【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第6章 第4讲　复数 含解析【高考】.doc，共(17)页，168.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第4讲复数1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的01实部与02虚部.若03b＝0，则a＋bi为实数，若04b≠0，则a＋bi为虚数，若05a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等a＋bi＝c＋d

i⇔06a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作07|z|或08|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|

＝09a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi←――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi←――――→一一对应平面向量OZ→(a，b∈R)．3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d

∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝10(a＋c)＋(b＋d)i.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝11(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(

c＋di)＝12(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)(c＋di)(c－di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．1．

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．2．zz－＝|z|2＝|z－|2，|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z2|＝|z1

||z2|，|zn|＝|z|n(n∈N)．3．(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．(2)复数减法的几何意义：

复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数．1．(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.2．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i

，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案D解析因为向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，所以向量BA→对应的复数是－2－i，且CA→＝

CB→＋BA→，所以向量CA→对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故选D.3．(2020·浙江高考)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－13C．2D．－2答案C解析因为a－1

＋(a－2)i为实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.4．已知复数z＝2－1＋i，则()A．z的模为2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i答案C解析根据题意可知，2－1＋i＝2(－1－i)2＝

－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为2，z的共轭复数为－1＋i.故选C.5．(2021·新高考Ⅱ卷)复数2－i1－3i在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四

象限答案A解析2－i1－3i＝(2－i)(1＋3i)10＝5＋5i10＝1＋i2，所以该复数在复平面内对应的点为12，12，该点在第一象限，故选A.6．给出下列命题：①两个不是实数的复数不能比较大小；②复数i－1的共轭复数是i＋1；③

若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.其中错误命题的序号是________.答案②③④解析①显然为真命题．对于命题②，复数i－1的共轭复数是－i－1，所以该命题是错误的．对于命题③，若(

x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝04且x2＋3x＋2≠0，所以x＝1，所以该命题是错误的．对于命题④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可取z1＝i，z2＝0，z3＝1，z

1≠z2≠z3，所以该命题是错误的．考向一复数的运算例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z－＋i)＝()A．6－2iB．4－2iC．6＋2iD．4＋2i答案C解析z(z－＋i)＝(2－i)(2＋i＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故选C

.(2)(2020·新高考Ⅰ卷)2－i1＋2i＝()A．1B．－1C．iD．－i答案D解析2－i1＋2i＝(2－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝－5i5＝－i，故选D.(3)(2021·武汉模拟)1－i20211＋i

＝________.答案－i解析1－i20211＋i＝1－i1＋i＝(1－i)2(1－i)(1＋i)＝－2i2＝－i.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一

类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．51.(2020·全国Ⅲ卷)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－iD．i答案D解析因为z－＝1

－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i，所以z＝i.故选D.2．(2021·全国乙卷)设2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4＋6i，则z＝()A．1－2iB．1＋2iC．1＋iD．1－i答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi

,2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.3．(2021·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋2z－1＝()A．2＋2iB．2－2iC．2iD．－2i答案B解析z2＋2z－1＝(1＋i)2＋21＋i－1＝

2＋2ii＝(2＋2i)(－i)－i2＝2－2i.考向二复数运算与复数有关概念的综合问题例2(1)设i是虚数单位，复数a＋i2－i是纯虚数，则实数a＝()A．2B．12C．－12D．－2答案B解析因为a＋i2－i＝(a＋i)(2＋i)56＝(2a

－1)＋(a＋2)i5是纯虚数，所以2a－1＝0且a＋2≠0，所以a＝12.(2)(2021·天津市河北区二模)若复数1＋2ai2－i(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C．16D．－16答

案C解析∵复数1＋2ai2－i＝(1＋2ai)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－2a5＋1＋4a5i的实部和虚部相等，∴2－2a5＝1＋4a5，解得a＝16.故选C.(3)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C．2D．

2答案D解析z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需

把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．4.已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋ti(t∈R)，且满足z－1z2是实数，则z2＝()A．1－12iB．1＋12i

C.12＋iD．12－i答案B7解析∵z－1z2＝(2－i)(1＋ti)＝2＋t＋(2t－1)i是实数，∴2t－1＝0，即t＝12，∴z2＝1＋12i.故选B.5．(2022·宝鸡模拟)已知i为虚数单位，实数a，b满足(2－i

)(a－bi)＝(－8－i)i，则ab的值为()A．6B．－6C．5D．－5答案A解析由题意，得(2a－b)＋(－a－2b)i＝1－8i，∴2a－b＝1，－a－2b＝－8，解得a＝2，b＝3，∴ab＝6.6．(2021·临沂摸底)设z＝i3＋2－i1＋2i，则

z的虚部是()A．－1B．－45iC．－2iD．－2答案D解析根据复数的乘法与除法运算，则z＝i3＋2－i1＋2i＝i2·i＋(2－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝－i－i＝－2i.根据虚部的定义，可知虚部为－2.故选D

.考向三复数的几何意义例3(1)已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋3iB．2C．(－1，3)D．－1＋3i答案D8解析设复数

z对应的点为(x，y)，则x＝|z|·cos120°＝2×－12＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×32＝3，所以复数z对应的点为(－1，3)，所以z＝－1＋3i.(2)(2021·长沙市长郡中学高三适应性考试)已知i为虚数单位，m∈R，若

复数(2－i)(m＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则复数mi1－i的虚部为()A．1B．iC．－1D．－i答案A解析(2－i)(m＋i)＝2m＋1＋(2－m)i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2－m＝

0，得m＝2，复数mi1－i＝2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i－22＝－1＋i，即复数的虚部是1，故选A.(3)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝

1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.复数几何意义的理

解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点

，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．7.(2021·广东六校联考)如图，复数z1，z2在复平面内分别对应点9A，B，则z1·z2＝()A．0B．2＋iC．－2－iD．－1＋2i答案C解析由复数几何意义，知z1＝－1＋

2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.8．(2021·山东聊城月考)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．1＋iB．35＋45iC．1＋45iD．1＋43i答案

B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以z1z2＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.9．(2021·山东省、海南省新高考高三4月模拟)已知(2－i)z－＝i2021，则复平面内与z对应的点在()A．

第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由(2－i)z－＝i2021，得z－＝i20212－i＝i2－i＝i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－15＋25i，∴z＝－15－25i.∴复平面内与z对应的点在第三象限．故

选C.10一、单项选择题1．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A．－1－32iB．－1＋32iC．－32＋iD．－32－i答案B解析由(1－i)2z＝3＋2i，得z＝3＋2i(1－i)2＝3＋2i

－2i＝3i－22＝－1＋32i.故选B.2．(2021·厦门一模)设z＝－i＋3，则z－＋|z－|＝()A．i－3＋10B．i＋3＋10C．－i＋3＋10D．－i－3＋10答案B解析∵z＝－i＋3，∴z－＝i＋

3，∴z－＋|z－|＝i＋3＋10.故选B.3．(2021·海口高考调研考试)在复平面内，复数1＋i1－i对应的点与复数－i对应的点的距离是()A．1B．2C．2D．22答案C解析因为1＋i1－i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i，所以复数1＋

i1－i对应的点为(0,1)．又因为复数－i对应的点为(0，－1)，所以这两点之间的距离为2.故选C.4．(2021·葫芦岛模拟)已知－m＋3i2－i＝n＋2i(m，n∈R)，则复数z＝m＋ni在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二

象限11C．第三象限D．第四象限答案B解析由－m＋3i2－i＝n＋2i，得－m＋3i＝(n＋2i)(2－i)＝(2n＋2)＋(4－n)i，∴－m＝2n＋2，3＝4－n，解得m＝－4，n＝1.∴复数z＝m＋ni在复平面内对应

的点的坐标为(－4，1)，位于第二象限．故选B.5．(2021·湖南省长郡中学高三月考)复数1＋i1－i2021＝()A．1B．－1C．iD．－i答案C解析∵1＋i1－i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i

，∴1＋i1－i2021＝i2021＝(i4)505·i＝i.6．(2021·南宁模拟)若复数z满足(1＋3i)z＝(1＋i)2，则|z|＝()A.54B．55C.102D．105答案D解析由(1＋3i)z＝(1＋i)2＝2i，得z＝2i1＋3i

＝2i(1－3i)(1＋3i)(1－3i)＝6＋2i10＝35＋15i，所以|z|＝352＋152＝105.故选D.7．(2022·成都模拟)已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应

的复数为z，则|z|＝()A.5B．5C．25D．21712答案A解析复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，则z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应

的复数为z＝1＋2i，则|z|＝12＋22＝5.故选A.8．(2021·聊城二模)在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根为1＋i(i为虚数单位)，则a

1＋i＝()A．1－iB．－1＋iC．2iD．2＋i答案B解析∵x1＝1＋i是关于x的实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴x2＝1－i也是此方程的一个虚根，∴a＝－(x1＋x2)＝－(1＋i＋1－i)＝－2.所以a1＋i＝－21＋i＝－2(1

－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋i.故选B.二、多项选择题9．(2021·新高考八省联考)设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是()A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z－2＝z3，则|z1z2|＝|z1z

3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2答案BC解析由复数模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A错误；由z1z2＝z1z3可得z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B正确；因为|z

1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，而z－2＝z3，所以|z－2|＝|z3|＝|z2|，所以|z1z2|＝|z1z3|，C正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝|z1|2，但z1≠z2，D错

误．故选BC.10．(2021·南京市玄武高级中学高三押题)下列命题正确的是()13A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是

z＝z－(z－是z的共轭复数)D．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)且|z－2|＝3，则yx的最大值为3答案BCD解析对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi(a，

b∈R)得b＝0，故C正确；对于D，∵|z－2|＝(x－2)2＋y2＝3，∴(x－2)2＋y2＝3表示如图所示的圆．由图可知yxmax＝31＝3.]11．(2021·石家庄高三模拟)已知i为虚数

单位，则下列结论正确的是()A．复数z＝1＋2i1－i的虚部为32B．复数z＝2＋5i－i的共轭复数z－＝－5－2iC．复数z＝12－12i在复平面内对应的点位于第二象限D．复数z满足1z∈R，则z∈R答案ABD解析

对于A，z＝1＋2i1－i＝(1＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－12＋32i，其虚部为32，故A正确；对于B，z＝2＋5i－i＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故z－＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝12－12i，在复平面内对应点

的坐标为12，－12，位于第四象限，故C不正确；对于14D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2，又1z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．12．(2021·济南模拟)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ－π2＜θ＜π2

(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B．z可能为实数C．|z|＝2cosθD.1z的实部为12答案BCD解析z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cosθ(cosθ＋isinθ)，∵

－π2＜θ＜π2.∴cosθ＞0，sinθ∈(－1,1)．则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限；z可能为实数；|z|＝2cosθ；1z＝12cosθ(cosθ＋isinθ)＝cosθ－isinθ2co

sθ＝12－i2tanθ，1z的实部为12.故选BCD.三、填空题13．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________.答案3解析∵复数z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数z的实部为3.14．

如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.向量CA→所表示的复数为________，向量OB→所表示的复数为________.答案5－2i1＋6i解析CA→＝OA→－OC→，所以CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.OB→15＝

OA→＋OC→，所以OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.15．(2021·开封期中)若|z1－z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数z1＝a＋3i与z2＝2＋bi互为“邻位复数”，a，

b∈R，则a2＋b2的最大值为________.答案8＋27解析由题意，|a＋3i－2－bi|＝1，故(a－2)2＋(3－b)2＝1，∴点(a，b)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，而a2＋b2表示点(a，b)到原点的距离，故a2＋b2的最大值为[22＋(3)2＋1]2＝(1＋7

)2＝8＋27.16．(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案23解析解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝

2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a

＋bi－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i，∴|z1－z2|＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd＝a2＋b2＋c2＋d2－(2ac＋2bd)＝4＋4－(－4)＝23.解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα

＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝3＋i，16∴2(cosθ＋cosα)＝3，2(sinθ＋sinα)＝1.两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得

cosθcosα＋sinθsinα＝－12.∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i|＝4(cosθ－cosα)2＋4(sinθ－sinα)2＝8－8(cosθcosα＋sinθsinα)＝8＋4＝23.四、解答题17．

复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z－1＋z2是实数，求实数a的值．解z－1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13(a＋5)(a－1

)＋(a2＋2a－15)i.因为z－1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.18．已知复数z＝bi(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位．(1)求

复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以z－21＋i＝bi－21＋i＝(bi－2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(b－2)＋(b＋2)i2＝

b－22＋b＋22i.17又因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以m2－4>0，－4m>0，

解得m<－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2)．