【文档说明】陕西省宝鸡市千阳县中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 PDF版含答案.pdf，共(12)页，387.690 KB，由管理员店铺上传

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第1页高二理科期中考试题共4页千阳中学2020-2021下学年高二数学（理）期中考试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（12题，每小题5分，共60分）1．用反证法证明命题：“,Nab，若ab可被2整除，那么,ab中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是

（）A．,ab都能被2整除B．,ab都不能被2整除C．,ab不都能被2整除D．a不能被2整除2．定积分1201x−的值等于（）A．π2B．π4C．12D．143．已知为虚数单位，则2019i=（）A．1B．iC．i−D．-14．函

数lnyx=的图象在点xe=(e为自然对数的底数)处的切线方程为（）A．10xeye+−+=B．10xeye−+−=C．0xey+=D．0xey−=5．当0x时，2()fxxx=+，则()fx的单调递减区间是（）A．(2,)+B．（0，2）C．(2,)+D．(0,2)6．已知函数()f

x的导函数为()fx，记()1()fxfx=，()21(),fxfx=()1()nnfxfx+=()nN．若()sinfxxx=，则()()20192021fxfx+=（）A．2cosx−B．2sinx−C．2cosxD．2sinx第2页高二理科

期中考试题共4页7．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24B．18C．12D．98．一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球

4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率为（）A．25B．23C．13D．129．函数()yfx=在点0x取极值是()0'0fx=的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件10．832()xx+的常数项为（）A．28B．56C．112D．22411

．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.9

60B．0.864C．0.720D．0.57612．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道

我的成绩，根据以上信第3页高二理科期中考试题共4页息，则（）A．乙可以知道两人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．函数()xfxex=−在［-1，1］上的最小值__________．14．已知函数(

)fx的导函数为()fx，且满足2()32(2)fxxxf=+，则(5)f=__.15．已知不等式22ln0xxa−−恒成立，则a的取值范围是_________..16．观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.三、简答题（5小题，每小题14分，共70分）17．已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的

四位数？（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）第4页高二理科期中考试题共4页18．已知函数()xfxeaxb=−+.（Ⅰ）若()fx在1x=处有极小值1，求实数,ab的值

；（Ⅱ）若()fx在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围．19．已知二项式1nxx+的展开式中各项系数的和为64．（1）求n；（2）求展开式中的常数项．20．已知函数()2lnfxaxx=−，aR

．（1）当1a=时，求函数()fx在点()()1,1f处的切线方程；（2）当1x时，()0fx恒成立，求实数a的最大值．21．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.第5页高二理科期中考试题共4页参考答案：1．B【详解】分析：由题意否定结论即可得到反证法假设的内容，据此即可确定结论.详解：由反证法的定义结合题意否定题中的结论，则：用反证法证明命题：“,Nab，若

ab可被2整除，那么,ab中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是,ab都不能被2整除.本题选择B选项.点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证

法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.2．B根据定积分的含义，只需求出曲线21yx=−在[0,1]x上与x轴围成扇形的面积即可.【详解】由21yx=−得221[0,1]xyx+=，根据定积分的意义可

知，扇形的面积21144S==即为所求.故选B.【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题.3．C【分析】把2019i化简成4(,)nminNmN+的形式，利用44142

43i1,ii,i1,iinnnn+++===−=−进行求解．【详解】2019450433iiii+==−=，故本题选C．【点睛】本题考查了虚数单位i的正整数幂的性质．4．D【分析】首先求出函数的导函数，即

可求出函数在xe=处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；【详解】解：因为lnyx=，所以1yx=，所以1|xeye==又当xe=时，ln1ye==所以切线方程为()11yxee−=−整理得0xey−=故选：D第6页

高二理科期中考试题共4页【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.5．D【详解】解：因为当X>0时，，则222222()'()1xfxxfxxxx−+=+=−=因此所求的单调递减区间为(0,2)，选D6．D【分析】通

过计算1()fx、2()fx、3()fx、4()fx、5()fx，可得43()kfx−、42()kfx−、41()kfx−、4()kfx，最后计算可得结果.【详解】解：()sinfxxx=，则()1()sincosfxfxxxx==+，()21()coscossin2

cossinfxfxxxxxxxx==+−=−，()32()2sinsincos3sincosfxfxxxxxxxx==−−−=−−，()43()3coscossin4cossinfxfxxxxxxxx==−−+=−+，

()54()4sinsincos5sincosfxfxxxxxxxx==++=+，所以猜想：()43()43sincoskfxkxxx−=−+，()42()42cossinkfxkxxx−=−−，()41()41sincoskfxkxxx−=−−−，4()4cossi

nkfxkxxx=−+，由201945051=−，202145063=−，所以()20192019sincosfxxxx=−−，()20212021sincosfxxxx=+，()()201920212sinfx

fxx+=，故选：D．【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.7．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街

道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相第7页高二理科期中考试题共4页同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31

C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；

分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．8．A【分析】根据古典概型概率公式可得．【详解】摸出的两个都是红球的概率为：242662155CC==．故选A．【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题．9．A【分析】函数可导，取

极值时导数为0，但导数为0并不一定会取极值．【详解】解：若函数()yfx=在点0x处可导，且函数()yfx=在点0x取极值，则0()0fx=，若0()0fx=，则连续函数()yfx=在点0x处不一定取极值，例如：3()fxx=．故选：A．【点睛】本题考查了函数的极

值与导数之间的关系，属于基础题．10．C【解析】832xx+的二项展开通项公式为8848832C()C2rrrrrrxxx−−=.令840r−=，即2r=.常数项为228C?2112=，故选C．点睛：求二项展开式有关问题的常见

类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r+项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r+项，由特定项得出r值，最后求出其参数.11．B【来源】2011年普通高

等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）第8页高二理科期中考试题共4页【详解】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.考点：相互独立事件的概率.12．D

【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【分析】由甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，说明乙、丙一人优秀一人良好，再乙看丙的成绩，丁看甲的成绩后，乙、丁可以知道自己的成绩.【详解】甲、乙、丙、丁四位同

学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选：D．【点睛】本题主要考查了合情推

理，属于中档题.13．1【来源】山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题【解析】()100xfxex=−==,因此当10x−时()0fx；当01x时()0fx；函数最小值为(0)1f=14．6【分析】对函数求导，令2x=，求得()2f，再

令5x=，则问题得解.【详解】因为2()32(2)fxxxf=+，故可得()()622fxxf+=，令2x=，可得()()21222ff=+，解得()212f=−，则()624fxx=−，令5x=，解得()530246f=−=.故答案为：6.【点睛】本题考查导数的计算，属基础

题.15．1a【分析】参变分离可得22lnaxx−恒成立，再求()22lnfxxx=−的最小值即可.【详解】由题22lnaxx−恒成立，设()22lnfxxx=−，则第9页高二理科期中考试题共4页()()()21122xxfxxxx−+

=−=.故当()0,1x时，()0fx，()fx单调递减；当()1,x+时，()0fx，()fx单调递增.故()()2min112ln11fxf==−=.故()1fx.故1a.故答案为

：1a【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值解决恒成立的问题,属于基础题.16．2FVE+−=【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9FVE===,得5692F

VE+−=+−=；②五棱锥：6,6,10FVE===,得66102FVE+−=+−=；③立方体：6,8,12FVE===,得68122FVE+−=+−=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2FVE+−=，故答案为2F

VE+−=考点：归纳推理.17．（Ⅰ）1440（Ⅱ）1120（Ⅲ）1040【分析】（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，再将取出的四个数全排列求解即可；（Ⅱ）对0在末位和末位为2,4,6,8（且0不在首位）进行分类，从而得出答案；（Ⅲ）利用捆绑法

，由排列组合、分步乘法计数原理求解即可.【详解】（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成224544106241440CCA==个没有重复的数字的四位数（Ⅱ）当0在末位时，共有2135431046240CCA==个四位偶数当末位为2,4,

6,8（且0不在首位），共有2132543544880CCAA−=个四位偶数则可以组成2408801120+=个四位偶数（Ⅲ）当0在首位时，有21225422160CCAA=种则两个奇数数字相邻的四位数

共有22325532160=1040CCAA−个第10页高二理科期中考试题共4页【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于合理的分步和分类，结合排列组合知识进行求解.18．（Ⅰ）,1aeb==；（Ⅱ）(,0−.【分析】（Ⅰ）由题可得(1)0(1)1ff==，解

方程组求得答案；（Ⅱ）()fx在定义域R内单调递增即()0xfxea=−在R上恒成立，所以,xaexRＮ恒成立，进而求得答案．【详解】（Ⅰ）()xfxea=−依题意得(1)0(1)1ff==，即01eaeab−=−+=解得1aeb==，故

所求的实数,1aeb==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()xfxea=−∵()fx在定义域R内单调递增∴()0xfxea=−在R上恒成立即,xaexRＮ恒成立∵xR时，(0,)xe+，∴0a所以实数a的取值范围为

(,0−.【点睛】本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题．19．（1）6；（2）15.（1）令二项式中的1x=，求出展开式的系数和,列出方程求出n；（2）利用二项展开式的通项公式求出展开式的

通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项.【详解】（1）由题意知:令1x=得264n=，6n=；（2）展开式的通项为33621661()rrrrrrTCxCxx−−+==，令3302r−=得2r=，

展开式中的常数项为15.第11页高二理科期中考试题共4页【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式的系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.20．（1）0xy+=；（2）2e．【分析】（1）因为1a=，所

以()2lnfxxx=−，求出()()11ff、，利用点斜式，即可写出答案.（2）讨论x的取值,参变分离，找到()2lnxgxx=在()1+，上的最小值，即为a的最大值.【详解】（1）()2lnfxxx=−，()12fxxx=

−，()11kf==−，()11f=−，所以切线方程为()11yx+=−−，即0xy+=；（2）()0fx，2ln0axx−，当1x=时，10−，不等式恒成立，aR；当1x时，ln0x，所以2lnxax，设()2l

nxgxx=，()()()2212ln2ln2lnlnxxxxxgxxx−−==，()1,xe时，()0gx¢<，()gx为减函数，(),xe+时，()0gx¢>，()gx为增函数，所以()()min2gxgee==，2ae，综上：2ae，所以a的最大

值是2e．【点睛】本题考查函数上某点的切线方程,含参不等式恒成立问题.属于中档题.求曲线上某点的切线方程的一般思路是：求出切点与切线的斜率，利用点斜式写出直线.含参不等式恒成立问题一般都可以参变分离,将解不等式等价转换为求函数的最值.21.【来源】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

（天津卷）【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于第12页高二理科期中考试题共4页问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得

到的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得221(1())(1)16PBp−=−=解得34p=或54（舍去），所以乙投球的命中率为34.（II）由题设知（I）知1()2PA=，1()2PA=，3()4PB=，1()4PB=，可能取值为0,

1,2,3故2111(0)()()()2432PPAPBB====，12(1)()()()()()PPAPBBCPBPBPA==+2113117()22444232=+=，2139(3)()()()2432PPAPBB====15(2)1(0)(1)(3

)32PPPP==−=−=−==的分布列为171590123232323232E=+++=考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.