【文档说明】湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高二上学期创高杯考试+数学+含解析.docx，共(27)页，1.909 MB，由管理员店铺上传

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创新高级中学2023年下学期创高杯考试高二数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}Axxx=+−，1|2Bxx=，则AB=（）A.3,1−B

.1,2C.11,2−D.1,122.若12zi=−，则(1)zz+=（）A-2-4iB.-2+4iC.6-2iD.6+2i3.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是（）A.12B.13C.15D.164.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，P为

C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A.2B.22C.2D.45.设0x，0y，且22xy+=，则12xy+的最小值为（）A.4B.92C.5D.1126.在钝角AB

C中，π6C=，4AC=，则BC的取值范围是（）A.83(0,3）B.83(23,3）C.83(0,23)(,3+）D.83(4,3）7.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P在三棱锥1CBCD-的表面上运动，且1153AP=，则点P轨迹的长度是（）.

A.326π6+B.236π6+C.36π6+D.236π3+8.已知点M在直线():43mykx−=−上，点N在圆22:9Oxy+=上，则下列说法不正确的是（）A.点N到直线m的最大距离为8B.若直线m被圆O所截得的弦长最大，则43k=C.若直线m为圆O的切线，则

k的取值范围为70,24D.若点M也在圆O上，则O到直线m的距离的最大值为3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数23()sincos3cos2fxxxx=−+，则

下列说法正确的是（）A.π()sin(2)3fxx=−B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的对称轴方程为π5π(Z)212kxk=+D.函数f(x)的图象可由sin2yx=的图象向左平移π6个单位长度得

到10.设等比数列{}na的公比为q，前n项积为nT，并且满足条件11a，671aa，67101aa−−，则下列结论正确的是（）A.1qB.681aaC.nT最大值为6TD.131T11已知直线():120maxay+++=，

():110naxay+−−=，则（）A.直线m恒过点()2,2−B.若//mn，则212a=C若m⊥n，则21a=D.当01a时，直线n不经过第三象限12.在平面四边形ABCD中，点D为动点，ABD△的面积是BCD△面积的2倍，又数列na满足12a=，恒有()()1122

nnnnBDaBAaBC−+=−++，设na的前n项和为nS，则（）A.na为等比数列B.2nna为等差数列的..C.na为递增数列D.()1326nnSn+=−−三、填空题：本题共4小题，每小题5

分，共20分.13.命题“0x，2320xx+−”的否定是___________．14.已知()0.3PA=，()0.5PB=，当事件A，B相互独立时，()PAB=________.15.已知过原点的

直线L与双曲线2222:1xyCab−=(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且AFBF⊥．若满足3FPBF=的点P也在双曲线C上，则C的离心率为______.16.已知a，bR，且ab¹，满足()()()()4242222023222023aabb−+

−=−+−=，若对于任意的38xxx，均有22txxab++成立，则实数t的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某企业为了解

下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值

；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.18.数列na是等差数列，nS为其前n项和，且523aa=，72147Sa=+，数列nb前n项和为nT，且满足32

3nnbT=+，*nN.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nR，求nR.19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知coscos32ACacb+=，且3b=.（1）求11ac+的最小值；（

2）若ABC的面积为332，求B.20.已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意,abR，都有()()()fabfafb+=+，且当0x时，()0fx恒成立．（1）判定并证明函数()yfx=在R上单调性；（2）讨论函数()yfx=的奇偶性；（

3）若2(2)()0fxfx−+，求x的取值范围．21.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，10PAPD==，侧面PAB的面积为10．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）点M在棱PC上，当三棱锥PADM−

的体积为43时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．22.已知椭圆E：()222210xyabab+=的离心率为22，A，B是它的左、右顶点，过点()1,0D的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，MAB△的最

大面积为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设(),Pmn是直线AM与直线BN的交点．（i）证明m为定值；的（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．创新高级中学2023年下学期创高杯考试高二数学试题一、选择题：本大题共8小题

，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}Axxx=+−，1|2Bxx=，则AB=（）A.3,1−B.1,2C.11,2−D.1,12

【答案】D【解析】【分析】计算出集合A后，运用交集性质运算即可得.【详解】由2230xx+−，解得31x−，即{|31}Axx=−，又1|2Bxx=，则112ABxx=.故选：D.

2.若12zi=−，则(1)zz+=（）A.-2-4iB.-2+4iC.6-2iD.6+2i【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到12iz=+，结合复数的运算法则，即可求解.【详解】由复数12zi=−，可得12iz=+，所以(1)

(22i)(12i)62izz+=+−=−.故选：C.3.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是（）A.12B.13C.15D.16【答案】B【解析】【分析】运用古典概型的计算方法计算即可得.【详解】由题意可得，向上的数字可能有6种，其中数字是5或

6的有2种，故其概率2163p==.故选：B.4.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A.2B.22C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由PF的中点到y轴的距离为3

可求得4Px=，得出点P坐标，即可求出斜率.【详解】PF中点到y轴的距离为3，32PxOF+=，即232Px+=，解得4Px=，代入抛物线方程可得(4,42)P，因为F点的坐标为(2,0)，所以直线PF的斜率为4202242−=−．故选：B.5.设0x，0y，且22xy+=，则12xy+的

最小值为（）A.4B.92C.5D.112【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式“1”的妙用求解作答.【详解】因为0x，0y，且22xy+=，则有12xy+=，因此12121559()()22222222xyxyxyxyxyxyxy+=++=++++=

+=，当且仅当yxxy=，即23xy==时取等号，所以12xy+的最小值为92.的故选：B6.在钝角ABC中，π6C=，4AC=，则BC的取值范围是（）A.83(0,3）B.83(23,3）C.83(0,23)(,3+）D.83(4,3）【答案】C【解析】【分析】利用正

弦定理、两角差正弦公式和正切函数的性质求解即可.【详解】由正弦定理得4sinsinsinBCACABB==，所以135π4cossin4sin224sin1364sinsinsin2tan2BBBABCBBBB+−====+

，因为钝角ABC中，π6C=，当B为锐角时，π5ππ26π02ABB=−，得π03B，则0tan3B，所以13tan3B，则13232tan23B+，所以138342tan23BCB=+；当B为钝角时，ππ25

ππ062BAB=−，得π5π26B，则3tan3B−，所以3103tanB−，则13302tan22B+，所以1304232tan2BCB=+；综上：83(0,23)(,3BC+）．故选：C.的7.正方体1

111ABCDABCD−的棱长为1，点P在三棱锥1CBCD-的表面上运动，且1153AP=，则点P轨迹的长度是（）A.326π6+B.236π6+C.36π6+D.236π3+【答案】A【解析】【分析】根据题意，点P在以1A为球心，半径153R=

的球面上，进而依次讨论该球与三棱锥1CBCD−的表面的交线即可得答案.【详解】解：由题设知点P在以1A为球心，半径153R=的球面上，所以点P的轨迹就是该球与三棱锥1CBCD−的表面的交线．由正方体性质易知三棱锥11ACBD

−为正四面体，所以，点1A到平面1CBD的距离233d=，所以球1A在平面1CBD上的截面圆的半径22133rRd=−=，所以，截面圆的圆心1O是正1CBD中心，正1CBD的边长为2，其内切圆1O的半径0166rr=．因此，点

P在面1CBD内的轨迹是圆1O在1CBD内的弧长，如图所示．101112cos2OHrMOHOMr===，所以1π4MOH=，所以1π2MON=，所以，点P在此面内的轨迹长度为1π3π2π326r

−=．因为1AA⊥平面ABCD，所以球1A在平面ABCD上的截面圆心为A，其半径222163rRAA=−=，又26123，所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧EF，如图所示，3cos2AGGAEAE==，所以π6GAE=，从而

π3EAF=，所以6π9EF=．由于对称性，点P在平面1CBD和平面1CCD内的轨迹长度都是6π9，故点P在三棱锥1CBCD-的表面上的轨迹的长度是3π6π3263π696++=．故选：A8.已知点M在直线():43my

kx−=−上，点N在圆22:9Oxy+=上，则下列说法不正确的是（）A.点N到直线m的最大距离为8B.若直线m被圆O所截得的弦长最大，则43k=C.若直线m为圆O的切线，则k的取值范围为70,24D.若点M也在圆O上，

则O到直线m的距离的最大值为3【答案】C【解析】【分析】求出圆心O到直线m距离的最大值，从而可求得N到m的最大距离，进而即可判断A；将圆心的坐标代入直线m的方程，求出k的值，即可判断B；利用圆心到直线的距离等于半径，结合

点到直线的距离公式求出k的值，进而即可判断C；分析可知当直线m与圆O相切时，O到m的距离的最大值，进而即可判断D．【详解】对于A，由题意可知，直线m过定点()3,4P，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线m的距离为d，当OPm⊥时，2234

5dOP==+=；当OP与直线m不垂直时，5dOP=，则5dOP=，所以点N到m最大距离为538+=，故A正确；对于B，若m被圆O所截得的弦长最大，则直线m过圆心O，可得34k−=−，所以43k=，故B正确；对于C，若m为圆O的切线，则24331kk−=+，解得724k=，故C

错误；对于D，若M也在圆O上，则直线m与圆O相切或相交，当直线m与圆O相切时，O到m的距离取最大值3，故D正确．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数23()sincos3cos2fxxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.π()sin(2)3fxx=−B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的对称轴

方程为π5π(Z)212kxk=+D.函数f(x)的图象可由sin2yx=的图象向左平移π6个单位长度得到【答案】ABC的【解析】【分析】对于含高次正余弦函数处理顺序一般是降次，运用辅助角公式，或者消元，

将其化成正（余）弦型函数，再利用正（余）弦型函数的性质进行求解判断.【详解】由23133()sincos3cossin2(cos21)2222fxxxxxx=−+=−++πsin(2)3x=−对于选项A,由上分析可知，A项正确；

对于选项B，因最小正周期2ππ||T==,故B项正确；对于选项C，由π()sin(2)3fxx=−，可知其对称轴可由ππ2π,(Z)32xkk−=+求得，故函数的对称轴方程为π5π(Z)212kxk=+，故C项正确；

对于选项D，由sin2yx=的图象向左平移π6个单位长度得到ππsin[2()]sin(2),63yxx=+=+而不是π()sin(2)3fxx=−，故D项错误.故选：ABC.10.设等比数列{}na的公比为q，前n项积为nT，并且满足条件11a，671aa，67101a

a−−，则下列结论正确的是（）A.1qB.681aaC.nT的最大值为6TD.131T【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得出1q，61a，71a，数列{}na为递增数列，有结合776TaT=，13137Ta=进行判断即可得.【详解】对A选项：2116711a

aaq=，又11a，故111q，即1q，故A正确；对B选项：6867aaqaa=，由671aa，1q，故681aa，故B正确；对C选项：由11a，1q，故数列{}na为递增数列，又67101aa−−，故610a−，710a−，即61a，71a

，即7766TaTT=，故C错误；的对D选项：1313121371Taaaa==，故D正确.故选：ABD.11.已知直线():120maxay+++=，():110naxay+−−=，则（）A.直线m恒过点()

2,2−B.若//mn，则212a=C.若m⊥n，则21a=D.当01a时，直线n不经过第三象限【答案】BD【解析】【分析】变形后得到()20axyx+++=，得到直线m恒过点()2,2−；B选项，根据平行得到方程，求出答案；C选项，根据垂直关系得到方程，求出0a=；D选项，分0a=，1

a=和01a三种情况，得到答案.【详解】A选项，():120maxay+++=变形为()20axyx+++=，令200xxy+=+=，解得22xy=−=，故直线m恒过点()2,2−，A错误；B选项，//mn，故()()2110aaa+−−=且()120aa−+−

，解得212a=，B正确；C选项，m⊥n，故()()110aaaa++−=，解得0a=，C错误；D选项，当0a=时，1y=，不经过第三象限，当1a=时，1x=，不经过第三象限，若01a时，():110naxay

+−−=变形为111ayxaa=+−−，其中01aa−，101a−，故():110naxay+−−=经过第一，二，四象限，不经过第三象限，综上，当01a时，直线n不经过第三象限，D正确.故选：BD12.在

平面四边形ABCD中，点D为动点，ABD△的面积是BCD△面积的2倍，又数列na满足12a=，恒有()()1122nnnnBDaBAaBC−+=−++，设na的前n项和为nS，则（）A.na为

等比数列B.2nna为等差数列C.na为递增数列D.()1326nnSn+=−−【答案】BD【解析】【分析】连AC交BD于E，根据面积关系推出2AEEC=，根据平面向量知识推出BE=1233BABC+，结合()()1122nnnnBDaBAaBC−+=

−++，推出11222nnnnaa+−=−，即11222nnnnaa+−−=−，求出1242nnan−=−+，()22nnan=−+，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出nS，

可判断D.【详解】如图，连AC交BD于E，则1sin21sin2ABDBDAEAEBSSBDECCED=△△BCDÐÐ=2AEEC=，即2AEEC=，所以2AEEC=，所以()2BEBABCBE−=−，所以BE=1233BABC+，设BDtBE=(1)

t，因为()()1122nnnnBDaBAaBC−+=−++，所以()()111122nnnnBEaBAaBCtt−+=−++，()()1111231223nnnnatat−+−=+=，所以()11222nnnnaa−++=−，所以11222nnnnaa+−=−，即1

1222nnnnaa+−−=−，又12a=，所以1022a=，所以12nna−是首项为2，公差为2−的等差数列，所以()1221242nnann−=−−=−+，所以()()124222nnnan

n−=−+=−+，因为()11(1)222222nnnnannann++−+−+==−+−+不是常数，所以na不为等比数列，故A不正确；因为()()()111122(1)21212222n

nnnnnnnnaannn++++−+−+−=−=−+−−+=−，所以2nna为等差数列，故B正确；因为1nnaa+−=()1(1)222nnnn+−+−−+=2nn−，所以na为

递减数列，故C不正确；因为()1231202(1)222nnSn=++−++−+，所以()234121202(1)222nnSn+=++−++−+，所以()()23412222222nnnSn+−=−++++−−+，所以()()1142222263212nnnnSn

n++−−=−−−+=+−−，所以()1326nnSn+=−−，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“0x，2320xx+−”的否定是___________．【答案】0x，2320xx+−【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的

知识求得正确答案.【详解】命题“0x，2320xx+−”是全称量词命题，其否定是：0x，2320xx+−.故答案为：0x，2320xx+−14.已知()0.3PA=，()0.5PB=，当事件A，B相互独立时

，()PAB=________.【答案】0.65【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式求出()PAB，最后根据()()()()PABPAPBPAB=+−计算可得.【详解】因为()0.3PA=，()0.5PB=，且事件A，B相互独立，所以()()()0.30.50.15PABPAPB=

==，()()()()0.30.50.150.65PABPAPBPAB=+−=+−=.故答案为：0.6515.已知过原点的直线L与双曲线2222:1xyCab−=(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且

AFBF⊥．若满足3FPBF=的点P也在双曲线C上，则C的离心率为______.【答案】102##1102【解析】【分析】设左焦点为F，BFm=，则3PFm=，连接BF，PF，进而根据题意得四边形AFBF为矩形，再分

别在RtBFP△中和RtBFF△中，结合勾股定理求解即可.【详解】设左焦点为F，BFm=，则3PFm=，连接BF，PF，由双曲线的定义知2BFam=+，23PFam=+，因为AFBF⊥，所以四边形AFBF为矩形．在RtBFP△中，222BF

BPPF+=，即()()()2222423ammam++=+，化简得ma=，在RtBFF△中，222BFBFFF+=，即()()()22222*ammc++=，将ma=代入（*）式得22104ac=，所以2252ca=，所以102cea==．故答案为：102.16.已知

a，bR，且ab¹，满足()()()()4242222023222023aabb−+−=−+−=，若对于任意的38xxx，均有22txxab++成立，则实数t的最大值是______.【答案】14−##0.2

5−【解析】【分析】将()()()()4242222023222023aabb−+−=−+−=两式作差后因式分解可得4ab+=，则22txxab++可转化为242xtx−，求出242xx−在38x

xx上的最小值即可得.【详解】由()()()()4242222023222023aabb−+−=−+−=，两式作差有()()()()42422222aabb−+−−−−−()()()()()()222222222222ababab=−+−−−−+−−−()()(

)()2222221220abab=−+−+−−−=，由()()222210ab−+−+，故()()22220ab−−−=，即()()2222ab−=−，又ab¹，即有22ab−=−，故4ab+=，则224txxab++=，又

38xxx，故2224242111444xtxxxx−=−=−−，又111,83x，则2min11114444x−−=−，此时4x=，即14

t−，故实数t的最大值14−.故答案为：14−.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组

区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概

率.【答案】（1）0.006；（2）0.4；（3）110.【解析】的【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受

访职工评分在[50，60)的有3人，记为123,,AAA，受访职工评分在[40，50)的有2人，记为12,BB，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因为()0.0040.0180.02220.028101a++

++=，所以0.006a=（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在

[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为123,,AAA；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即为12,BB.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是12131112,,,,,,,AAAAABAB

232122313212,,,,,,,,,,,AAABABABABBB又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即12,BB，故所求的概率为110P=【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注

意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.18.数列na是等差数列，nS为其前n项和，且523aa=，72147Sa=+，数列

nb前n项和为nT，且满足323nnbT=+，*nN.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nR，求nR.【答案】（1）21nan=−，3nnb=；（2）1121112323nn

nnR−−=−−【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求出1,ad，利用递推关系323nnbT=+可得数列nb为等比数列，再代入通项公式，即可得到答案；（2）由（1）得1(21)3nnnanb=−，再利用错位相减法求和，即可得到答案；【详解】（1）111111143(

),0,1,7610,2.714()7,2adadadaaddadad+=+−==−+==+=++21nan=−；323nnbT=+，11323nnbT−−=+，两式相减得：13(2)nnbnb−=，1113233bbb=+=，1333nnn

b−==；（2）由（1）得1(21)3nnnanb=−，12111(211)(221)(21)333nnnR−+−+−=+，231111(211)(2211)(21)3333nnnR+=−+−++−

，两式相减得：212311122(21)33313nnnRn+++−=+−，21211(1)1332(21)1313313nnnRn+−=+−−−，1121112323nnnnR−−=−−.【点睛】本题考查等差

数列、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知coscos32ACacb+=，且3b=.（1）求11ac+的最小值；（2）若ABC的面积为332，求B.【答案】（1）63

（2）π3B=【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角逆用两角和的正弦公式，结合()sinsinACB+=化简，再利用正弦定理化角为边以及基本不等式即可求解；（2）根据三角形的面积求出角π3B=或2π3，再由余弦定

理检验即可求解.【小问1详解】因为coscos32ACacb+=，根据正弦定理化边为角可得：coscos3sinsin2sinACACB+=，所以()()sinsinπ3cossinsincossin2sinsinsinsinsi

nsinsinsinsinACBACACBBACACACAC+−+====，所以23sinsin2sinACB=，所以232acb=，6ac=，所以111623acac+=当且仅当ac=时等号成立，所以当6ac==时，11ac+取得最小值63.【小问2详解】由（1）知6ac=，所以AB

C的面积133sin3sin22SacBB===，所以3sin2B=.因为()0,πB，所以π3B=或2π3，当2π3B=时，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得2()9ac−=−，不合题意，因此2π3B=不合题意；当π3B

=时，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得2215ac+=，又6ac=，所以323ac==，或233ac==符合题意，所以π3B=.20.已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意,abR，都有()()()fabfafb+=+，且当0x时，(

)0fx恒成立．（1）判定并证明函数()yfx=在R上的单调性；（2）讨论函数()yfx=的奇偶性；（3）若2(2)()0fxfx−+，求x的取值范围．【答案】（1）单调递减，证明见解析（2）奇函数，理由见解析（3）

2xx−或1x【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性；（2）赋值法得到()00f=，进而赋值得到()()()00fafaf+−==，得到答案；（3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案.【小问1详解】()yfx=在R上单调递减，

理由如下：任取()12,,xx−+，且12xx，因为()()()fabfafb+=+，所以()()()fabfafb+−=，令12,abxax+==，则()()()1212fxfxfxx−=−，因为当0x时，()0

fx恒成立，又120xx−，所以12()0fxx−，所以12())0(fxfx−，12()()fxfx，所以()yfx=在R上单调递减；【小问2详解】令0ab==，则()()()000fff=+，解得()00f=，令=−ba，因为()()(

)fabfafb+=+，故()()()00fafaf+−==，所以()()fafa−=−，所以()yfx=是奇函数；【小问3详解】因为2(2)()0fxfx−+，所以2(2)()fxfx−−，因为()yfx=是奇函数，所以2(2)()fxfx−−，因为()yfx=

是R上的减函数，所以22xx−−，解得<2x−或1x，所以不等式2(2)()0fxfx−+的解集为2xx−或1x.21.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，10PAPD==，侧面PAB的面积为10．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2

）点M在棱PC上，当三棱锥PADM−的体积为43时，求直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）6525【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式可推导出ABPA⊥，再由ABAD⊥结合线面垂直、面面垂直

的判定定理可证得结论成立；（2）取AD的中点O，连接OP，证明出OP⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OA、OB、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据三棱锥PADM−的体积以及已知条件求出点M的坐标，然后利用空间向量

法可求得直线AM与平面PAB所成的角的正弦值．【小问1详解】证明：由侧面PAD的面积为10，得1sin102PAABPAB=，又10PA=，2AB=，所以sin1PAB=，从而90PAB=o，即ABPA⊥，又因为ABAD⊥，

PAADA=，PA、AD平面PAD，故AB⊥平面PAD，而AB平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．【小问2详解】解：取AD的中点O，连接OP，因为PAPD=，所以OPAD⊥，由（1）平面PAD⊥平面ABCD，而OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD=，所以

OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OA、OB、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz−，，则()1,0,0A、()1,2,0B、()1,2,0C−、因为223OPPAO

A=−=，所以()0,0,3P，()1,2,3PC=−−，1123322PADSADOP===△，设()000,,Mxyz，则001433PADMMPADPADVVSyy−−====△．设PMPC=，即()()000,,31,2,3xyz−=−−，所以0223y==，

从而023x=−，01z=，故24,,133M−，于是54,,133AM=−，又()1,0,3PA=−，()0,2,0AB=，设(),,nxyz=是平面PAB的一个法向量，则3020nPAxz

nABy=−===，取1z=，得()3,0,1n=，设直线AM与平面PAB所成的角为，则465sincos,2552103AMnMnMnAA====，即直线AM与平面PAB所成的角的正弦值为6525．22.已知椭圆E：()2

22210xyabab+=的离心率为22，A，B是它的左、右顶点，过点()1,0D的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，MAB△的最大面积为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设(),Pmn是直线AM与直线BN的交点．（i）证明m为定值；（ii）试

堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．【答案】（1）22142xy+=（2）（i）证明见解析；（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，证明见解析【解析】【分析】（1）根据最大面积可得22ab=，再结合离心率及222abc=+求解作答.（2）（i）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联

立，利用韦达定理结合三点共线的斜率关系列式求解作答；（ii）利用平面向量数量积推导MBN为钝角作答.【小问1详解】设椭圆E的焦距为2c，依题意，22ca=，设椭圆E上点M的纵坐标为0y，00||yb，MAB△的面积0011||||2||22M

ABSAByayab==，当且仅当0||yb=时取等号，因此22ab=，而222abc=+，且2ac=，解得2a=，2bc==，所以椭圆E的方程为22142xy+=.【小问2详解】由（1）知，()2,0A−，()2,0B，设直线l的方程为1xty=+，而点()1,

0D在椭圆E内，直线l与E总相交，由221421xyxty+==+得：()222230tyty++−=，设()11,Mxy，()22,Nxy，则12222tyyt−+=+，12232yyt−=+，（i）由P，A，M共线，得1122nymx=++，由P，

B，N共线，得2222nymx=−−，联立两式得12122222myxmxy−−=++，又2211142xy+=，即有1111222yxxy−=+，因此212121212121212(2)(2)(1)(1)(122222)xxty

tytyytyymmyyyyyy−−−−−++−=−=−=−+222223212262ttttt−++++=−−+13=，所以4m=，为定值．（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，由（i）知，(4,)Pn，11112622yxnxy−==+，即()1132

nyx=−，因为()112,BMxy=−，()2,BPn=，因此()111222BMBPxnyx=−+=−，而12x−2，从而0BMBP，于是0BMBN，MBN为钝角，所以点B一定在以MN

为直径的圆内.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关

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