【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第6章 第1讲　平面向量的概念及其线性运算 含解析【高考】.doc，共(21)页，1.058 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-6094e0f39318e15091930d4e77f8834a.html

以下为本文档部分文字说明：

1第1讲平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为030的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于041个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量

方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量平行或共线相等向量长度相等且方向06相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向07相反的向量0的相反向量为02．向量的线性

运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律2加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝08b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝09a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝10|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向11相同

；当λ＜0时，λa与a的方向12相反；当λ＝0时，λa＝130λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝14λa＋μa；λ(a＋b)＝15λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点

指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：(1)GA→＋GB→＋

GC→＝0；(2)AG→＝13(AB→＋AC→)；(3)GD→＝12(GB→＋GC→)＝16(AB→＋AC→)．3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，点O不在直线BC上，3则λ＋μ＝1.1．(多选)(20

22·山东日照月考)下列命题中错误的有()A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是方向相反的向量C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>bD．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案BC解析A

显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比较大小，C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D正确．故选BC.2．设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是()①AC→＝AB→＋AD→；②AP→＝12(AB→＋AD→)；

③DB→＝AB→－AD→；④PD→＝PB→.A．1B．2C．3D．4答案C解析由向量加法的平行四边形法则，知①AC→＝AB→＋AD→，②AP→＝12(AB→＋AD→)是正确的；由向量减法的三角形法则，知③DB→＝AB→－AD→是正确的；因为PD→，PB→的长度相等

，方向相反，所以④PD→＝PB→是错误的．故选C.3．如图所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，A，B，C三点在一条直线上，且AC→＝－3CB→，则()A．c＝－12a＋32b4B．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b答案A解析∵AC→＝－

3CB→，∴AC→＝32AB→，∴OC→－OA→＝32(OB→－OA→)，∴OC→＝32OB→－12OA→，即c＝－12a＋32b.故选A.4．(2022·广东湛江月考)若AP→＝12PB→，AB→＝(λ＋1)BP→，则λ＝________.答案－52解析如图，由AP→＝12PB→，可

知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则AB→＝－32BP→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.5．(2022·江苏南通期末)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________.答案[2,6]解析当a与b方向相同时，|

a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2,6]．6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2OA→＋OC→＝2OD→＋OB→，则四边形ABCD的形状为________.答案梯形解析∵2OA→＋OC→＝2OD→

＋OB→，∴2(OA→－OD→)＝OB→－OC→，即2DA→＝CB→，∴DA→∥CB→，且|DA→|＝12|CB→|，∴四边形ABCD是梯形．5考向一平面向量的概念例1(1)(多选)(2021·临沂调研)下列命题中的真命题是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若A，B，C，D

是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b答案BC解析两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且

AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|＝|DC→|，AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→，B正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的

长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，C正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，D不正确．故选BC.(2)(多选)(2022·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题

为()A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案BCD解析A正确，AB→与BA→是相反向量，

长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D错误，当a＋b＝0时，不成立．故选BCD.6平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平

行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．1.设a0为单位向量，有下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a

|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是

反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．(2022·湖南常德月考)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c

也共线；③若AB→与BC→共线，则A，B，C三点在同一条直线上；④a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________.答案③④解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向

量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．③正确，AB→与BC→共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上．④正确，7b与－b反向，a与b同向，故a与－b反向

．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．多角度探究突破考向二平面向量的线性运算角度平面向量线性运算的几何意义例2(2021·长沙一中高三月考)已知A，B，C是

平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝132OA→＋12OB→＋12OC→，则点P一定为△ABC的()A．BC边中线的中点B．BC边中线的三等分点(非重心)C．重心D．BC边的中点答案B解析设BC的中点为M，则12OC→＋12OB→＝OM→，∴OP→＝

13(OM→＋2OA→)＝13OM→＋23OA→，即3OP→＝OM→＋2OA→，也就是MP→＝2PA→，∴P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点．角度平面向量线性运算例3(1)(2021·安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()①PQ→＝32a＋32b；②PT→＝－32a－

32b；③PS→＝32a－12b；④PR→＝32a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④答案C8解析由a＋b＝23PQ→，知PQ→＝32a＋32b，①正确；由a－b＝23PT→，知PT→＝32a－32b，②错误；PS→＝PT→＋b，故PS→＝32a－12b，③正确；PR→＝PT→＋2b

＝32a＋12b，④错误．故选C.(2)在平行四边形ABCD中，DE→＝3EC→，若AE交BD于点M，则AM→＝()A.13AB→＋23AD→B．37AB→＋47AD→C.23AB→＋13AD→D．27AB→＋57AD→答案B解析∵DE→＝3EC→，∴E为线段DC上靠近点C的四等分点．显然△

ABM∽△EDM，即AMEM＝ABED＝43，∴AM→＝47AE→＝47(AD→＋DE→)＝47AD→＋34AB→＝37AB→＋47AD→.故选B.角度利用线性运算求参数例4(1)(2021·江西省

名校联考)在△ABC中，BD→＝DC→，AP→＝2PD→，BP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝()A．－13B．13C．－12D．12答案A解析因为BD→＝DC→，AP→＝2PD→，所以AD→＝12AB→＋12AC→＝32AP→，所

以AP→＝13AB→＋13AC→，所以BP→＝AP→－AB→＝－23AB→＋13AC→，因为BP→＝λAB→＋μAC→，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ＋μ＝－13.故选A.9(2)如图所示，矩形ABCD的对角线相

交于点O，E为AO的中点，若DE→＝λAB→＋μAD→(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.58B．14C．1D．516答案A解析DE→＝12DA→＋12DO→＝12DA→＋14DB→＝12DA→＋14(DA→＋AB→)＝14AB→－34AD→，所以λ＝14，μ＝－34，则λ2＋μ2＝58.

故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与

已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点

，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上答案B解析因为2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延10长线上．4.(2021·

湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF→＝()A.34AB→＋14AD→B.14AB→＋34AD→C.12AB→＋AD→D.34AB→＋12AD→答案D解析根据

题意，得AF→＝12(AC→＋AE→)，又因为AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→，所以AF→＝12AB→＋AD→＋12AB→＝34AB→＋12AD→.故选D.5．(2021·洛阳尖子生第二次联考)在△ABC中，点D在线段BC上，且BD→＝2DC→，点O在线段CD上(与点C，D不

重合)．若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是________.答案0，13解析解法一：AO→＝xAB→＋(1－x)AC→＝x(AB→－AC→)＋AC→，即AO→－AC→＝x(AB→－AC→)，所以CO→＝xCB→，所以|CO→

||CB→|＝x.因为BD→＝2DC→，所以BC→＝3DC→，则0<x<|DC→||BC→|＝13，所以x的取值范围是0，13.解法二：设BO→＝λBC→，λ∈23，1，则AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋λBC→＝AB→＋λ(BA→＋11AC→)＝

(1－λ)AB→＋λAC→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x＝1－λ∈0，13.考向三共线向量定理的应用例5(1)(2021·滨州二模)已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且满足OA→＝1xOB→＋2yO

C→.其中x>0，y>0，则x＋8y的最小值为()A．21B．25C．27D．34答案B解析根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线AB外，OA→＝1xOB→＋2yOC→.设BA→＝λBC→(λ≠0，λ≠1)，则OA→＝OB→＋BA→＝OB→＋λBC→＝OB

→＋λ(OC→－OB→)＝λOC→＋(1－λ)OB→，∴1－λ＝1x，λ＝2y，消去λ得1x＋2y＝1，∴x＋8y＝(x＋8y)1x＋2y＝1＋2xy＋8yx＋16≥17＋22xy·8yx＝25

当且仅当x＝5，y＝52时等式成立.故选B.(2)(2021·通州区一模)设向量e1，e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1－e2，AC→＝e1＋3e2，BD→＝2e1－ke2，且B，C，D三点共线，则BC→＝___

_____(用e1，e2表示)；实数k＝________.答案－e1＋4e28解析因为向量e1，e2是两个不共线的向量，且AB→＝2e1－e2，AC→＝e1＋3e2，所以BC→＝AC→－AB→＝－e1＋4e2，又BD→＝2e1－ke2，且B，C，D三点共线，所

以－1×(－k)－4×2＝0，解得k＝8.(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共12线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为AC→＝λAB→，再利用对

应系数相等列出方程组，进而解出系数．(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足OA→＝λOB→＋μOC→(λ＋μ＝1)．6.已知向量a，b不共线，且c＝λa

＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－12C．12D．－2答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)

b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B.7.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且AM→＝45AB→，连接AC，MN交于点

P，若AP→＝411AC→，则点N在AD上的位置为()A．AD的中点B．AD上靠近点D的三等分点C．AD上靠近点D的四等分点D．AD上靠近点D的五等分点答案B13解析设AD→＝λAN→，因为AP→＝411AC→＝411(AB→＋AD→)＝41154AM→

＋λAN→＝511AM→＋4λ11AN→，又M，N，P三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN→＝23AD→，所以点N在AD上靠近点D的三等分点．一、单项选择题1．如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.DA→－D

C→＝AC→B.DA→＋DC→＝DO→C.OA→－OB→＋AD→＝DB→D.AO→＋OB→＋BC→＝AC→答案D解析对于A，DA→－DC→＝CA→，错误；对于B，DA→＋DC→＝2DO→，错误；对于C，OA→－OB→＋AD

→＝BA→＋AD→＝BD→，错误；对于D，AO→＋OB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→，正确．故选D.2．(2021·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－

λa|≥|λ|a14答案B解析对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|

a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．3．(2021·西北师大附中模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a⊥bC．a＝2bD．a⊥b且|a|＝|b|答案C解析由

于a，b都是非零向量，若a|a|＝b|b|成立，则a与b需要满足共线同向．4．(2022·山东威海月考)设P是△ABC所在平面内的一点，且CP→＝2PA→，则△PAB与△PBC的面积之比是()A.13B．12C．23D．

34答案B解析∵CP→＝2PA→，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.5．(2021·新乡二模)在△ABC中，AE→＝310(AB→＋AC→)，D为BC边的中点，则()A．3AE→＝7ED→B．7AE→＝3ED

→C．2AE→＝3ED→D．3AE→＝2ED→答案C解析因为D为BC边的中点，所以AB→＋AC→＝2AD→，因为AE→＝310(AB→＋AC→)，15所以AE→＝35AD→，则2AE→＝3ED→.6.(2021·河

北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE→＝()A.12AB→－12AC→B．12AB→＋12AC→C.12AB→－14AC→D．12AB→＋14AC→答案A解析因为DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以

E是AC的中点，可得DE→＝12DA→＋12DC→＝12(DC→＋CA→)＋12DC→＝DC→－12AC→＝12AB→－12AC→.故选A.7．(2021·山东济宁月考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且

AD＝3AE，则用向量AB→，AC→表示CE→为()A.29AB→＋89AC→B．29AB→－89AC→C.29AB→＋79AC→D．29AB→－79AC→答案B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE→

＝AE→－AC→＝13AD→－AC→＝13AB→＋13BC→－AC→＝13AB→＋13(AC→－AB→)－AC→＝29AB→－89AC→.8．(2021·河北衡水调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交

于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB→＝2AE→，AD→＝3AF→，AM→＝λAB→－μAC→16(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A．－12B．1C．32D．－3答案A解析AM→＝λAB→－μA

C→＝λAB→－μ(AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→－μAD→＝2(λ－μ)AE→－3μAF→，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12.故选A.二、多项选择题9．(2022·辽宁丹东月考)

下列各式中结果为零向量的是()A.AB→＋MB→＋BO→＋OM→B.AB→＋BC→＋CA→C.OA→＋OC→＋BO→＋CO→D.AB→－AC→＋BD→－CD→答案BD解析AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→，A不

正确；AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0，B正确；OA→＋OC→＋BO→＋CO→＝BA→，C不正确；AB→－AC→＋BD→－CD→＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0，D正确．10．设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ→＝a＋sinα·b，其中α∈(0,2π)

，QR→＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为()A.π6B．5π6C．7π6D．11π6答案CD17解析因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0，即QR→≠0.因为P，Q，R三点共线，所以PQ→与QR→共线，所以存在实数λ，使PQ→＝

λQR→，所以a＋sinα·b＝2λa－λb，所以1＝2λ，sinα＝－λ，解得sinα＝－12.又α∈(0,2π)，故α可为7π6或11π6.11．(2021·普宁市校级二模)已知点P为△ABC所在平面内一点，且PA→＋2

PB→＋3PC→＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A．向量PA→与PC→可能平行B．向量PA→与PC→可能垂直C．点P在线段EF上D．PE∶PF＝1∶2答案BC解析∵PA→＋2PB→＋3PC→＝0，∴PA→＋PC→＋2(PB→＋PC→)＝0，∵E为

AC的中点，F为BC的中点，∴2PE→＋2×2PF→＝0，∴PE→＝－2PF→，∴P为FE的三等分点(靠近点F)，即PE∶PF＝2∶1，故C正确，D错误．∴向量PA→与PC→不可能平行，故A错误；PA→·PC→＝(P

E→＋EA→)·(PE→＋EC→)＝PE→－12AC→·PE→＋12AC→＝|PE→|2－14|AC→|2，则当|AC→|＝2|PE→|＝43|FE→|＝23|BA→|时，向量P

A→与PC→垂直，B正确．12．(2021·福建福清高三模拟)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若AM→＝12AB→＋12AC→，则点M是边BC的中点B．若AM→＝2AB→－AC→，则点M在边BC的延长线上C．若AM→＝－

BM→－CM→，则点M是△ABC的重心D．若AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC的面积的1218答案ACD解析A中，AM→＝12AB→＋12AC→⇒12AM→－12AB→＝12AC→－12AM→，即BM→＝M

C→，则点M是边BC的中点，所以A正确；B中，AM→＝2AB→－AC→⇒AM→－AB→＝AB→－AC→，所以BM→＝CB→，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；C中，设BC的中点为D，则AM→＝－BM→－CM→＝MB→＋MC→＝2MD→，由重心性

质可知C正确；D中，AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12⇒2AM→＝2xAB→＋2yAC→，2x＋2y＝1.设AD→＝2AM→，所以AD→＝2xAB→＋2yAC→，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC的面积的12，所以D正确．故选A

CD.三、填空题13．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝________.答案2解析由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.14．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满

足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________.答案直角三角形解析因为OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，所以|AB→＋A

C→|＝|AB→－AC→|，即AB→·AC→＝0，故AB→⊥AC→，所以△ABC为直19角三角形．15．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上(点E不与

点C，D重合)，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________.答案0<μ<12解析由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB→＝2DC→.∵点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，∴DE→＝λDC→(0<λ<1)．∵AE→＝AD→＋DE

→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→＝AD→＋2μλDE→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0<λ<1，∴0<μ<12.16．(2021·浙江高三模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则|PA→|的最大值是_

_______，|PA→＋PC→|的值是________.答案55解析因为PB⊥PD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图，设BD的中点为O，由题意得BD＝5，所以圆O的半径r＝52，由圆的性质可得|PA

→|max＝2r＝5.由矩形的性质可得O也为AC的中点，所以|PA→＋PC→|＝|2PO→|＝2r＝5.四、解答题17.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB→＝a，AC→

＝b.20(1)试用a，b表示BC→，AD→，BE→；(2)证明：B，E，F三点共线．解(1)在△ABC中，因为AB→＝a，AC→＝b，所以BC→＝AC→－AB→＝b－a，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋14BC→＝a＋14(b－a)＝34a＋14

b，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：因为BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋2334a＋14b＝－12a＋16b＝12

－a＋13b，所以BF→＝12BE→，所以BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．18．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n均为正实数．(1)证明：1m＋1n为定值；

(2)求m＋n的最小值．解(1)证明：设OA→＝a，OB→＝b.21由题意知OG→＝23×12(OA→＋OB→)＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13－ma＋13b，由P，G，Q三点共线得

，存在实数λ，使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3，为定值．(2)由(1)知，1m＋1n＝3，于是m＋n＝131m＋1n(m＋n)＝1

32＋nm＋mn≥13(2＋2)＝43.当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值，为43.