【文档说明】2021-2022学年高中数学人教版必修4教案：3.1.1两角差的余弦公式 1 含解析【高考】.doc，共(14)页，324.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式●三维目标1．知识与技能掌握用向量方法建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他和(差)公式

打好基础．2．过程与方法经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．3．情感、态度与价值观通过本节学习和应用实践，培养学生的探索精神，体会数学的科学价值、应用价值，学会用数学的思维方式解决问题．●重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式．难点：探索过程的组织和

适当引导．这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等．●教学建议两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点．尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点．首先明确提出探索课题：如

何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？凭直觉得出cos(α－β)＝cosα－cosβ是学生经常出现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角探索目标的认识，也为以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备．联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的．鉴于学生独立地运用单位

圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难，因此这个过程比较困难、复杂，教学中应适时作出必要的引导．在引导学生用向量数量积探索两角差的余弦公式时，可提出以下要点：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用

．(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)．其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．-2-课标解读1.掌握两角差的

余弦公式．(重点)2.会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)3.两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)两角差的余弦公式【问题导思】1．cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立吗？【提示

】不成立．2．cosα－cosβ＝cos(α－β)成立吗？【提示】不一定．3.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA→与OB→的夹角是多少？【提示】A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．OA→与OB→的夹角是α－β.4．你能

用哪几种方法计算OA→·OB→的数量积？【提示】①OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ.5．根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin

β.cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接等号与左边角的连接符号相反．-3-(见学生用书第63页)利用两角差的余弦公式求值例1求值：(1)sin460°·sin(

－160°)＋cos560°·cos(－280°)；(2)sin285°.【思路探究】解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式来求解．【自主解答】(1)原式＝sin100°·(－sin160°)＋cos2

00°·cos280°＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80°＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°)＝－cos60°＝－12.(2)sin285°＝sin(270°＋15°)＝－cos1

5°＝－cos(60°－45°)＝－(cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°)＝－6＋24.规律方法1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)

在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．变式训练求下列各式的值：(1)c

os(－165°)；(2)sin15°sin105°＋cos15°cos105°.-4-【解】(1)原式＝cos165°＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°

)＝－6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.给值(式)求值例2已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cosα的值．【思路探究】注意到α＝(α＋π4)－π4，把求cosα转

化为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求cos(α＋π4)的值，利用平方关系，问题可解．【自主解答】∵sin(α＋π4)＝45，且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π，∴cos(α＋π4)＝－1－452＝－35.∴c

osα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.规律方法1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋π4与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(

2α＋β)－(α＋β)等．2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．互动探究在本例中，若把α的范围改为：“54π<α<74π”，其他条件不变，又

如何求cosα的值？-5-【解】∵sin(α＋π4)＝45且5π4<α<74π.∴32π<α＋π4<2π.∴cos(α＋π4)＝1－sin2α＋π4＝1－452＝35.∴cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin

(α＋π4)·sinπ4＝35×22＋45×22＝7210.已知三角函数值求角例3已知α、β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．【思路探究】本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范

围，再求出α－β的值．【自主解答】∵α、β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinα<sinβ，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.规律方法1．这类问题的

求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．-6-2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．变式训练已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．

【解】由cosα＝17，0<α<π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－131

42＝3314.由β＝α－(α－β)得∴cosβ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.易错误区(见学生用书第64页)不考虑角的范围致误典例已知α，β，γ是锐角，sinα＋sinβ＝sinγ

，cosα＋cosβ＝cosγ，求α－γ的值．【错解】由已知得，sinα－sinγ＝－sinβ，cosα－cosγ＝－cosβ，两式分别平方得，sin2α－2sinαsinγ＋sin2γ＝sin2β，cos2α－2cosαcosγ＋cos2γ＝cos2β

，两式相加得，1－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝12，故α－γ＝±π3.【错因分析】没有考虑角的范围，出现了不易发现的错误．【防范措施】对于求角的题，一定要先考虑角的范围

，这样才不会出错．【正解】由已知得，sinα－sinγ＝－sinβ，cosα－cosγ＝－cosβ，两式分别平方得，sin2α－2sinαsinγ＋sin2γ＝sin2β，cos2α－2cosαcosγ＋cos2γ＝cos2β，两式相加得，1－2(cosαco

sγ＋sinαsinγ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝12.-7-由于α，β，γ是锐角，所以由sinα－sinγ＝－sinβ<0可知，α<γ，故α－γ＝－π3.课堂小结1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或

某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可

分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．当堂检测(见学生用书第65页)1．cos17°等于()A．cos20°cos3°－sin20°sin3°B

．cos20°cos3°＋sin20°sin3°C．sin20°sin3°－cos20°cos3°D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°【解析】cos17°＝cos(20°－3°)＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.【答

案】B2．下列关系中一定成立的是()A．cos(α－β)＝cosα－cosβB．cos(α－β)＜cosα＋cosβC．cos(π2－α)＝sinα-8-D．cos(π2＋α)＝sinα【解析】由两角差的余弦公式知A不正确；令α＝β＝π2，知B不正确；由诱

导公式可知C正确，D不正确．【答案】C3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.【解析】原式＝cos(－40°)cos20°＋sin(－40°)sin20°＝cos(－40°－20°)＝cos(－6

0°)＝cos60°＝12.【答案】124．设α∈(0，π2)，若sinα＝45，求2cos(α－π4)的值．【解】∵α∈(0，π2)，sinα＝45，∴cosα＝1－sin2α＝1－452＝35，∴2cos(α－π4)＝2(

cosαcosπ4＋sinαsinπ4)＝2(35×22＋45×22)＝75.课后检测一、选择题1．(2013·宣城高一检测)cos80°·cos35°＋sin80°·cos55°的值是()A.22B．－22C.12D．－12【解析】cos80°·cos35°＋sin

80°·cos55°＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.【答案】A2．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是()A．cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝

cos60°B．cos75°＝cos45°cos(－30°)＋sin45°sin(－30°)C．sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos45°-9-D．cos(α－π6)＝12cosα＋32s

inα【解析】cos(α－π6)＝32cosα＋12sinα.【答案】D3．cos15°的值为()A.6＋24B.6－24C.6＋22D.6－22【解析】cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°

＋sin45°·sin30°＝64＋24＝6＋24.【答案】A4．已知钝角α、β满足cosα＝－35，cos(α＋β)＝－513，则cosβ等于()A.3365B．－3365C.5475D．－5475【解析】∵α、β为钝角∴π<α＋β<2π，由cosα＝－35得sinα＝45

.又∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝－1213，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝(－513)×(－35)＋(－1213)×45＝－3365.【答案】B5．已知si

nα＋sinβ＝45，cosα＋cosβ＝35，则cos(α－β)的值为()A.925B.1625C.12D．－12【解析】由已知得(sinα＋sinβ)2＝1625，①(cosα＋cosβ)2＝925，②-10-①＋②得：2＋2sinα·si

nβ＋2cosα·cosβ＝1，∴cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝－12，即cos(α－β)＝－12.【答案】D二、填空题6．已知cosα＝32，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解

析】cos(α－π4)＝cosα·22＋sinα·22＝32·22＋12·22＝6＋24.【答案】6＋247．已知sinα＝－13，α∈(π，32π)，cosβ＝－45，β∈(π2，π)，则cos(α－β)＝________.【解

析】∵sinα＝－13，α∈(π，32π)，∴cosα＝－1－sin2α＝－232.又cosβ＝－45，β∈(π2，π)，∴sinβ＝1－cos2β＝35.故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsi

nβ＝－232×(－45)＋35×(－13)＝82－315.【答案】82－3158．(2013·泰安高一检测)已知cos(α＋30°)＝1213，30°＜α＜90°，则cosα＝________.【解析】∵30°＜α＜90°

，∴60°＜α＋30°＜90°，又cos(α＋30°)＝1213，∴sin(α＋30°)＝1－12132＝513.∴cosα＝cos[(α＋30°)－30°]＝cos(α＋30°)cos30°＋sin(α＋30°)sin30°＝1213×

32＋513×12＝123＋526.【答案】123＋526-11-三、解答题9．已知cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，求cos(α－β)．【解】由cosα－cosβ＝12，两边平方得(cosα－cos

β)2＝cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝14.①由sinα－sinβ＝－13，两边平方得(sinα－sinβ)2＝sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝19.②①＋②得2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝

1336.∵cosαcosβ＋sinαsinβ＝5972，∴cos(α－β)＝5972.10．已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cosβ的值．【解】∵α∈(0，π2)

，tanα＝43，∴sinα＝43cosα①sin2α＋cos2α＝1②由①②得sinα＝437，cosα＝17.∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos

α＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.∴cosβ＝12.11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．【解】∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，-12-∴

sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×(－45)＋(－35)×35＝－1.∵π2<α－β<π

，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.【教师备课资源】1．向量及三角形知识综合应用【典例】已知向量m＝(cosB2，12)与向量n＝(12，cosB2)共线，其中A，B，C是△ABC的内角．(1)求角B的大小；(2)若cosC＝35，求cosA的值．【思

路探究】(1)根据向量共线求出cosB2的值，进而求角B.(2)将cosA转化为cos(π3－C)进行求解．【自主解答】(1)∵向量m＝(cosB2，12)与向量n＝(12，cosB2)共线，∴cosB2c

osB2＝14，∴cosB2＝±12，又0<B<π，∴B2＝π3，即B＝23π.(2)由(1)知A＋C＝π3，∴A＝π3－C，∵cosC＝35，∴sinC＝45，∴cosA＝cos(π3－C)＝cosπ3cosC＋sinπ3sinC＝3＋4310

.-13-规律方法1．利用向量共线的条件得到cosB2的值是解决本题的关键．2．解决此类问题除了应用向量的有关知识以外，还要注三角形中的一些常用结论，如角的范围及内角和定理等．变式训练已知向量a＝(sinθ，－

2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0＜φ＜π2，求角φ的值．【解】(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2c

osθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，则cos2θ＝15，sin2θ＝45.又∵θ∈(0，π2)，∴sinθ＝255，cosθ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(c

osθcosφ＋sinθsinφ)＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，∴cosφ＝sinφ，tanφ＝1.又0<φ<π2，故φ＝π4.2．知识拓展两角差的余弦公式(1)公式的推导方法探讨教科书中给出了两种推导公式的方法．方法一是借助于单位圆中的三角

函数线和平面几何的有关知识，该法技巧性较强，学生不易想到．方法二是借助于上一章《平面向量》中的“两个向量的数量积”的有关知识，由于只是寻求角之间的关系，与向量的长度无关，故可选取单位向量，但要注意两个向量的数量积中两个向量的夹角的取值范围．(2)两角差的余弦公式的推导-

14-①如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ，sinβ)．由向量数量积的概念，有OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·co

s(α－β)＝cos(α－β)．综合向量数量积的坐标表示，有OA→·OB→＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ.于是有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(*)②由以上的推导过程可知，

α、β是任意角，则α－β也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，(*)中的α－β∈[0，π]．为此，我们讨论如下：由于α－β是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π]，使cosθ＝cos(α－β)．a．若θ∈[0，π)，则OA→·OB→

＝cosθ＝cos(α－β)．b．若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈(0，π]，且OA→·OB→＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．由以上的讨论可知：对于任意的α、β，都有cos(α－β)＝cosα

cosβ＋sinαsinβ.[C(α－β)](3)公式的记忆右端为α、β的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦．