【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第10章 第2节 二项式定理 含解析【高考】.doc，共(9)页，310.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-二项式定理[考试要求]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开

式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，Crn与Cn－rn的关系是Crn＝Cn－rn.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大

，最大值为.3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[常用结论](1)C0n＝1；(2)C

nn＝1；(3)Cmn＝Cn－mn；(4)Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数

最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)通项Tr＋1＝Crnan－rbr中的a和b不能互换．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√-2-二、教材习题衍生

1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6B．－6C．24D．－24A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C24＝6.故选A.]2．二项式12x－2y5的展开式中x3y2的系数是()A．5B．－

20C．20D．－5A[二项式12x－2y5的通项为Tr＋1＝Cr5·12x5－r(－2y)r.根据题意，得5－r＝3，r＝2，解得r＝2.所以x3y2的系数是C25123×(－2)2＝5.故选A.]3．C02019＋C1

2019＋C22019＋…＋C20192019C02020＋C22020＋C42020＋…＋C20202020的值为()A．1B．2C．2019D．2019×2020A[原式＝2201922020－1＝22019

22019＝1.故选A.]4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．8[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，则a0－a1＋a2－

a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]考点一二项式展开式的通项公式的应用形如(a＋b)n的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：(1)求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Crna

n－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．(2)列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．-3-(3)求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．[典例1－1](1)x2＋2x5的

展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的

个数是________．(1)C(2)－2(3)1625[(1)Tr＋1＝Cr5(x2)5－r·2xr＝Cr52rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.(2)

ax2＋1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r·x＝Cr5a5－r·，令10－52r＝5，得r＝2，所以C25a3＝－80，解得a＝－2.(3)由题意，(2＋x)9的通项为Tr＋1＝Cr9(2)9－rxr(r＝0,1,2，…，9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝C09(2

)9＝162；若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2,T4,T6,T8,T10共5个项．]点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．

形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后

展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．

[典例1－2](1)(2020·全国卷Ⅰ)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()-4-A．5B．10C．15D．20(2)(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3(3)若(x2－

a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A．13B．12C．1D．2(1)C(2)D(3)D[(1)因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cr5x5－ryr，所以x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的

系数为C35＋C15＝15.故选C.(2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取1x2项得x2×1x2×C45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选

D.(3)由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝Ck10x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝

2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.]点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产

生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．形如(a＋b＋c)n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个

因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的-5-量．[典例1－3](1)将x＋4x－43展开后，常数项是________．(2)x2－2x＋y6的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)

(1)－160(2)－120[(1)x＋4x－43＝x－2x6展开式的通项是Ck6(x)6－k·－2xk＝(－2)k·Ck6x3－k.令3－k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.(2)

x2－2x＋y6表示6个因式x2－2x＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－2x，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是C36C23×(－2)＝20

×3×(－2)＝－120.]点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．[跟进训练]1．若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为()A．±2

B．12C．－2D．±12A[x2＋1ax6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·1axk＝Ck61akx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C46·1a4＝1516，即1a4＝116，解得a＝±

2，故选A.]2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4B[(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．于是-6-(

1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3.]3．x－13x－y6的展开式中含xy的项的系数为()A．30B．60C．90D．120B[展开式中含xy的项来自C

16(－y)1x－13x5，x－13x5展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCr5x，令5－43r＝1⇒r＝3，x－13x5展开式中x的系数为(－1)3C35，所以

x－13x－y6的展开式中含xy的项的系数为C16(－1)C35(－1)3＝60，故选B.]考点二二项式系数的和与各项的系数和问题(1)系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键

点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．(2)二项

式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.[典例2](1)在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋

a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．-7-(1)C(2)－3或1[(1)令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以

x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rx，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90，故选C.(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1

＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋

m)＝3，∴m＝－3或m＝1.]点评：(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．[跟进训练]1．在二项式(1－2x)n

的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960B．960C．1120D．1680C[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tr＋1＝Cr8(

－2x)r＝Cr8(－2)rxr，所以T5＝C48(－2)4x4，其系数为C48(－2)4＝1120.]2．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝______.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2

＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，-8-即展开式中x的奇数次幂项的系数之

和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]考点三二项式系数的性质二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A

1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来，即得．二项式系数的最值问题[典例3－1]设m为正整数，()x＋y2m展开式的二项式系数的最大值为a，()x＋y2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若1

5a＝8b，则m＝________.7[()x＋y2m展开式中二项式系数的最大值为a＝Cm2m，()x＋y2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝Cm＋12m＋1，因为15a＝8b，所以15Cm2m＝8Cm＋12m＋1，即15(2m)！m！m！＝8(2m＋1)！m！(m＋1)！，

解得m＝7.]项的系数的最值问题[典例3－2]已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2x－1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．－8064－15360x4[由题意知，2

2n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C510(2x)5－1x5＝－8064.设第k＋1项的系数的绝

对值最大，则Tk＋1＝Ck10·(2x)10－k·－1xk＝(－1)kCk10·210－k·x10－2k，令Ck10·210－k≥Ck－110·210－k＋1，Ck10·210－k≥Ck＋110·210－k－1，得

Ck10≥2Ck－110，2Ck10≥Ck＋110，-9-即11－k≥2k，2(k＋1)≥10－k解得83≤k≤113.∵k∈Z，∴k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C310·27·x4＝－15360x4.]点评

：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．[跟进训练]1．二项式3x＋13xn的展

开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7D[根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13x20的展开式的通项为Tr＋1＝Cr20·(3x)20－r·1

3xr＝(3)20－r·Cr20·x，要使x的指数是整数，需r是3的倍数且0≤r≤20，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．]2．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为_______

_．C715(3x)7和C815(3x)8[由已知得Cn－2n＋Cn－1n＋Cnn＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8

＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.]