【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第10章 第6节 独立重复试验与二项分布 含解析【高考】.doc，共(12)页，322.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-独立重复试验与二项分布[考试要求]1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．1．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的

条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)＞0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．(3)如

果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1

,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；③各次试验是相互独立

的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．-2-

[常用结论]牢记并理解事件中常见词语的含义(1)A，B中至少有一个发生的事件为A＋B；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为AB；(4)A，B恰有一个发生的事件为AB＋AB；(5)A，B至多一个发生的事件为AB＋AB＋AB.一、易错易

误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．()(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立．()(4)二项分布是一个概率分布列，

是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生

1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A.12B.25C.35D.34D[根据题意，在第1次抽到文科题后，还剩4道题，其中有3道理科题，则第

2次抽到理科题的概率P＝34，故选D.]2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16-3-B[因为两人加工成

一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝23×14＋13×34＝512.]3．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()A.80243B.8081C.163243D.163729A[用X表示发芽的粒数

，则X～B5，23，则P(X＝3)＝C35×233×1－232＝80243，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.]4．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件

，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件数，则X服从二项分布，记作________．X～B(100,0.02)[根据题意，X～B(100,0.02)．]考点一条件概率求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)P(A)，这是求条件概率的通法．(2

)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝

“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12B[法一：(直接法)P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝P(

AB)P(A)＝11025＝14.-4-法二：(缩小样本空间法)事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝

n(AB)n(A)＝14.]2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0.72[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼

苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]3．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形

区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(AB)＝________，P(A|B)＝________.1914[如图，n(Ω)＝9

，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19，P(A|B)＝n(AB)n(B)＝14.]点评：判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但

已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．考点二相互独立事件的概率求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的

发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[典例1](1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是-5-

0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名

运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．①求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；②记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．(1

)C[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.](2)[解]①记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事

件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(ABC)＝1－13×14×25＝2930.②由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝P(ABC)＝13×14×25＝130；P(ξ＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(A

BC)＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360；P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×34

×35＝310.-6-所以ξ的分布列为ξ0123P1301360920310点评：含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解的关键在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．[跟进训练](2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同

学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛

，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．[解](1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行

五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、-7-轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.考点三独立重复试验与二项分布二项分布的实际应用问题，主要是指与独立重

复试验中的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：(1)定型，“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否

只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的

概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．独立重复

试验的概率[典例2－1](1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．(2)某射手每次射击

击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．①假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；②假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；③假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加

1分；若3次全击-8-中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．(1)516[由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C35123·122＝C3

5125＝516.](2)[解]①设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C25×232×1－233＝40243.②设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,

2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＝233×132＋13×

233×13＋132×233＝881.③设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝133＝127；P(ξ＝1)＝P(A1A2A3

)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝23×132＋13×23×13＋132×23＝29；P(ξ＝2)＝P(A1A2A3)＝23×13×23＝427；P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝232×13＋13×

232＝827；P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝233＝827.所以ξ的分布列是ξ01236-9-P12729427827827点评：在求解过程中，本例(2)中②常因注意不到题设条件“有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”，盲目套

用公式致误；本例(2)中③常因对ξ的取值不明，导致事件概率计算错误．二项分布[典例2－2]某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的

频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列

．[解](1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝C228C240＝6

3130，P(X＝1)＝C112C128C240＝2865，P(X＝2)＝C212C240＝11130，∴X的分布列为-10-X012P63130286511130(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可

看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B2，310，P(Y＝k)＝Ck21－3102－k310k，所以P(Y＝0)＝C02·7102＝491

00，P(Y＝1)＝C12·310·710＝2150，P(Y＝2)＝C22·3102＝9100.∴Y的分布列为Y012P4910021509100点评：(1)注意随机变量满足二项分布的关键词：①视频率为概率；②人数很多、数量很大等．(2)求概率的过程，就是求排列

数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做到：①分清超几何概率；条件概率；相互独立事件的概率；独立重复试验.②判断事件的运算和事件，积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相

乘事件．[跟进训练]1．袋子中有1个白球和2个红球．-11-(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列

．[解](1)X可能取值1,2,3.P(X＝1)＝1A13＝13，P(X＝2)＝A12×1A23＝13，P(X＝3)＝A22A33＝13.所以X分布列为X123P131313(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝k)＝

23k－1×13，k＝1,2,3,4，P(X＝5)＝234.故X分布列为X12345P13294278811681(3)因为X～B5，13，P(X＝k)＝Ck513k235－

k，k＝0,1,2,3,4,5.所以X的分布列为X012345P2355×243510×233510×22355×2351352．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教

师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满-12-意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(

学生人数很多)任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．[解](1)设Ai表示所抽取的3人中有i个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A，则P(A)＝1－P(A0)＝1－C312C316＝1728.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3

，由已知得X～B3，14，∴P(X＝0)＝343＝2764，P(X＝1)＝C13×14×342＝2764，P(X＝2)＝C23×142×

34＝964，P(X＝3)＝143＝164.∴X的分布列为X0123P27642764964164∴EX＝3×14＝34.