【文档说明】甘肃省会宁县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(19)页，2.176 MB，由小赞的店铺上传

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会宁四中2019-2020学年度第二学期高二级期末考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2|0,|lg21AxxxBxyx，则

集合AB（）A.10,2B.0,1C.1,12D.1,2【答案】C【解析】因为1{|01},2AxxBxx，所以1{|1}2ABxx，应选答案C．2.设,ab是两个非零向量.若命题p：0ab，命题q：,ab夹角是

锐角，则命题p是命题q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条【答案】B【解析】【分析】结合向量数量积的定义和两个向量夹角的范围判断即可.【详解】解：若a，b的夹角为锐角，则cos,0ab，cos,0ababa

b成立；若0ab，则a，b的夹角为锐角不一定成立.如//ab且同向，,0,cos,1abab0abab故选：B.【点睛】考查必要不充分条件的判断，是基础题.3.函数()||sinfxxx的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分

析】根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图象．【详解】对于()||sinfxxx，因为()||gxx为偶函数，()sinhxx为奇函数，所以()||sinfxxx为奇函数，所以排除C，D，当0.001x时，

(0.001)|0.001|0.0010g，(0.001)sin0.0010h，所以(0.001)|0.001|sin0.0010f，所以排除B选项．故选：A.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，利用函数的奇偶性、单调性和特殊值，可排除选项，属于基

础题．4.函数2()24fxxax在[2，5]上单调，则a的取值范围（）A.[2,5]B.[2,)C.(,5]D.(,5][2,)U【答案】D【解析】【分析】二次函数2()24fxxax的对称轴为xa，然后即可建立不等式求解.【详解】因为二次函数2()24

fxxax的对称轴为xa，且在[2，5]上单调所以2a或5a，即2a或5a故选：D【点睛】本题考查的是二次函数的单调性，较简单.5.函数2lg23yxx的单调递增区间为（）A.,1B.1,C.3,D.1,

3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】设223gxxx，可得函数gx在(,1)单调递减，在(1,)单调递增，又由函数2lg23yxx

，满足2230xx，解得1x或3x，根据复合函数的单调性，可得函数fx的单调递增区间为3,.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，二次函数图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记对数函数和二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答

的关键，着重考查推理与运算能力.6.已知2ln2a，53b，50.3c，则()A.bcaB.abcC.cabD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质可知0a,1b,01c,即可得到结果【详解】由题,2lnln102a,10553331

b,5000.30.31c,所以acb,故选:D【点睛】本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键7.函数542xfx的零点所在的区间是()A.1,2B.2,3C

.3,4D.0,1【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和10f,20f得到答案.【详解】fx是单调递增函数,且3102f,9204f,所以fx的零点所在的区间为1,2故选：A【点睛】本题考

查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.8.函数()xfxxe在[0,4]x上的极大值为（）A.1eB.0C.44eD.22e【答案】A【解析】【分析】先算出1()xxfxe，然后求出()fx的单调性即可【详解】由()xfxxe可得

1()xxfxe当0,1x时()0fx，()fx单调递增当1,4x时()0fx，()fx单调递减所以函数()xfxxe在[0,4]x上的极大值为11fe故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值

，较简单.9.设为锐角，若4cos()65，则sin(2)3的值为（）A.2425B.1225C.1225D.2425【答案】D【解析】【分析】由同角间的三角函数关系求得sin()6，然后由正弦的二倍角公式求值．【详解】∵为锐

角，4cos()65，∴(0)62，，∴23sin()1cos()665，则3424sin(2)2sin()cos()23665525，

故选：D.本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式，应用平方关系求函数值需要确定角的范围后再求值．10.已知ABC中，(2,8)AB，(3,4)AC，若BMMC，则AM的坐标为（）A.1(,6)2B.5(,2)2

C.(1,12)D.(5,4)【答案】A【解析】【分析】根据(2,8)AB，(3,4)AC，可得BC；由BMMC可得M为BC中点，即可求得BM的坐标，进而利用AMABBM即可求解．【详解】因为(2,8)AB，(3,4)AC所以(5,4)BCACA

B因为BMMC，即M为BC中点所以15,222BMBC所以512,8,2,622AMABBM所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运

算，向量的坐标运算，属于基础题．11.已知等比数列{}na满足12a，234aa，则456aaa（）A.-48B.48C.48或-6D.-48或6【答案】D【解析】由题意，2223124aaaqqqq，得2q或1，当2q时，4561632644

8aaa，当1q时，4562226aaa，故选D．12.如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点.若45PDA，则EF与平面ABCD所成角的大小

是（）A.90B.60C.45D.30°【答案】C【解析】【分析】取PD中点G，证明四边形AEFG是平行四边形，则EF与平面ABCD所成角就是AG与平面ABCD所成的角，在RtPDA△中易求.【详解】解：取PD中点G，连接AG、FG，∵EF分别为AB、PC

的中点，∴12AEAB，//GFDC且12GFDC，又在矩形ABCD中//ABCD且ABCD，∴//AEGF且AEGF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴//AGEF，∴AG与平面ABCD所成的角

等于EF与平面ABCD所成的角，∵PA平面ABCD，AD平面ABCD，PAAD过G作GHAD，垂足为H，GH平面ABCD,则//GHPA，∴GH平面ABCD，∴GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，∵45PDA，G为PD的中点，∴45GAH，

即EF与平面ABCD所成的角为45.故选：C.【点睛】考查线面角的求法，通过平移直线转化成易求的线面角，基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a________【答案

】43【解析】【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【详解】圆2228130xyxy的圆心坐标为：(1,4)，故圆心到直线10axy的距离2|41|11ada，解得：43a，故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程

，点到直线的距离公式．14.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛

、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）【答案】50【解析】【分析】本题首先可以根据题意按甲同学选择的两种不同的情况进行讨论，然后确定乙、丙的选法数

目，最后确定每一种情况下的选法数目并相加即可得出结果.【详解】若甲同学选择牛，则乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1121020CC=种；若甲同学选择马，则乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1131030CC=种，故共有203050种选法

，故答案为：50.【点睛】本题主要考查排列组合，根据题意分情况进行讨论是解决本题的关键，考查分类加法计数原理，考查计算能力与推理能力，是简单题.15.设m，n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：①若mn，m，则n；②若

m，//nm，则n；③若//n，m，则//nm；④若//m，//n，则mn；其中真命题是______．（写出所有真命题的序号）【答案】②；【解析】【分析】对①，n不一定垂直；对②，根据线面垂直的性

质；对③，直线,nm可能异面；对④，,nm可能平行.【详解】如图所示：正方体1111ABCDABCD中，对①，取直线n为1AA，直线m为CD，平面为面11ABCD，显然n不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质，

故②正确；对③，直线,nm可能异面，故③错误；对④，取直线,nm分别为直线11AB、11CD，为平面ABCD，显然,nm平行，故④错误；故答案为：②.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题

.16.二项式612nxx的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______.【答案】512【解析】【分析】二项式系数的和为2256n，可得8n，写出通项2341812

kkkkTCx，可知其中有理项为3项，展开式共有9项，用古典概型求出共有99A种排法，符合有理项要求互不相邻的有6367AA种排法，可求出概率.【详解】因为二项式系数的和为2256n，解得8n，所以二项式8612xx的展开式的通项为238418861122k

kkkkkkTCxCxx，其中当0k，3，6时为有理项.因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有99A种排法，其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻，可先将6

项非有理项全排列，共66A种排法，然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中，共37A种插法，所以有理项都互不相邻的概率为636799512AAPA.故答案为：512【点睛】本题考查了二项式系数、二项展开式、古典概型，插空法等基本知识，考查数学运算能力和逻辑

推理能力，转化的数学思想，属于中档题目.三、解答题：17.在ABC中，内角所对的边分别为a,b,c，已知sin23sinaBbA.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若1cos3A，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）6B；（Ⅱ）

2616.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sinsincos3sinsinABBBA,再根据三角形内角范围化简得，6B；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据

两角和的正弦公式求解.试题解析：（Ⅰ）解：在ABC中，由，可得，又由，得，所以，得6B；（Ⅱ）解：由，可得，则sinsin[()]sin()CABABsin()6A.【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两

角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选

用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.18.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦

值．【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//ADl，利用线面垂直的判定定理证得AD平面PDC，从而得到l平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,

0,1)Qm，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos,nPB，即可得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为AD平面PB

C，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC且PD平

面ABCD，所以,,ADPDlPD因为CDPDD所以l平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)

Qm，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB，因为QB=2，所以有222(1)(01)(10)21mm设平面QCD的法向量为(,,)nxyz，则00DCnDQn，即00yxz

，令1x，则1z，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,1)n，则22222210126cos,.32310(1)111nPBnPBnPB根据直线的方向向量与平面

法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos,|3nPBruur所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，

涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.19.已知抛物线2Cy：＝2px焦点坐标为2,0．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点1,0B，设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若

x轴是PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．【答案】（1）2y＝8x；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求出p的值，即可得到抛物线C的方程：（2）由x轴是PBQ的角平分线，得BPBQkk，即12122()()20kxxktxxt

，设直线l的方程为：ykxt，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式，化简可得tk，所以直线l的方程为：(1)ykxkkx，过定点(1,0)．【详解】（1）焦点坐标为(2,0)，22p，4p，

抛物线C的方程为：28yx；（2）设直线l的方程为：ykxt，代入28yx得：222(28)0kxktxt，设1(Px，1)y，2(Qx，2)y，12228ktxxk，2122txxk，x轴是PBQ的角平分线，BPBQkk

，121211yyxx，121211kxtkxtxx，12122()()20kxxktxxt，222282()()20tktkkttkk，整理得：0kt，tk，

直线l的方程为：(1)ykxkkx，过定点(1,0)．【点睛】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值，即2.5PM日均值在35微克/立

方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的2.5PM监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（

1）在这15天的2.5PM日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到2.5PM监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；（3）以这15天的2.5PM日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质

量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】【分析】（1）由茎叶图从小到大找到第8个数，即为中位数；（2）由于假设记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出2天，超标的有6天，未超

标的有9天，服从超几何分布，求出分别取0,1,2的概率，列出分分列，求出数学期望；（3）先计算一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，则一年中空气质量达到一级或二级的天数为服从二项分布，根据二项分布的期望

公式求出期望．【详解】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，服从超几何分布：其中15N，6M，2n，的可能值为0,1,2，026921512035CCPC，116921518135CCPC，2069215512357CCPC，所以的分

布列为：012P1235183517121814012353575E（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则3365,5B，3365

2195E，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.【点睛】本题考查了已知具体数据求中位数，超几何分布的概率公式，分布列，期望，二项分布的期望，属于中档题.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上

行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认

为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性

且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd【答案】（1）列联表

见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）分布列见解析，数学期望65EX.【解析】【分析】（1）根据已知条件填写22列联表，计算2K的值，由此判断有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）根据

二项分布的知识求得分布列和数学期望.【详解】（1）依题意，在55名男性中，车速超过100km/h的有40人，不超过的有554015人.在45名女性中，，车速不超过100km/h的有25人，，车速超过100km/h的有452520人.由此填写22列联表如下图所示：平均车

速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100所以22100402515208.2497.87960404555K，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km

/h的人与性别有关.（2）从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取，抽取到平均车速超过100km/h的男性驾驶员的概率为4021005，故235XB,.所以：03032327055125PXC

，12132354155125PXC，21232336255125PXC，3033238355125PXC，所以X的分布列为：

X0123P2712554125361258125所以26355EX【点睛】本小题主要考查22列联表及独立性检验，考查二项分布，属于中档题.22.已知函数2()(1)3ln,.fxxaxaR．(1)当1a时，求()fx在点(1,(1))f处的切线方

程及函数()fx的单调区间；(2)若对任意[1,e]x，()4fx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）2(1)43ea【解析】【分析】1代入1a，求出函数fx的解析式，

然后求出切线方程和单调区间2求导后分类讨论参量的取值范围，求出最大值作比较【详解】(1)当1a时，213ln,14,fxxxf322,fxxx11f，则切线方程为411,3.yxyx即当0,x，3220,fxxx

即71,2x时，fx单调递增；当0,x，3220,fxxx即710,2x时，fx单调递减．(2)2322322,xxafxxxx(0)x．当0a时，0fx，fx在

1,e上单调递增．min14,4fxffx不恒成立．当0a时，设2223,0.gxxxax∵g()x的对称轴为12x，030,ga∴g()x在0,上单调递增，且存在唯一00,,x使得00gx

．∴当00,g()<0,xxx时，即0,fxfx在00,x上单调递减；当0,g()>0,xxx时，即0,fxfx在0,x上单调递增．∴fx在[1，e]

上的最大值maxmax1,.fxffe∴144ffe，得2134,ea解得2143ea.【点睛】本题考查了导数的几何意义，算出切线方程，运用导数求出函

数的单调区间，在证明不等式时利用导数转化为最值问题，从而得出参量的取值范围，需要掌握本题的解题方法．