sinαsinβ.我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角α-4-－β必须符合条件0≤α－β≤π，以上结论才正确，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究

当α－β是任意角时，以上公式是否正确的问题．当α－β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π)，使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则OA→·OB→＝cosθ＝cos(α－β)．若θ∈[π，2π]，则2π－θ∈[0，π]

，且OA→·OB→＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．由此可知，对于任意角α、β都有cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公

式，简记为C(α－β)．有了公式C(α－β)以后，我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β)的值了．问题④，教师引导学生细心观察公式C(α－β)的结构特征，让学生自

己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“－”右“＋”．或让学生进行简单填空，如：cos(A－B)＝________，co

s(θ－φ)＝________等．因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α－β)的值了．问题⑤，对于公式的正用是比较容易的，关键在于“拆角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向

思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧．如cos75°cos45°＋sin75°sin45°＝cos(75°－45°)＝cos30°＝32，cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.讨论结果

：①～⑤略．应用示例思路1例1利用差角余弦公式求cos15°的值．活动：先让学生自己探究，对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°，它可以拆分为哪些特殊角的差，如15°＝45°－30°或者15°＝60°－45°，从

而就可以直接套用公式C(α－β)计算求值．教师不要包办，充分让学生自己独立完成，在学生的具体操作下，体会公式的结构，公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法．对于很快就完成的同学，教师鼓励其换个角度继续探究．解：方法一：cos15°＝co

s(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.-5-方法二：cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12×22＋22×32＝6＋24.点评：本题是指定方法求cos15°的值，

属于套用公式型的，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式，灵活运用公式求值．本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形．至于如何拆分，让学生在应用中仔细体会.变式训练1．不查表求sin75°，sin15°

的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.sin15°＝1－cos215°＝1－6＋242＝8－26×216＝6－

24.点评：本题是例题的变式，比例题有一定的难度，但学生只要细心分析，利用相关的诱导公式，不难得到上面的解答方法．2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.点评：此题学生

一看就有似曾相识而又无从下手的感觉，需要教师加以引导，让学生细心观察，再结合公式C(α－β)的右边的特征，逆用公式便可得到cos(110°－20°)．这就是公式逆用的典例，从而培养了学生思维的灵活性.例2已知sinα＝45

，α∈(π2，π)，cosβ＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．活动：教师引导学生观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，学生不难发现，欲求cos(α－β)的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C(α－β)即可求解．从已知条

件看，还少cosα与sinβ的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时，角α、β所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号．本例可由学生自己独立完成．解：由sinα＝45，α∈(π2，π)，得cosα＝－

1－sin2α＝－1－452＝－35.又由cosβ＝－513，β是第三象限角，得-6-sinβ＝－1－cos2β＝－1－－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×(－5

13)＋45×(－1213)＝－3365.点评：本题是直接运用公式C(α－β)求值的基础练习，但必须思考使用公式前应作出的必要准备．特别是运用同角三角函数平方关系式求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号．教

师可提醒学生注意这点，养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα＝45，α∈(0，π)，cosβ＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈[π2，π)时，由sinα＝45，得cosα＝－1－si

n2α＝－1－452＝－35，又由cosβ＝－513，β是第三象限角，得sinβ＝－1－cos2β＝－1－－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×(－513)＋45×(－

1213)＝－3365.②当α∈(0，π2)时，由sinα＝45，得cosα＝1－sin2α＝1－452＝35，又由cosβ＝－513，β是第三象限角，得sinβ＝－1－cos2β＝－1－－5132＝－1213.

所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×(－513)＋45×(－1213)＝－6365.点评：本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同．由于α∈(0，π)，这样cosα的符号可正、可负，需讨论，教师引导学生运用分类讨论的思想，对角α进行分类讨论，

从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性．教师强调分类时要不重不漏.思路2例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；-7-(3)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)．活动：教师

可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角－15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°)＝cos15°再求值．让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式C

(α－β)的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数．解：(1)原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)

＝cos(－90°)＝cos90°＝0.(3)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cosy.点评：本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢

固的基础．例2已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cosβ的值．活动：教师引导学生观察题目中的条件与所求，让学生探究α、α＋β、β之间的关系，也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系．学生通过探究、讨论不难得到

β＝(α＋β)－α的关系式，然后利用公式C(α－β)求值即可．但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α＋β的取值范围，这是很关键的一点，从而判断sin(α＋β)的符号进而求出cosβ.解：∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1

114，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.点

评：本题相对于例1难度大有提高，但是只要引导适当，学生不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，继而运用公式解决．但值得注意的是α＋β的取值范围确定，也是很关键的，这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练-8-1．求值：cos15°＋sin15°.解：原式＝2(22cos15°＋22sin1

5°)＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2cos30°＝62.2．已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，求cos(α－β)的值．解：∵(sinα＋sinβ)2＝(35)2，(cosα＋cosβ)2＝(45)

2，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.点评：本题又是公式C(α－β)的典型应用，解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方，从而得到公式C(α－β)中cosαcosβ和sinαsinβ的值，即可求得cos(α－β)的值

，本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力．3．已知锐角α、β满足cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ.解：∵α为锐角，且cosα＝45，得sinα＝35.又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴cos(α－β)＝310.

从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×310＋35×(－110)＝91050.知能训练课本本节练习．解答：1．(1)cos(π2－α)＝cosπ2

cosα＋sinπ2sinα＝sinα.-9-(2)cos(2π－α)＝cos2πcosα＋sin2πsinα＝cosα.2.210.3.153－834.4.27－3512.课堂小结1．先由学生自己思考

、回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变形用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下知识点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角

余弦公式方面：对公式结构和功能的认识；三角变换的特点．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步

骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本习题3.1A组2、3、4、5.设计感想1．本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探

索数学知识发生、发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性．2．纵观本教案

的设计，学生发现推导出公式C(α－β)后就是应用，同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学

矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增强了学生的参与意识，教给了学

生发现规律、探索推导，获取新知的途径，让学生真正尝到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．-10-备课资料一、当α、β为锐角时，cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsi

nβ的向量证明方法．证明：如图3所示，在直角坐标系中作单位圆O，并作角α与－β，设角α的终边与单位圆交于点P1，－β角的终边与单位圆交于点P2，则图3OP1→＝(cosα，sinα)，OP2→＝(cos(－β)，sin(－β))，OP1→与OP2→的夹角为α＋β

，∵OP1→·OP2→＝|OP1→||OP2→|cos(α＋β)，cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝1·1·cos(α＋β)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.二、备用习题1．若－π2<α<β<π2，则α－β一定不属于的区间是()A．(－π

，π)B．(－π2，π2)C．(－π，0)D．(0，π)答案：D2．不查表求值：(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.答案：解：(1)原式＝sin80°s

in35°＋cos80°cos35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.(2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.3．已知sinθ＝15，θ∈(π2，π)，求cos(θ－

π3)的值．答案：解：∵sinθ＝15，θ∈(π2，π)，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－125＝－265.∴cos(θ－π3)＝cosθcosπ3＋sinθsinπ3-11-＝－265×12＋15×32＝

3－2610.4．已知sinα＝23，α∈(π2，π)，cosβ＝－34，β∈(π，3π2)，求cos(α－β)的值．答案：解：∵sinα＝23，α∈(π2，π)，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－49＝－53.∵cos

β＝－34，β∈(π，3π2)，∴sinβ＝－1－cos2β＝－1－916＝－74.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－53×(－34)＋23×(－74)＝35－2712.5．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋c

osβ＋cosγ＝0，求证：cos(α－γ)＝－12.答案：证明：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，∴sinα＋sinγ＝－sinβ.①∵cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴cosα＋cosγ＝－cosβ.②①2＋②2，得sin2α＋cos2α＋sin2γ＋cos2γ＋

2cosαcosγ＋2sinαsinγ＝sin2β＋cos2β.∴2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝－1，即cos(α－γ)＝－12.