【文档说明】湖北省天门外国语学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（详解版）.docx，共(22)页，1.503 MB，由envi的店铺上传

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天门外国语学校2022年秋季学期高二12月考试数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B

)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判

断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确

的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A

)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2..如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1AB

ADCC+−=（）A.1ACuuurB.1ACC.1CBD.1DB【答案】A【解析】【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.【详解】1ABADCC+−=111ACCCACCCAC−=+=.故选：A3.已知向量()23,0,2a=，向量13,0,22b=

，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.()3,0,3B.()3,0,1−C.()1,0,3D.13,0,44【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a在b上投影向量()21323,0,3,0,323123ababbb====+

rrrrrr故选：A4.已知椭圆22214xyCa+=：一个焦点为(2,0)，则C的离心率为（）A.13B.12C.22D.223【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程可知b值，根据焦点坐标得到c值，即可求出a代入离心率公式求解.【详解】由已知可得24b

=，2c=，则2228abc=+=，所以22a=，则离心率22cea==．故选：C.5.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定

：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3−=，故其总曲率为

4π，则四棱锥的总曲率为（）A.2B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱

锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426+=，故总曲率为5264−=．故选：B.6.用一个圆心角为120，面积为3π的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点MN､恰好重合），该圆锥顶点为P，底

面圆的直径为AB，则tanAPB的值为（）A.427B.223C.325D.425【答案】A【解析】【分析】根据扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，求出圆锥的底面半径、高，得到tan2APB，利用二倍角公式即可求出tanAPB．【详解】设圆锥的母线长为R，底面半径为r，高为h．

∵扇形的圆心角为120∴222ππ123π33SRR===扇形，∴3R=∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长∴2π2π3Rr=，∴=1r∴2222hRr=−=∴12tan2422APBrh===∴2222tan24224tan721tan124APBAPBAP

B===−−．故选：A．7.直线yx=和yx=−上各有一点,PQ（其中点,PQ的纵坐标分别为,PQyy且满足0PQyy），OPQ△的面积为4，则PQ的中点M的轨迹方程为（）A.224xy+=B.224xy−=C.224yx−=D.228xy

+=【答案】B【解析】【分析】由题意可设设()()(),,,,,PaaQbbMxy−，则2,2OPaOQb==，由三角形面积公式求解即可【详解】因为直线yx=和yx=−互相垂直，所以OPOQ⊥，又0PQyy，所以点,PQ在

一，四象限或者二，三象限，设()()(),,,,,PaaQbbMxy−，因为M为PQ中点，所以,22ababxy+−==，所以,axybxy=+=−因为90POQ=，的所以2,2OPaOQb==，所以1122422OPQSOPOQab===

，所以4ab=，所以()()4xyxy+−=，即224xy−=，故选：B8.设过点()0,3的直线与圆()2269xy−+=相交于A，B两点，则经过AB中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（）A.3,4−−B.3,4+C.3,04−D.30,4【

答案】B【解析】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB中点与圆心(6,0)C的连线必垂直于弦AB可得1CDABkk=−，即可求解.【详解】由圆22(6)9xy−+=，知

圆心(6,0)C，半径3r=，设过点(0,3)且与圆相切的直线方程为3ykx−=，即30kxy−+=，则点(6,0)C到切线的距离为26331kdk+==+，解得0k=或43−，所以4(,0)3ABk−，因为过AB中点与圆心(

6,0)C的连线必垂直于弦AB，所以1CDABkk=−，得13(,)4CDABkk=−+.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分

，有选错的得0分.9.已知方程22141xytt+=−−表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t时，曲线C是椭圆B.当4t或1t时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭

圆，则512tD.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则4t【答案】BC【解析】【分析】根据22141xytt+=−−表示椭圆可求得512t或542t，判断A;22141xytt+=−−表示双曲线可求得4t或1t，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的

不等式组，求得参数范围，判断C,D.【详解】当曲线C是椭圆时，401041tttt−−−−解得512t或542t，故A错误；当曲线C是双曲线时，()()410tt−−，解得4t或1t，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭

圆，则401041tttt−−−−解得512t，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则401041tttt−−−−，解得542t，故D错误．故选:BC．10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆224xy+=上

有且仅有四个点到直线1250xyc−+=的距离为1，则实数c的取值可能是（）A.14B.14−C.12D.10−【答案】CD【解析】【分析】由圆方程求出圆心，求出半径，利用点到直线的距离公式根据题意列出不等式即可求得答案;【详解】圆224xy+=的圆心为(

0,0)O，半径等于2，圆心到直线1250xyc−+=的距离||||1314425ccd==+，要使圆224xy+=上有且仅有四个点到直线1250xyc−+=的距离为1，应有||2113c−，即1313c−，

则结合选项可知12,10−适合题意，故选∶CD．11.已知在直三棱柱111ABCABC-中，底面是一个等腰直角三角形，且1,ABBCBBEFGM==､､､分别为1111,,,BCABABBC的中点.则（）A.1GB与平面11ACCA夹角余弦值为255B.1AB与1BC所成角为π3C.

1AM平面EFBD.平面1ABC⊥平面1AMC【答案】BCD【解析】【分析】对于A、B：建系，利用空间向量处理相关角度问题；对于C：根据线面平行的判定定理证明；对于D：利用线面垂直的判定定理先证BC⊥平面11ABBA，可得1B

CAB⊥，再证1AB⊥平面1ABC，进而说明结果.【详解】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设2AB=，则有：的()()()()()()110,2,0,0,0,0,2,0,0,0,1,0,2,0,2,0,0,2ABCGCB∴()()()()()11110,1

,2,2,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2GBACCCBCAB=−=−===−设平面11ACCA的法向量为(),,nxyz=则有122020nACxynCCz=−===，令1x=，则1,0yz==∴()1,

1,0n=r则111110cos,1025nGBnGBnGB==−=−∴1GB与平面11ACCA夹角的正弦值为1010，则余弦值为31010，A错误；∵11111141cos,22222BCABBCABBC

AB===∴1AB与1BC所成角的余弦值为12，则夹角为π3，B正确；如图2：对于C：连接1,,EFBEBM，设1BEBMO=，连接OFEM､分别为11,BCBC的中点，则1BEBM∥且1BEBM=∴1EMBB为平行四边形，则O为1MB的中点又∵

F为11AB的中点，则1OFAM∥OF平面EFB，1AMË平面EFB∴1AM平面EFB，C正确；对于D：平面1AMC即为平面1ABC由题意可得：1,BCABBCBB⊥⊥1ABBBB?，1,ABBB平面11ABBA∴BC

⊥平面11ABBA1AB平面11ABBA，则1BCAB⊥又∵11ABBA为正方形，则11ABAB⊥1BCABB=，1,BCAB平面1ABC1AB⊥平面1ABC1AB平面1ABC∴平面1ABC⊥平面1ABC，即平面1ABC⊥平面1AMC，D正确；故选：BCD

.12.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线(

)0ytt=与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率是22B.点F关于直线12yx=的对称点在半圆上C.ABF△面积的最大值是()9214+D.线段AB长度的取值范围是()0,332+【答案】ACD【解析】【分析】由题意可求出半圆和椭

圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；求出F关于直线12yx=的对称点即可判断B；设,AB坐标，表示出ABF△面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断D；【详解】由题意得半圆的方程为()22+90xyx=，设椭圆

的方程为()222210,0xyabxab+=，所以33bc==，所以218a=，32a=所以椭圆的方程为()2210189xyx+=．A．椭圆的离心率是32232cea===，故A正确；B．设

()3,0F关于直线12yx=对称点为(),mn，可得23nm=−−且113222mn+=，解得912,55mn==，即对称点为912,55，因为半圆的方程为()22+90xyx=，所以对称点为912,55不在半

圆上，故B错误；C．由题得ABF△面积1||2SABt=，设()()222111,,9,903Axtxtxtt+==−−，设()222222,,1,182189xtBxtxt+==−，所以22||9

182ABtt=−+−，所以()()222221212191829=9222Sttttttt++=−+−=−−的()2181921244+=+，当且仅当322t=时等号成立，故C正确；D．当0t→

时，||332AB→+；当3t→时，||0AB→，所以线段AB长度的取值范围是()0,332+，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线方程为4

3yx=，且其右焦点为()5,0，则双曲线C的标准方程为__________.【答案】221916xy−=【解析】【分析】依题意可得43ba=，5c=，即可求出a、b的值，从而得解.【详解】双曲线()2222:10,0xyCabab−=

的渐近线方程为43yx=，可得43ba=，其右焦点为()5,0，可得5c=，又222cab=+，解得3a=，4b=，则双曲线C的方程为：221916xy−=．故答案为：221916xy−=．14.如图，一个三

棱柱形容器中盛有水，且侧棱112AA=.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.【答案】9【解析】【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再

根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC水平放置时，液面高度.【详解】设ABC的面积为x，底面ABC水平放置时，液面高为h则水的体积为1121294Vxxx=−=当底面ABC水平放置时，水的体积为9Vxhx==，解得9h

=故答案为:915.若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________.【答案】1或7【解析】【分析】根据题干条件得到圆心C到直线l：ax

－y＋2－a＝0的距离为22r，利用点到直线距离公式列出方程，求出实数a的值.【详解】由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°，则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为22r，即2|21|3221aa+=+，解得:a＝1或a＝7.故答案为：1或7.16.某电视台举办知

识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20−分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答

前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．【答案】①.49②.12##0.5【解析】【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个

问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率2212212214(2)(1)(1)(1)3323323329PX==−+−+−=，由题意，只要第三问回答正

确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为12.故答案为：49，12四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤

17.（1）若直线1l过点()1,2P−，且与直线3450xy−+=平行，求直线1l的斜截式方程；（2）若直线2l过点()1,2Q−，且与圆221xy+=相切，求直线2l的方程.【答案】（1）31144yx=+；（2）1x=或者3450xy++=【解析】【分析】（1）设直线1l方程为：3

40xym−+=，将()1,2P−代入方程，并把方程化为斜截式即可；（2）分斜率存在与斜率不存在讨论求解，当斜率存在时利用直线到圆心距离等于半径求解即可【详解】（1）设直线1l方程为：340xym−+=，将()1,2P−代入方程，得11m=，所以直线1l方程为34110xy−+=，化

为斜截式得31144yx=+，所以直线1l的斜截式方程31144yx=+；（2）①当直线2l的斜率不存在时，显然满足题意的直线2l的方程为1x=，②当直线2l的斜率存在时，设直线方程2l的方程为：2(1)ykx+=−，即20kx

yk−−−=由题意可知原点O到直线2l的距离d等于单位圆的半径，即2211kdk--==+，解得34k=−，此时直线2l的方程为3450xy++=.综合上述直线2l的方程为1x=或者3450xy++=1

8.求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点(3,0)A；的(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；【答案】(1)2219xy+=或221819yx+=(2)221129xy+=或221912xy+=【

解析】【分析】（1）对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，求出a,b,c即得椭圆的标准方程；（2）由已知有23acac=−=,解方程得a,c的值，即得椭圆的标准方程.【详解】(1)若焦点在x轴上，设方程为22221(0)xyabab+=．

∵椭圆过点(3,0)A，∴291,3aa==∵232ab=，∴1b=.∴方程为2219xy+=.若焦点在y轴上，设方程为22221(0)yxabab+=．∵椭圆过点(3,0)A，∴291,3bb==，又232ab=

，∴9a=，∴方程为221819yx+=.综上所述，椭圆方程为2219xy+=或221819yx+=.(2)由已知有23acac=−=，解得233ac==，从而2229bac=−=，∴所求椭圆

方程为221129xy+=或221912xy+=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知两圆222610xyxy+−−−=和2210120xyxym+−−+=.求：（1）m取何值时两圆外切？（2）当m＝45时两圆的公共

弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】（1）251011+（2）43230xy+−=，27【解析】【分析】（1）分别求出两圆的圆心及半径，由两圆外切得圆心距等于半径之和，即可得解；（2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再根据圆的弦长公式计算即可求出公共弦长.【小问1详解】解：两圆的标准方程分

别为()()()()22221311,5661xyxym−+−=−+−=−，圆心分别为()()1,3,5,6MN，半径分别为11和61m−，当两圆外切时，22(51)(63)−+−＝11＋61m−，解得251011m

=+；【小问2详解】解：两圆的公共弦所在直线的方程为()222226110120xyxyxyxym+−−−−+−−+=，即43230xy+−=，圆222610xyxy+−−−=的圆心()1,3M到公共弦所在直线43230xy+−=的距离49232169d+−==+，公共弦长为211427−=.20

.如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面上，若PO⊥，且4PO=，OA、OB为圆O的半径，且90AOB=，M为线段AB的中点．求：（1）异面直线OB，PM所成角的余弦值；（2）点O到平面PAB的距离；【答案】（1）26（2）43【解析】【分析】(1)根据题意，建立

空间直角坐标系，找到直线OB，PM的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案；(2)利用等体积法计算点O到平面PAB的距离；【小问1详解】解：由PO⊥且90AOB=可知,,OAOBOP两两垂直，

所以，以O为原点，分别以,,OAOBOP所在的直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意()()()0,0,4,2,0,0,0,2,0PAB，因为M为线段AB的中点，所以()1,1,0M，所以()()1,1,4,0,2,0PMOB=−=，22cos61116

2PMOBPMOBPMOB===++，，所以，异面直线OB，PM所成角的余弦值为26.【小问2详解】解：根据题意，25,22APBPAB===，所以，在等腰ABP中，2220232PMPAAM=−=−=所以，1122222OABSOAOB===△，11111622622PABSPMAB

==++=△，设点O到平面PAB的距离为d，因为PO⊥，因为POABOPABVV−−=所以1133OABPABSPOSd=△△，所以1124633d=，解得43d=，所以点O到平面PAB的距离43；2

1.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面,2,4,23ABCDPAADBDAB====，BD是ADC的平分线，且BDBC⊥.（1）若点E为棱PC的中点，证明：BE平面PAD；（2）已知二面角PA

BD−−的大小为60，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）35.【解析】【分析】(1)延长,CBDA交于点F，连接PF,证明BEPF∥即可；(2)以AD的中点为O为原点，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.【小问1详解】延长,CBDA交于点F，连接PF，

在CDF中，BDQ是ADC的平分线，且BDBC⊥，CDF是等腰三角形，点B是CF的中点，又E是PC的中点，BEPF∥，又PF平面,PADBE平面PAD，直线BE平面PAD.【小问2详解】在ABD△中，2,4,23ADBDAB===，则90BAD=，即BAAD⊥

，由已知得60,8BDCBDACD===，又平面PAD⊥平面,ABCDBA平面ABCD所以BA⊥平面PAD，即BAPA⊥，所以以PAD为二面角PABD−−的平面角，所以60PAD=，又2PAAD=

=，所以PAD为正三角形，取AD的中点为O，连OP，则,OPADOP⊥⊥平面,ABCD如图建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,1,23,0,5,43,0,1,0,0,0,0,3ABCDP−−，所以()()()1,0,3,2,23,0,4,43,0DPBDDC=

=−−=−，设()()111222,,,,,mxyznxyz==分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则00mDPmBD==，即1111302230xzxy+=−−=，取11y=−，则()3,1,1m=−−，00nDPnDC==，即2222304430xzxy

+=−+=，取21y=，则()3,1,1n=−，所以3cos,5mnmnmn==.则平面PBD和平面PCD所成夹角的余弦值为35.22.已知点()10B,，点M是圆A：()22116xy++=上任意一点，线段MB的垂直平

分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记P点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程；（2）作BQx⊥轴，交轨迹E于点Q（Q点在x轴的上方），直线():,lxmynmn=+R与轨迹E交于C、D（l不过Q点）两点，若CQ和D

Q关于直线BQ对称，试求m的值.【答案】（1）22143xy+=（2）2m=【解析】【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E的方程；（2）先将直线l的方程与轨迹E的方程联立，再利用设而不求的方法表示0CQDQkk+=，进而得到mn、的关系式，从而求得m的

值.【小问1详解】圆()22:116Axy++=的圆心()1,0A−，半径4r=，点P为线段MB的垂直平分线与半径MA的交点，PMPB=，42PAPBPAPMAMAB+=+===，P点的轨迹E是以A､B为焦点的椭

圆，设其方程为()222210xyabab+=，则24a=，22c=，所以2a=，1c=，223bac=−=，因此，轨迹E的方程为22143xy+=.【小问2详解】设()11,Cxy、()22,D

xy，BQx⊥轴，Q点在x轴的上方，将1x=代入方程22143xy+=，可得32y=，则31,2Q，联立223412xmynxy=++=可得()2223463120mymnyn+++−=，()()222236123440mn

mn=−+−，可得2234nm+，由韦达定可得122634mnyym+=−+，212231234nyym−=+.因为CQ、DQ关于直线BQ对称，则0CQDQkk+=，则()()1212211233332201101122yyxyxyxx−

−+=−−+−−=−−，又11xmyn=+，22xmyn=+，则()12123213302myynmyyn+−−+−+=，即222312362133034234nmnmnm

nmm−+−−−−+=++，化简得：()2328440mnmn+−−+=，即()()23220mmn−+−=则2m=或3220mn+−=，当3220mn+−=时，312nm=−，此时，直线l的方程为33112

2xmymmy=+−=−+，直线l过点31,2Q，不合题意.综上所述，2m=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com