【文档说明】甘肃省会宁县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(19)页，2.176 MB，由小赞的店铺上传

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会宁四中2019-2020学年度第二学期高二级期末考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2|0,|lg21AxxxBxyx

，则集合AB（）A.10,2B.0,1C.1,12D.1,2【答案】C【解析】因为1{|01},2AxxBxx，所以1{|1}2ABxx，应选答案C．2.设,ab是两个非零向量.若命

题p：0ab，命题q：,ab夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条【答案】B【解析】【分析】结合向量数量积的定义和两个向量夹角的范围判断即可.【详解】解：若

a，b的夹角为锐角，则cos,0ab，cos,0ababab成立；若0ab，则a，b的夹角为锐角不一定成立.如//ab且同向，,0,cos,1abab0abab故选：B.【点睛】考查必要不充分条件的判断，是基础题.3.函数()||sinfxxx的图象大致是

（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图象．【详解】对于()||sinfxxx，因为()||gxx为偶函数，()sinhxx为奇函数，所以()||sinfxxx为奇函数，所以排除C，D，当0.001

x时，(0.001)|0.001|0.0010g，(0.001)sin0.0010h，所以(0.001)|0.001|sin0.0010f，所以排除B选项．故选：A.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，利用函数的奇偶性、单调性和特殊值，可排除选项，属于基础题．4.

函数2()24fxxax在[2，5]上单调，则a的取值范围（）A.[2,5]B.[2,)C.(,5]D.(,5][2,)U【答案】D【解析】【分析】二次函数2()24fxxax的对称轴为xa，然后即可建立不等式求解.【详解】因为二次函数2()24f

xxax的对称轴为xa，且在[2，5]上单调所以2a或5a，即2a或5a故选：D【点睛】本题考查的是二次函数的单调性，较简单.5.函数2lg23yxx的单调递增区间为（）A.,1B.1

,C.3,D.1,3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】设223gxxx，可得函数gx在(,1)单调递减，在(1,)单调递增，又由函数2lg23yxx

，满足2230xx，解得1x或3x，根据复合函数的单调性，可得函数fx的单调递增区间为3,.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，二次函数图象与性质，以及复合函数的单调性的判

定，其中解答中熟记对数函数和二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6.已知2ln2a，53b，50.3c，则()A.bcaB.abcC.cabD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质

可知0a,1b,01c,即可得到结果【详解】由题,2lnln102a,10553331b,5000.30.31c,所以acb,故选:D【点睛】本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是

解题关键7.函数542xfx的零点所在的区间是()A.1,2B.2,3C.3,4D.0,1【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和10f,20f得到答案.【详解】fx是单调递增函数,且3102f,

9204f,所以fx的零点所在的区间为1,2故选：A【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.8.函数()xfxxe在[0,4]x上的极大值为（）A.1eB.0C.44eD.22e【答案】

A【解析】【分析】先算出1()xxfxe，然后求出()fx的单调性即可【详解】由()xfxxe可得1()xxfxe当0,1x时()0fx，()fx单调递增当1,4x时()

0fx，()fx单调递减所以函数()xfxxe在[0,4]x上的极大值为11fe故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.9.设为锐角，若4cos()65，则sin(2)

3的值为（）A.2425B.1225C.1225D.2425【答案】D【解析】【分析】由同角间的三角函数关系求得sin()6，然后由正弦的二倍角公式求值．【详解】∵为锐角，4cos()65，∴(0)62，，∴23sin

()1cos()665，则3424sin(2)2sin()cos()23665525，故选：D.本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式，应用平方关系求函数值需要确定角的范围后再求值

．10.已知ABC中，(2,8)AB，(3,4)AC，若BMMC，则AM的坐标为（）A.1(,6)2B.5(,2)2C.(1,12)D.(5,4)【答案】A【解析】【分析】根据(2,8)AB，(3,4)AC，可得BC；由BMMC可得M为BC

中点，即可求得BM的坐标，进而利用AMABBM即可求解．【详解】因为(2,8)AB，(3,4)AC所以(5,4)BCACAB因为BMMC，即M为BC中点所以15,222BMBC

所以512,8,2,622AMABBM所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．11.已知等比数列{}na满足12a，234aa，则456aaa

（）A.-48B.48C.48或-6D.-48或6【答案】D【解析】由题意，2223124aaaqqqq，得2q或1，当2q时，45616326448aaa，当1q时，4562226aaa，故选D．12.如图，已知P是矩形

ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点.若45PDA，则EF与平面ABCD所成角的大小是（）A.90B.60C.45D.30°【答案】C【解析】【分析】取

PD中点G，证明四边形AEFG是平行四边形，则EF与平面ABCD所成角就是AG与平面ABCD所成的角，在RtPDA△中易求.【详解】解：取PD中点G，连接AG、FG，∵EF分别为AB、PC的中点，∴12AEAB，/

/GFDC且12GFDC，又在矩形ABCD中//ABCD且ABCD，∴//AEGF且AEGF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴//AGEF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，∵PA平面ABCD，AD平面A

BCD，PAAD过G作GHAD，垂足为H，GH平面ABCD,则//GHPA，∴GH平面ABCD，∴GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，∵45PDA，G为PD的中点，∴45GAH，即E

F与平面ABCD所成的角为45.故选：C.【点睛】考查线面角的求法，通过平移直线转化成易求的线面角，基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a________【答案】43【解析】【分析】求出

圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【详解】圆2228130xyxy的圆心坐标为：(1,4)，故圆心到直线10axy的距离2|41|11ada，解得：43a，故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式．14.中国有十二生肖，

又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个

吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）【答案】50【解析】【分析】本题首先可以根据题意按甲同学选择的两种不同的情况进行讨论，然后确定乙、丙的选法数目，最后确定每一种情况下的选法数目并相加即可得出结果.【详解】若甲同学选择牛，则乙

有2种选法，丙有10种选法，选法有1121020CC=种；若甲同学选择马，则乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1131030CC=种，故共有203050种选法，故答案为：50.【点睛】本题主要考查排列组合，根据题意分情况进行讨论是解决本题的关键，考查分类加法计数原理，考查计

算能力与推理能力，是简单题.15.设m，n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：①若mn，m，则n；②若m，//nm，则n；③若//n，m，则//nm；④若//m，//n，则mn；其中真命题是______．（写出所有真命题的序号）【答案】②；【解析】【分

析】对①，n不一定垂直；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线,nm可能异面；对④，,nm可能平行.【详解】如图所示：正方体1111ABCDABCD中，对①，取直线n为1AA，直线m为CD，平面为面11ABCD，显然n不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质

，故②正确；对③，直线,nm可能异面，故③错误；对④，取直线,nm分别为直线11AB、11CD，为平面ABCD，显然,nm平行，故④错误；故答案为：②.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.16.二项式612nxx的展

开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______.【答案】512【解析】【分析】二项式系数的和为2256n，可得8n，写出通项2341812kkkkTCx，可知其中有理项为3项，展开式共有9项，用古典概型求出共有99A种

排法，符合有理项要求互不相邻的有6367AA种排法，可求出概率.【详解】因为二项式系数的和为2256n，解得8n，所以二项式8612xx的展开式的通项为238418861122kkkkkkkTCxCxx

，其中当0k，3，6时为有理项.因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有99A种排法，其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻，可先将6项非有理项全排列，共66A种排法，然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中

，共37A种插法，所以有理项都互不相邻的概率为636799512AAPA.故答案为：512【点睛】本题考查了二项式系数、二项展开式、古典概型，插空法等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想

，属于中档题目.三、解答题：17.在ABC中，内角所对的边分别为a,b,c，已知sin23sinaBbA.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若1cos3A，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）6B；（Ⅱ）2616.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正

弦定理，将边化为角：2sinsincos3sinsinABBBA,再根据三角形内角范围化简得，6B；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.试题解析：（

Ⅰ）解：在ABC中，由，可得，又由，得，所以，得6B；（Ⅱ）解：由，可得，则sinsin[()]sin()CABABsin()6A.【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以

角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取

舍是解题正确的保证.18.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//ADl，利用线面垂直的判定定理证得AD平面PDC，从而得到l平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标

系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Qm，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos,nPB，即可得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以

//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC且PD平面ABCD，所以,,ADPDlPD因为CD

PDD所以l平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Qm，则有(0,1,0),

(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB，因为QB=2，所以有222(1)(01)(10)21mm设平面QCD的法向量为(,,)nxyz，则00DCnDQn，即00yxz

，令1x，则1z，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,1)n，则22222210126cos,.32310(1)111nPBnPBnPB根据直线的方向向量与

平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos,|3nPBruur所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，

利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.19.已知抛物线2Cy：＝2px焦点坐标为2,0．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点1,0B，设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的

角平分线，求证：直线l过定点．【答案】（1）2y＝8x；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求出p的值，即可得到抛物线C的方程：（2）由x轴是PBQ的角平分线，得BPBQkk，即12122()()20kxxktxxt，设直线l的方程为：ykxt，与椭圆方程

联立，利用韦达定理代入上式，化简可得tk，所以直线l的方程为：(1)ykxkkx，过定点(1,0)．【详解】（1）焦点坐标为(2,0)，22p，4p，抛物线C的方程为：28yx；（2）设直线l的方程为：ykxt，代入28yx得：222(28)0kxktxt

，设1(Px，1)y，2(Qx，2)y，12228ktxxk，2122txxk，x轴是PBQ的角平分线，BPBQkk，121211yyxx，121211kxtkxtxx，12

122()()20kxxktxxt，222282()()20tktkkttkk，整理得：0kt，tk，直线l的方程为：(1)ykxkkx，过定点(1,0)．【点睛】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.2.5PM

是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值，即2.5PM日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之

间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的2.5PM监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1

）在这15天的2.5PM日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到2.5PM监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；（3）以这15天的2.5PM日均值来估计该市下一年的空气质量情况，

则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】【分析】（1）由茎叶图从小到大找到第8个数，即为中位数；（2）由于假设记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随

机抽出2天，超标的有6天，未超标的有9天，服从超几何分布，求出分别取0,1,2的概率，列出分分列，求出数学期望；（3）先计算一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，则一年中空气质量达到一级或二级的天数为服从二项分布，根据二项分布的期

望公式求出期望．【详解】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，服从超几何分布：其中15N，6M，2n，的可能值为0,1,2，026921512035CCPC，116921518135CCPC，2069215512357CCPC，所

以的分布列为：012P1235183517121814012353575E（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则3365,5B

，33652195E，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.【点睛】本题考查了已知具体数据求中位数，超几何分布的概率公式，分布列，期望，二项分布的期望，属于中档题.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高

速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100

km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：

22nadbcKabcdacbd，其中nabcd【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）分布列见解析，数学期望65EX.【解析】【分析】（1）根据已知条件填写22列联表，计算2K的

值，由此判断有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）根据二项分布的知识求得分布列和数学期望.【详解】（1）依题意，在55名男性中，车速超过100km/h的有40人，不超过的有554015人.在45名女性中，

，车速不超过100km/h的有25人，，车速超过100km/h的有452520人.由此填写22列联表如下图所示：平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100所以22

100402515208.2497.87960404555K，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取，抽取到平均车速超过100km/h的男性

驾驶员的概率为4021005，故235XB,.所以：03032327055125PXC，12132354155125PXC，212323362

55125PXC，3033238355125PXC，所以X的分布列为：X0123P2712554125361258125所以26355EX【点睛】本小题主要考查22列联表及独立性

检验，考查二项分布，属于中档题.22.已知函数2()(1)3ln,.fxxaxaR．(1)当1a时，求()fx在点(1,(1))f处的切线方程及函数()fx的单调区间；(2)若对任意[1,e

]x，()4fx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）2(1)43ea【解析】【分析】1代入1a，求出函数fx的解析式，然后求出切线方程和单调区间2求导后分类讨论

参量的取值范围，求出最大值作比较【详解】(1)当1a时，213ln,14,fxxxf322,fxxx11f，则切线方程为411,3.yxyx即当

0,x，3220,fxxx即71,2x时，fx单调递增；当0,x，3220,fxxx即710,2x时，fx单调递减．(

2)2322322,xxafxxxx(0)x．当0a时，0fx，fx在1,e上单调递增．min14,4fxffx不恒成立．当0a时，设2223,0.gxxxax∵g()x的对称轴为12x，030,ga∴g()x在

0,上单调递增，且存在唯一00,,x使得00gx．∴当00,g()<0,xxx时，即0,fxfx在00,x上单调递减；当0,g()>0,xxx时，即0,

fxfx在0,x上单调递增．∴fx在[1，e]上的最大值maxmax1,.fxffe∴144ffe，得2134,ea解得2143e

a.【点睛】本题考查了导数的几何意义，算出切线方程，运用导数求出函数的单调区间，在证明不等式时利用导数转化为最值问题，从而得出参量的取值范围，需要掌握本题的解题方法．