【文档说明】湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(17)页，641.240 KB，由管理员店铺上传

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常德市一中高二第二学期第一次月考数学试卷满分：150分时量：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的.1.求2234AA+的值为（）A.12B.18C.24D

.30【答案】B【解析】【分析】利用排列数的计算方法即可得解.【详解】2234AA324318+=+=.故选：B.2.已如()1nx+的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（）A.92B.102C.112D.122【答案】B【解析】【分析】根据

二项式系数的单调性可得10n=，即可由二项式系数和公式求解.【详解】()1nx+的展开式中第6项的二项式系数为5Cn，由于只有5Cn最大，所以10n=，故二项式系数之和为102，故选：B3.下列命题正确的是（）A.数据1,1,2,4,5,6,8,9−的中位数是5B.若随机变量X满足()2

DX=，则()31DX−=C.已知随机变量1,2XBn，若()219EX+=，则4n=D.若随机变量()23,,(2)0.62XNPX=，则(34)0.12PX=【答案】D【解析】【分析】对于A，根据中位数分析运算；对于B，根据随机变量方差的性质求解判断；对

于C，根据二项分布的期望以及期望的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断．【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，所以中位数应该是第四个与第五个的平均数45922+=，故A不正确；对于选项B，随机变量X满足()2DX=，则()()()2312DXDX−=−=，故B不正确；对于选项C

，因为1,2XBn，则()()121212192EXExn+=+=+=，则8n=，故C不正确；对于选项D，因为随机变量2~(3,)XN，由正态曲线的对称性可得：(4)(2)10.620.38PXPX==−=，则(24)120.380.24PX

=−=，所以(34)0.12PX=，故D正确.故选：D．4.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3x=，3.5y=，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A.0.42.3yx=+B.22.4yx=−C.2

9.5yx=−+D.0.34.4yx=−+【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.5.方程12348xxx

x+++=的正整数解的个数为（）A.56B.35C.70D.66【答案】B【解析】【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可．【详解】原问题相当于将8个相同的小球

装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有37765C35321==种．故选：B.6.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同

色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（）A.27B.728C.37D.1956【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】从盒中任取1球，是红球记为1A，黑球记为2A，白球记为3A，则1A，2A，3A彼此互斥，设第二次抽

出的是红球记为事件B，则()127PA=，()237PA=，()327PA=，()13|8PBA=，()21|4PBA=，()31|4PBA=，()()()()()()()1122332331212|||7874747PBPBAPAPBAPAPBAPA=++=++=，故选：A.7.四

根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）A.12600B.6000C.8200D.12000

【答案】A【解析】【分析】由题意，转化为排列中部分元素定序排列即可.【详解】根据题意，如图，将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列，其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可，

则有1010234234A12600AAA=（种）排列方法，则有12600（种）不同打法，故选：A．8.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中任何一人，下列说法正

确的是（）A.2次传球后球在丙手上的概率是12B.3次传球后球在乙手上的概率是14C.11次传球后球在甲手上的概率是1011132−D.n次传球后球在甲手上的概率是11132n−−【答案】C【解析】【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，

再利用古典概率公式计算，即可判断A，B；记nA表示n次传球后球在甲手中的事件，()nnPPA=，利用相互独立事件概率及条件概率探求1nP+与nP的关系，再借助等比数列求解作答，从而可判断C，D．【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为

：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是14，故A错误；的第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在

乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为38，故B错误；设n次传球后球在甲手上的事件记为nA，则有111nnnnnAAAAA+++=+，令()nnpPA=，则()()1110,2nnnnPAAPAA++==∣∣，于是得()()()()()()1111012nn

nnnnnnnPAPAPAAPAPAApp+++=+=+−∣∣，故()1112nnpp+=−，则1111323nnpp+−=−−，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即10p=，则有1113

3p−=−，数列13np−是以13−为首项，12−为公比的等比数列，所以1111332nnp−−=−−，即111132nnp−=−−，所以11次传球后球在甲手上的概率是101111132p=−−=1011132

−，故C正确；故D错误.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.9.身高各不相同的六位同学ABCDEF、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B.A与C同学不相邻，共有5424AA种站法C.A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D.A不

在排头，B不在排尾，共有504种站法【答案】ABD【解析】【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.【详解】对于A，6个人全排列有66A种方法，A、C、D全排列有33A种方

法，则A、C、D从左到右按高到矮的排列有6633A120A=种方法，A正确；对于B，先排列除A与C外的4个人，有44A种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有25A种方法，则共有44A25A种方法，B正确；对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，

将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A种方法，则共有442A48=种方法，C错误；对于D，6个人全排列有66A种方法，当A在排头时，有55A种方法，当B在排尾时，有55A种方法，当A在排头且B在排尾时，有44A种方法，则A不在排头，

B不在排尾的情况共有6546544A2AA50−+=种，D正确.故选：ABD10.将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，

则（）A.事件A与B相互独立B.事件A与C不相互独立C.()512PBA=∣D.()512PCA=∣【答案】BD【解析】【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,PAPBPCPABPAC，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名

医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有2343CA36=个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为322332ACA12+=，则()121363PA==，同理()()13PBPC==，事件AB含有的基本事件数为22A

2=，则21()3618PAB==，事件AC含有的基本事件数为211222CCC5+=，则()536PAC=，对于A，()()()19PAPBPAB=，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，()()()

19PAPCPAC=，即事件A与C相互不独立，B正确；对于C，()()()1|6PABPBAPA==，C不正确；对于D，()()()5|12PACPCAPA==，D正确.故选：BD11.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任

取一个球交换放入另一口袋，重复()*Nnn次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为nX，恰有1个黑球的概率为np，恰有2个黑球的概率为nq，则下列结论正确的是（）A.21627p=，2727q=B.数列

21nnpq+−是等比数列C.数列21nnpq+−是等比数列D.nX的数学期望()()*11N3nnEXn=+【答案】ACD【解析】【分析】利用已知条件求出123p=，113q=，推

出22,pq即可判断选项A；推出11293nnpp+=−+，11239nnnqqp+=+得到()11121213nnnnpqpq+++−=+−说明数列21nnpq+−是等比数列，再利用期望的公式求解即可判断.【详解】由题知，123p=，113q=，且()1222112121333

33393nnnnnnpqppqp+=+++−−=−+，11211233339nnnnnqqpqp+=+=+；则2112169327pp=−+=，2112179327qpq=+=；故A正确；由上可得1112223

33nnnnpqpq+++=++，故()11121213nnnnpqpq+++−=+−，则数列21nnpq+−是等比数列，故B错误，C正确；且1213nnnpq+−=；则()()1120113nnnnnnEXpqpq=++−−

=+，故D正确.故选:ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一个22列联表中，通过数据计算28.325=，则这两个变量间有关可能性为________．参考表格：()20Px0.050.0250.0100.0010x3.8415.0246.63510.

828【答案】99%##0.99【解析】【分析】根据独立性检验的知识确定正确答案.详解】由于28.3256.635=，所以两个变量之间有关系的可能性为99%.故答案为：99%13.()521xx−+的展开式中3x的系数为____________【答案】30−【解析】【分析

】利用组合知识求解含3x的项即可.【详解】()521xx−+可以看作5个21xx−+相乘，利用组合知识可知，展开式中含3x项为()3325C1x−，()121354CC1xx−，的【的合并同类项为()3325C1x−+()121354CC1xx−=330x−.故答案为：30−14.已

知数列na共有10项，且1,2,3na，若12310aaaa，则符合条件的不同数列有__________个．【答案】66【解析】【分析】根据题意，分na的值有1种，2种以及3种讨论，结合隔板法代入计算，即可得到结果.【详解】若na的值只有1种

可能，则符合条件的不同数列有3个，若na的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有2139CC27=个，若na的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有29C36=个，故共有66个符

合条件的不同数列．故答案为：66四､解答题：15.假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关统计资料如表所示：使用年限x/年23456维修费用y/万元2.23.85.56.57（1）求线性回归方程ybxa=+$$$；（2）估计当

使用年限为10年时，维修费用是多少？()()()112211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−．【答案】（1）1.230.08yx=+（2）估计当使用年限为10年时，维修费用是12.38万元【解析】【

分析】（1）由已知直接利用最小二乘法求解；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取10x=求解y值即可．【小问1详解】依题意可得2345645x++++==，2.23.85.56.5755y++++==，5122.233.845.556.567112.3iiix

y==++++=，522222212345690iix−=++++=，∴112.35451.2390516b−==−，51.2340.08a=−=，∴线性回归方程为1.230.08

yx=+；【小问2详解】在（1）中求得的线性回归方程中，取10x=，可得1.23100.0812.38y=+=，即估计当使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．16.某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定

至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算

均值；（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．【答案】（1）分布列见解析；期望为2（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果.（2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至

少正确完成2题的概率即可得出结论.【小问1详解】设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是1,2,3．124236CC1(1)C5P===，214236CC3(2)C5P===，304236CC1(3)C5P===，所以

的分布列为：123P153515131()1232555E=++=．【小问2详解】设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知23,3B，所以30321(0)C1327P==−=，1213222(1)C1339P==−=，21

23224(2)C1339P==−=，33328(3)C327P===．所以的分布列为：0123P12729498272()323E==．则()()2E

E==，2221312()(12)(22)(32)5555D=−+−+−=，222()31333D=−=，314(2)555P=+=，4820(2)92727P=+=．所以()()DD，(2)(2)PP

，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强．17.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球

7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P；第1次摸到红球的概率为2P；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概

率为3P；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P.求1234,,,PPPP；（3）对于事件,,ABC，当()0PAB时，写出()()()(),,,PAPBAPCABPABC∣∣的等量关系式，并加以证明.【答案

】（1）710（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想()()()()PABCPAPBAPCAB=，由条件概率公

式证明即可.【小问1详解】记事件“第i次摸到红球”为()1,2,3,,10iAi=，则第2次摸到红球的事件为2A，于是由全概率公式，得()()()()()2121121||PAPAPAAPAPAA=+7237710310910=+=.【小问2详解】由已知得()371

123310A7A24PPAAA===，()21710PPA==，()()()21273212110A107102|A71573PAAPPAAPA=====，()()()1234312127155|2478PAAAPPAAAPAA===

=.【小问3详解】由（2）可得1234PPPP=，即()()()()123121312||PAAAPAPAAPAAA=，可猜想：()()()()PABCPAPBAPCAB=,证明如下：由条件概率及()0()0,PA

PAB，得()()()|PABPBAPA=，()()()|PABCPCABPAB=，所以()()()()()()()()()PABPABCPAPBAPCABPAPABCPAPAB==.18.某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百

分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布()2,N.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在()3,3−+之外的次数，求()1PX及X的数学期望：（2）一天内的

抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在()3,3−+之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：次数12345678910碳含量（%）0.310.320.340.310.300.31

0.320.310.330.32经计算得，()1010211110.317,0.0111010iiiixxsxx=====−=，其中ix为抽取的第i次的碳含量百分比()1,2,,10i=L.（i）用样本平均数x作为

的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？（ii）若去掉1x，剩下的数的平均数和标准差分别记为11,，试写出1的算式（用11,,,xsx表示1）.附：若随机变量Z服从正态分布()2,N，则(33)0.9974PZ

−+=.100.99740.9743.【答案】（1）0.0257，0.026（2）（i）不需要（ii）()22221111099xsx=+−−【解析】【分析】（1）由公式()()110PXPX=−=结合已知即可求出()1PX，由二项分布的期望公式即

可求出()EX.（2）先求出ˆˆˆˆ(3,3)(0.284,0.350)−+=，对比表中数据即可判断是否需要对当天的生产过程进行检查，由样本平均数和方差的计算公式推导即可得出()22221111099xsx=+−−.【小问

1详解】由已知得：抽取一次碳含量在()3,3−+之内的概率为0.9974，所以()()1011010.997410.97430.0257PXPX=−==−=−=，又碳含量在()3,3−+之外的概率为0.0026，故()10,0.0026XB,因此

()0.026EX=.【小问2详解】由0.317,0.011xs==得,的估计值为ˆˆ0.317,0.011==，所以ˆˆˆˆ(3,3)(0.284,0.350)−+=，由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在()ˆˆˆˆ3,3−+之内，因此不需要对当天的生产过程进行

检查.若去掉1x，剩下的数据的标准差()()101022112211199iiiixxxx==−−+==−()()()()1022112129iiixxxxxx==−+−+−−

()()()922111221109299iixxsxxxx=−−+−−=−+()()()2221121210199xxxxs=−−−−−+()()1222221112192019xxxxxxs=+−−−−+(

)2222111110120229999sxxxxx=+−−+−++又注意到()1111112022229209999xxxx−++=−+++=，所以()()222210211211109199iixxs

x=−−==+−.19.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m()0m除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为121,,,,kkaaaa−()12kaaa.（1）当4k=时，若正

整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；（2）当4k时，若21321,,,kkaaaaaa−−−−构成等比数列，求正整数a；（3）记12231kkAaaaaaa−=+++，求证：2Aa.【答案】（1）8（2）12kaa−=()4k≥（3）证明见解析【解析】【分析】（

1）由题意可知8a=时符合题意；（2）由题意可得11a=，1223,,kkkaaaaaaaa−−===，根据等比数列的定义可得3212112kkkkaaaaaaaa−−−−−=−−，进而232aa=，则21321

,,,kkaaaaaa−−−−为212212222,,,kkaaaaaa−−−−−，即可求出a；（3）由题意可得1211,,,,kkikiaaaaaaaaa−+−===，()1ik，则22212112

kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，结合放缩法和裂项求和法即可证明【小问1详解】当4k=时,正整数a的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为8的所有正约数，即8a=.【小问2详解】由题意可知11a=，1223

,,kkkaaaaaaaa−−===，.因为4k，题意可知3212112kkkkaaaaaaaa−−−−−=−−，所以3222123aaaaaaaaaaa−−=−−，化简可得223223()(1)aaaa−=−，所以2

3232()1aaaa−=−，因为*3aN，所以*3221aaa−−N，因此可知3a是完全平方数.由于2a是整数a的最小非1因子，3a是a的因子，且32aa，所以232aa=，所以21321,,,kkaaaaaa−−−−为21221222

2,,,kkaaaaaa−−−−−，所以12kaa−=()4k.【小问3详解】由题意知1211,,,,kkikiaaaaaaaaa−+−===，()1ik，所以22212112kkkkaaaA

aaaaaa−−−=+++，因为121121212111111111,,kkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−=−=−，所以22221211212112111()kkkkkkkkaaaAaaaaa

aaaaaaaa−−−−−−=+++=+++2212231111111111()()kkkaaaaaaaaaa−−+−++−=−，因为11a=，kaa=，所以1111kaa−，所以22111kAaaaa−，即2Aa.【点睛】关键点点睛：在第二问的解答

中，在得到232321aaaaa−=−后，要能根据*3aN，推得*3221aaaa−−N，继而得出232aa=，这是解决问题的关键.第三问的证明中，难点在于要能注意到1211,,,,kkikiaaaaaaaaa−+−===，()1ik

，从而可得22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，然后采用裂项求和的方法进行化简进而证明结论.