【文档说明】福建省福州第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题 含答案.docx，共(25)页，1.621 MB，由小赞的店铺上传

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福建省福州第一中学2022-2023学年度第一学期教学质量检测（12月）高二数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“方程22153xymm+=−+表示椭圆”是“35m−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．

充要条件D．既不充分条件又不必要条件2．双曲线2221613xyp−=的左焦点在抛物线22ypx=（0p）的准线上，则双曲线的渐近线方程为A．3yx=B．3yx=C．33yx=D．13yx=3．如图，三棱锥OABC−中，O

Aa=，OBb=，OCc=，且3OMMA=，BNNC=，则MN=（）A．111433abc++B．111433abc−++C．311422abc−++D．311422abc++4．等差数列na中，若100710081

00918aaa++=，则该数列的前2015项的和为（）A．2015B．4030C．6045D．120905．已知圆22:()()3(,)MxaybabR−+−=与圆22:1Oxy+=相交于A，B两点，且3AB=，给出以下结论：①MAMB→→是定值；②四边形OAMB的

面积是定值；③ab+的最小值为2−；④ab的最大值为2，则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知实数x，y满足约束条件402400xyxyxy+−−−−，则1yzx=−的最小值为（）．A．43B．45C．2D．3

7．已知抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为F，准线为l，设P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若3FPFQ=，且||4QF=，则p的值为（）A．2B．4C．6D．88．在矩形ABCD中，1AB=，2BC=，PA⊥平面ABCD，1PA=，则PC与平面ABCD所成的角为（）A．

30°B．45°C．60°D．120°二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知点P到点()1,2A的距离是点P到点()1,0B−距离的2倍，记点P的

轨迹为，若直线l：0xy−=与曲线交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A．曲线为圆B．曲线为椭圆C．曲线与直线260xy+−=有交点D．1103MN=10．记nS为等差数列na的前n项和.若1573aaS+=，

则以下结论一定正确的是（）A．40a=B．nS的最大值为3SC．61SS=D．35aa11．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90,2BACABAC===，12,,,AAEFG=分别是棱1111,,BCACAB的中点，D在线段11BC上，则下列说法中正确的

有（）A．EF//平面11AABBB．BD//平面EFGC．存在点D，满足BDEF⊥D．CDGD+的最小值为34212．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体1111ABCDABCD−的侧面11ADDA上的一个动点(含边界)，P是棱1CC的中点，全科免费下载公众号《高中僧课

堂》则下列结论正确的是（）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B．若保持2PM=，则点M在侧面11ADDA内运动路径的长度为3C．三棱锥1BCMD−的体积最大值为16D．若点M在1AD上运动，则1D到直线PM的距离的最小值为23三、填空题；

本题共4小题，每小题5分，共20分13．直线3xy10−+=的倾斜角为______．14．若向量()1,2,2a=，()2,1,2b=，()1,4,cm=，且向量a，b，c共面，则m=______．15．已知数列na中，11a=，

()*1(1)nnnaannN+=+−，则20a=___________.16．过双曲线1C：22221(0,0)xyabab−=的左焦点1F作圆222xya+=的切线，设切点为M，延长1FM交抛

物线2C：22(0)ypxp=于点N，其中12,CC有一个共同的焦点，若1MFMN=，则双曲线1C的离心率为_______.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．数列na中，nS为其前n项和，且11naSn+=+．（1）求n

S，na；（2）若2nSnnba=，求数列nb的其前n项和nT．18．已知圆1F：2240xyx++=，圆2F：224120xyx+−−=，一动圆与圆1F和圆2F同时内切.(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)设点M的轨

迹为曲线C，两互相垂直的直线1l，2l相交于点2F，1l交曲线C于M，N两点，2l交圆1F于P，Q两点，求PQM与PQNV的面积之和的取值范围.19．如图，在直三棱柱111—ABCABC中，EFG，，，分别为

11AB，1CC，1BB的中点，分别记AB，AC，1AA为a，b，c.(1)用a，b，c表示EF，EG；(2)若12ABACAA===，ABAC⊥，求2EFEG+.20．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点()04,Py

是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为72．(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆22:(2)4Mxy−+=，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．21．如图，已知在

矩形ABCD中，2AB=，2BC=，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将ACD沿AC折起，点D的位置记为D¢，此时153ED=，M是AD的中点.(1)求证：//BM平面DHE；(2)求证：CH⊥面DHE；(3)求二面角HEDC−−的余弦值.

22．已知椭圆M：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，12ca=，点31,2N在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）过1F的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且6019PQ=，求直线l的方程；（3

）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．参考答案：1．A本题结合椭圆的定义与充分必要条件，根据椭圆的定义列不等式组解出

m，特别要注意的就是椭圆的ab¹，这道题即可解决.由方程22153xymm+=−+表示椭圆，则满足条件为：503053mmmm−+−+，解得35m−且1m所以由35m−且1m，可以推出35m

−，但反过来不成立.故选：A2．C双曲线的标准方程为2221316xyp−=，则22222331616ppabc，，，===+双曲线的左焦点0Fc−（，），抛物线的准线为2px=−，∵双曲线的左焦点在抛物线的准线上，2pc−=−，即

2pc=，则224pc=，即223164pp+=，解得4p=，即22233432116pacacb==+====，，则，，，则双曲线的渐近线方程为33yx=.故选C.3．C根据空间向量的线性运算，可求得答案.由题

意3OMMA=，BNNC=，得()3131142422MNMOOBBNOAOBOCOBabc=++=−++−=−++，故选：C．4．D利用等差数列的性质与求和公式即可得出结果．由等差数列na，10071008100918aaa++=，则1008318a=，解得10086a=，则该数列的前201

5项的和()12015100820152015120902aaa+===，故选D．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．D首先根据示意图得到ABC为等边三

角形，从而就可以判断①，又ABOM⊥可以计算四边形OAMB的面积，进而判断②，再根据222MaOb=+=得到224ab+=，最后利用基本不等式求得ab+，ab的最值.根据题意画出示意图：设直线AB与OM交于点C，则点C为AB中点且ABOM⊥,因为3ABAMBM===,所以ABC

为等边三角形，故3AMB=,13cos3322MAMBMAMBAMB→→→→===,故①正确；3sin32MCAM==，而22131()1242OAABOC=−=−=,所以2OMOCMC=+=1132322OAMBABOSM===为定值，故

②正确；因为(0,0),(,)OMab，所以222MaOb=+=，所以224ab+=，利用基本不等式得：222()2()8abab++=，所以2222ab−+，故③不正确；又222abab+，所以2ab，故④正确；综上：正确的有：①②④.故选：D.判断两

圆的位置关系常用几何法，由两圆相交得到圆心连线与公共弦是垂直平分的，在处理线段长度，面积问题，数量积问题中经常会用到，需要熟练掌握.6．B作出可行域，1yzx=−表示的几何意义是可行域内的点到(1,0)的斜率，找到取最小值的点代入即可.如下图所示，阴影部分为可行域，结

合图像，当取可行域内B点时，z取最小值，40240xyxy+−=−−=，8343xy==，84,33B，此时为点()1,0与点B连线的斜率为40438513−=−.故选：B7．C根据题意，求得,PQFQ，结合抛物线定义，求

得p即可.根据题意，过Q作QMl⊥，记l与x轴交点为H，如下所示：由抛物线定义可知QMQF=，又因为3FPFQ=，且||4QF=，故可得8,4PQMQ==，则12PF=，由122PQPFMQHFp===，解得6p=.故选：C.本题考查抛物线方程的求解，涉及抛物线的定义，属中档题.8．A建立

空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,1P，()2,1,0C，()2,1,1PC=−，平面ABCD的一个法向量

为()0,0,1n=，所以1cos,2PCnPCnPCn==−．又因为,0,PCn，所以,120PCn=，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．

故选：A9．AD对于AB，根据题意得2PAPB=，再利用两点距离公式整理得225232339xy+++=，从而可知曲线为圆；对于C，利用圆心到直线的距离与半径的比较，即可判断两者是否有交点；对于D，利用弦长公式222MNrd=−即可得解.对于AB

，设(),Pxy，而2PAPB=，故2222(1)(2)2(1)xyxy−+−=++，则222221444844xxyyxxy−++−+=+++，即221041333xyxy+++=，即225232339xy+++=

，所以曲线为圆，故A正确，B错误；对于C，圆心52,33−−到直线260xy+−=的距离为15226339423145d−+−−==+，故曲线与直线260xy+−=相离，故C错误；对于D，圆心52,33−−

到直线l：0xy−=的距离为52331112d−−−==+，则321551102292183MN=−==，故D正确.故选：AD.10．AC根据等差数列的定义及前n项和公式可求得公差d与1a的关系，再对各项进行逐一判断即可.设等差数列的公差为d，因为1573aaS+=，可得

()11134721aadad++=+，解得13ad=−，又由()()114naandnd=+−=−，所以40a=，所以A正确；因为公差d的正负不能确定，所以3S可能为最大值最小值，故B不正确；由6123456450SSaaaaaa−=++++==，所

以61SS=，所以C正确；因为35420aaa+==，所以35aa=−，即35aa=，所以D错误.故选:AC.11．AD对于A，在平面11AABB找一条直线，使其与EF平行即可；对于B，先由//GFBC

证明GFBC､､､四点共面，再证GFBE､､､四点共面，进而能判断直线BD与平面EFG的位置关系；对于C，以1,,ABACAA为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz−，用坐标运算即可；对于D，把三棱锥的正面11CCBB和上底面111ABC展开，即能找到CDGD

+的最小值，构造直角三角形求解即可.对于A，连接BG，,,EFG分别是棱1111,,BCACAB的中点，//GFBE且=GFBE，四边形EFGB为平行四边形，//EFBG，又EF平面11AABB，BG平面11AABB在平面内，所以EF//平

面11AABB，故A正确；对于B，易知//GFBC，所以GFBC､､､四点共面，又点EBC，所以GFBE､､､四点共面，B平面EFG，而D平面EFG，直线BD平面EFGB=，故B不正确；对于C，以1,,ABACAA为正交基底，建立

如图1所示的空间直角坐标系Axyz−.则()0,0,0A，()2,0,0B，()()12220,2,0,2,0,2,,,0,0,,2222CBEF，2,0,22EF=−，()12,0,2AB=，()2,2,0BC=−，(

)1111112,2,2BDBBBDAABCAABC=+=+=+=−，若BDEF⊥，则()22,2,2,0,2402BDEF=−−=+=，4=−，D在线段11BC延长线上，而不在线段11BC上，故C不正确；对于D，把图1的正面11CCBB和上底面111A

BC展开如图2所示，连接CG即为所求，过G做PG垂直于BC且与其相交于P，与11BC相交于Q，易得1142BPBC==，12GQ=，15222PGGQQP=+=+=，3332442PCPC===，在RtGPC中，222344

GCGPPC=+=，342GC=，故D正确.故选：AD12．ABD对于A，分析点M沿正方体的表面从点A到点P的各种情况即可判断；对于B，取DD1中点E，连EM并求出EM=1即可计算判断；对于C，利用等体积法转化为求三棱锥11ACBD−的体积即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，借助空间向量

建立函数关系求其最值即可判断作答.对于A，点M沿正方体的表面从点A到点P的最短路程，则点M应在点A与点P所在的两个相邻平面内从点A到点P，由对称性知，点M从点A越过棱DD1与越过棱BB1到点P的最短路程相等，点M从点A越过棱

DC与越过棱BC到点P的最短路程相等，把正方形ABB1A1与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BB1到点P的最短路程，22172APACCP=+=，把正方形ABCD与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图

，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BC到点P的最短路程，22132APADDP=+=，而131722，于是得点M沿正方体的表面从点A到点P最短路程为132，A正确；对于B，取DD1中点E，连EM，PE，如图，因P是正

方体1111ABCDABCD−的棱1CC中点，则PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，EM平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由2222PMPEEM=+=，PE=1得，EM=1，因此，点M在侧面11ADDA内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形11ADDA内的

圆弧，如图，圆弧所对圆心角为3，圆弧长为3，B正确；对于C，因11BCMDCDBMVV−−=，而1CBD面积是定值，要三棱锥1MCBD−的体积最大，当且仅当点M到平面C1BD距离最大，如图，点A1是正方形ADD1A1内到平

面C1BD距离最大的点，11max()BCMDACBDVV−−=1211114141323AABDV−=−=−=，C不正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,)2ADP，令1(,0,

)(01)DMtDAttt==，则1(,1,)2PMtt=−−，又11(0,1,)2PD=−，直线PD1与直线PM夹角为，11211324coscos,||||55224tPMPDPMPDPMPDtt

+===−+2235845ttt+=−+，令23[3,5]tx+=，则221cos11521429529()142xxxxx==−+−+，当且仅当1729x=，即297x=，47t=时，cos取最大值2935，而22sin

cos1+=，此时，sin取得最小值435，又152PD=，点1D到直线PM的距离15sinsin2dPD==，于是得min5422335d==，所以1D到直线PM的距离的最小值为23，D正确.故选：ABD关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把

相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.13．3把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．设直线310xy−+=的倾斜角为．由直线310xy−+=化为31y

x=+，故tan3=，又(0,，故3=，故答案为3．一般地，如果直线方程的一般式为()00AxByCB++=，那么直线的斜率为AkB=−，且tanθk=，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是(0,．14．103##133由向量共面的性质列出方程组求解即可.因为a，b，c共面

，所以存在实数x，y，使得cxayb=+，得21,24,22,xyxyxym+=+=+=，解得7,32,310,3xym==−=∴103m=．故答案为：10315．-9【解析】当n为奇数时，1nnaan+−=−，当n为偶数时，1nnn

aa+−=，利用叠加法即得解.当n为奇数时，1nnaan+−=−，当n为偶数时，1nnnaa+−=，故()()()202019181721aaaaaaa=−+−++−()()()1918171

6321aaaaaaa+−+−++−+(19171)(18162)19=−++++++++=−故答案为:-9本题考查了利用叠加法求通项公式，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.1

6．512+根据圆心到切线的距离等于半径求得1MFMNb==，根据中位线求得22NFa=且π2N=，利用等面积法求得N点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点N的坐标代入抛物线方程，化简后求得22ba的值，进而求得

双曲线的离心率.由于直线1FM和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而1OFc=，故1FMMNb==.所以直线1FM的斜率为ba，故直线1FM的方程为()ayxcb=+.由于O是12FF的中点，故OM是三角形12NFF的中位线，故22NFa=且π2N=，由等面积法

得1122222Ncyab=，解得2Nabyc=，代入直线1FM的方程，求得22Nbaxc−=，故222,baabNcc−.由于抛物线和双曲线焦点相同，故,22pcpc==，所以抛物线方程为24ycx=，将N点坐标代入抛物线方程并化简得42240baba−−=，即424210b

baa−−=，解得22512ba+=，故双曲线的离心率为223551122bea++=+==.本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17．（1）2nSn=；21nan=−；（2）()12326nnTn+=−

+.【解析】（1）由1n=，得11a=，进而得2nSn=，再由1nnnaSS−=−即可得解；（2）由()212nnbn=−，利用错位相减法即可求和.（1）当1n=时，112aa+=，则11a=，则2nSn=，当2n

时，121nnnaSSn−=−=−当1n=时，11a=适合上式，则21nan=−，（2）由（1）可知，()212nnbn=−则()21232212nnTn=+++−()23121232212nnTn+=+++−两式相减得()()212222212nnnTn+−

=+++−−()1114(12)=22(32)6122122nnnnn−++−+−=−−−−，∴()12326nnTn+=−+.本题主要考查了利用1nnnaSS−=−求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题.18．(1

)2213yx−=(2)[12,)+（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算||MN、||PQ，从而求得面积的表达式，再求范围即可.(1)由1F：2240xyx++=，得22(2)4xy++=，可知1(2,0)F−，其

半径为2，由2F：224120xyx+−−=，得22(2)16xy−+=，可知2(2,0)F，其半径为4.设动圆半径为r，动圆圆心到1F的距离为n，到2F的距离为m，则有224nrnmmr+=−=+=或224nrm

nmr+=−=+=，即||22nma−==，得1a=，又21||422aFFc==，所以动圆圆心M的轨迹是以1F，2F为焦点的双曲线，由222cab=+，可得23b=.所以动圆圆心M的轨迹方程为2213yx−

=.(2)①当直线1l的斜率存在时，由题意，0k，设1l：2ykxk=−，与双曲线联立2222222(3)443013ykxkkxkxkyx=−−+−−=−=，由于其于双曲线有两个不同的交点，所以2422230Δ164(3)(4+3)=36+360kkkkk−=+−，得2

3k且20k，且22222616(1)||1|3|3kkMNkkk++=+=−−.设2l：12yxkk=−+，即20xky+−=.设圆1F到直线2l的距离为d，则22|22|411dkk−−==++，因为2l交圆1F于P，Q两点，故2d，得23k.且22223||2241kPQdk−=

−=+，由题意可知MNPQ⊥,所以22211412121233PQMPQNkSSPQMNkk++===+−−，因为23k，可得12PQMPQNSS+VV.②当直线1l的斜率不存在时，||4PQ=，||6MN=，所以146122PQMPQNSS+==VV，所以12PQMPQNSS+

VV.19．(1)1122EFabc−=−+；1()2EGac−=.(2)14.（1）用空间向量的加减运算分别表示EF，EG，111111EFEAAFEAACCF+=+=+，11EGEBBG=+，再转化为a，b，c表示即可；（2）先把2EFEG+用a，b，c表示，然后平方，把向量的模和数量积分

别代入，计算出结果后再进行开方运算求得2EFEG+.（1）连结1AF.在直三棱柱111—ABCABC中，11ABABa==，11ACACb==，111AABBCCc===，则1111111111111112222EFEAAFEAACCFABACCCabc===−+−=+++−+

−.11111111()222EGEBBGABBBac=+=−−=.（2）如图，在直三棱柱111—ABCABC中，1AAABC⊥底面，ABABC底面，ACABC底面，所以1AAAB⊥，1AAAC⊥，又A

BAC⊥，所以10BAAAca==，10CAAAcb==，0AABaCb==.1113()22222abcacFGbEaEc−+−++=−=+−，()2222213193314912422442abcabcaba

cEFEGbc=+−=+++−−=++=+，所以214EFEG+=.20．(1)24yx=；(2)2.（1）根据题意即可列出等式472pp++=，即可求出答案；（2）当直线AB的斜率不存在时，2OAOBkk−=，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程为ykxb=+即

点,AB的坐标，把直线AB与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线AB的距离等于半径2，找到k与b之间的关系式，在计算OA，OB的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案.(1)根据题意可列4722ppp++==故抛物线C的方程为24yx=.(2)①当直线AB的斜率不存

在时，直线AB的方程为4x=，(4,4),(4,4)AB−，1,1,2OAOBOAOBkkkk=−=−=.②当直线AB的斜率存在且不为0时，故设直线AB的方程为ykxb=+，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，故22|2|2141kbbdkbk+==

=−+设(,),(,)AABBAxyBxy把直线AB的方程与抛物线进行联立2222(24)04ykxbkxkbxbyx=++−+==22242,ABABkbbxxxxkk−+==.,ABOAOBAByykkxx==()24BAAB

BAABABABOAOBABABABABbxxxxbxxyyyxxykkxxxxxxxx+−−−−=−===222222242411444122bkbbbkkkbbbbbbk−−−−−=====.综上所述：,OAOB的

斜率之差的绝对值为定值为2.21．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)147（1）取线段AH的中点N，连接MN、BN，证明出平面//BMN平面DHE，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出ACDE⊥，翻折后则有CHEH⊥，C

HDH⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点C在平面CDE内作CFDE⊥，垂足为点F，连接FH，分析可知二面角HEDC−−的平面角为CFH，证明出CHFH⊥，计算出CF的长，即可求得CFH的余弦值，即为所求.(1)证

明：取线段AH的中点N，连接MN、BN，翻折前，在矩形ABCD中，E为BC的中点，//BCAD，则12CHCEAHAD==，所以，2AHCH=，翻折后，在三棱锥DABC−中，M、N分别为AD、AH的中点，则//MNDH，M

N平面DHE，DH平面DHE，//MN平面DHE，NQ为AH的中点，且2AHCH=，则ANNHCH==，所以，H为CN的中点，又因为E为BC的中点，所以，//EHBN，EH平面DHE，BN平面DHE，所以，//BN

平面DHE，BNMNN=，所以，平面//BMN平面DHE，因为BM平面BMN，//BM平面DHE.(2)证明：在矩形ABCD中，2CDAB==，112CEBC==，226ACADCD=+=，223DECDCE=+=，因为12CHAH=，则1633CHAC==，因为//BCAD，E为B

C的中点，所以，12EHCEDHAD==，则12EHDH=，所以，1333EHDE==，所以，222EHDHCE+=，则ACDE⊥，在三棱锥DABC−中，则有CHEH⊥，CHDH⊥，因为DHEHH=，所以，CH⊥面DHE

.(3)解：在三棱锥DABC−中，233DH=，33EH=，153ED=，所以，222DHEHDE+=，DHEH⊥，过点C在平面CDE内作CFDE⊥，垂足为点F，连接FH，CH⊥平面DEH，DE平面DEH，CH

DE⊥，因为DECF⊥，CFCHC=，DE⊥平面CFH，FH平面CFH，DEFH⊥，所以，二面角HEDC−−的平面角为CFH，在CDE中，2CD=，1CE=，153ED=，由余弦定理可得2222

30cos215CDEDCECDECDED+−==，所以，2105sin1cos15CDECDE=−=，所以，210sin15CFCDCDE==，因为CH⊥平面DEH，FH平面

DEH，CHFH⊥，所以，2221515FHCFCH=−=，故14cos7FHCFHCF==，因此，二面角HEDC−−的余弦值为147.22．（1）22143xy+=；（2）()21yx=+；

（3）83,14．（1）根据椭圆离心率、点N的坐标求得222,,abc，从而求得椭圆M的方程.（2）利用弦长公式列方程，结合根与系数关系求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程.（3）根据AD的斜率是否存在进行分类讨论，结合判别式、点到直线距离公式求得,ABAD，求得矩形ABCD面积

的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围.（1）由已知可得：22222121914caababc=+==+，解得24a=，23b=，21c=所以椭圆的方程为22143xy+=；（2）因为()11,0F−，2360219ba=，

所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：()1ykx=+，()11,Pxy，()22,Qxy，联立方程()221143ykxxy=++=，消去y整理可得：()22223484120kxkxk+++−=，所以2122834kxxk−+=+，212241234kxxk−=+，所

以()()42222121222264164860141341934kkPQkxxxxkkk−=++−=+−=++，化简可得：24k=，所以2k=，则直线l的方程为：()21yx=+；（3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为

2283ab=，当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为1ykxm=+，联立方程122143ykxmxy=++=消去y整理可得：()222113484120kxkmxm+++−=，所以(

)()222211644344120mkkm=−+−=，解得22134mk=+，所以212211223411mkABkk+==++，同理可得221122111234243111kkADkk+−+==+

+−，所以矩形ABCD的面积224211112221112342434122512111kkkkSABADkkk++++===+++，令2111kt+=，所以211412Stt=+−，又1t，所以()10,1t，则22111149

1224ttt+−=−−+，当112t=，即2t=时，21112tt+−取得最大值为494；所以211491212,4tt+−，所以(83,14S，综上，矩形ABCD的面积的取值范围为83,14．直

线和椭圆相切，可利用判别式为零列方程，求得参数间的等量关系式.