【文档说明】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.194 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度第二学期5月份质量监测高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向

量(1,,2)am=，(2,4,)bn=−，若//ab，则mn+=（）A.4−B.6−C.4D.2【答案】B【解析】【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解.【详解】由//ab，知R，使得ab=

，即(1,,2)(2,4,)mn=−，所以1242mn=−==，解得1224mn=−=−=−，所以6mn+=−.故选：B2.记函数()fx的导函数为()fx.若()sinfxxx=+，则

()0f=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】求导，再令0x=即可得解.【详解】()1cosfxx=+，所以()02f=.故选：D.3.某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下关系：x24568y3040506

0a已知y与x的线性回归方程为715yx=+，则a等于（）A.68B.69C.70D.71【答案】C【解析】【分析】根据线性回归方程715yx=+过样本中心点(,)xy求解即可．【详解】由题意可知，1(24568)55

x=++++=，因为线性回归方程715yx=+过样本中心点(,)xy，所以751550y==+，所以1(30405060)505a++++=，解得70a=．故选：C．4.已知函数()lnfxxx=−，则()fx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案

】A【解析】【分析】易得函数()lnfxxx=−在(),0−上是增函数，再利用导数求出函数()fx在()0,+上的单调区间，即可得解.【详解】函数的定义域为0xx，当0x时，()()lnfxxx=−−，因为函数(),lnyxyx==−−在(),0−上都是增函数，

所以函数()lnfxxx=−在(),0−上是增函数，当0x时，()lnfxxx=−，则()111xfxxx−=−=，当01x时，()0fx，当1x时，()0fx¢>，所以函数()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上

单调递增，综上所述，()fx的增区间为()(),0,1,−+，减区间为()0,1，则A选项符合题意.故选：A.5.在4(1)(2)xx−+的展开式中，含3x项的系数为（）A.16B.-16C.8D.-8【答案】B【解析】【分析】利用多项式乘法法则，需求4(2)+x的展开式中2

x和3x的系数．【详解】由题意所求系数为：12244212(1)16CC+−=−．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数．本题需要用多项

式乘法法则计算．6.甲､乙两人投篮命中率分别为12和13，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（）A.736B.1136C.1336D.1736【答案】C【解析】【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率和公式，即可

求解.【详解】甲与乙两个进球数都为0的概率为：22121239=，甲与乙两个进球数都为1的概率为：112211212CC22339=，甲与乙两个进球数都为2的概率为：221112336

=，所以甲与乙进球数相同的概率12113993636++=，故选：C7.今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电

影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（）A.964B.916C.1932D.4564【答案】B【解析】【分析】对观看《飞驰人生2》的人数进行分类讨论，利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解.【详解

】分两种情况讨论：(1)小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为：12333CA18946432==；(2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三

人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为：22333CA18946432==；综上，恰有两人看同一部影片的概率9923216=；故选：B8.已知函数()21ln2fxaxx=+，若对任意正数1x，()212xxx，都有(

)()12121fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围（）A.10,4B.10,4C.1,4+D.1,4+【答案】C【解析】【分析】根据()()()()121122121fxfxfxxfxx

xx−−−−恒成立，得到()()Fxfxx=−在()0,+单调递增求解.【详解】解：不妨令120xx，则()()()()121122121fxfxfxxfxxxx−−−−，即()()Fxfxx=−在()0,+单调递增，因为(

)()21ln2Fxfxxaxxx=−=+−，则()'10aFxxx=+−≥在()0,+上恒成立，即2axx−+，在()0,+上恒成立，则()2maxaxx−+≥，又22111244xxx−+=−−+，∴1a4．故选：C二､多选题：本题

共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（）A.共有120种不同的排法B.当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C.当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法

D.当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法【答案】AC【解析】【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D.【详解】对于A，共有55A120=种不同的排法，故A正确；对于B，共有2424AA48=种不同的排法

，故B错误；对于C，共有3234AA72=种不同的排法，故C正确；对于D，共有2333AA36=种不同的排法，故D错误.故选：AC.10.已知1002100012100(12)xaaxaxax−=++++，则（）A.展开式各项的二项式系数的和为1002B.展开式各项的系数

的和为1−C.02410013599aaaaaaaa++++++++D.123100231000aaaa++++【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项判断即可得解.【详解】对于A，100(

12)x−的展开式各项的二项式系数的和为1002，A正确；对于B，令1x=，得100012100(12)1aaaa−=++++=，即100(12)x−的展开式各项的系数的和为1，B错误；对于C，令=1x−，得100100012100(12)3aaaa+=−+−+=，则100024

100132aaaa+++++=，10013599132aaaa−++++=，即有02410013599aaaaaaaa++++++++，C正确；对于D，对1002100012100(12)xaaxaxax−=++++两边求导，得992991

23100100(12)(2)23100xaaxaxax−−=++++，令1x=，得99123100100(12)(2)231002000aaaa−−=++++=，D错误.故选：AC11.如图所示的空间几何体是由高度相等的

半个圆柱和直三棱柱ABFDCE−组合而成，ABAF⊥，4ABADAF===，G是CD上的动点．则（）A.平面ADG⊥平面BCGB.G为CD的中点时，//BFDGC.存在点G，使得直线EF与AG的距离为25D.存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为60【答案】AB

【解析】【分析】选项A，由DGCG⊥，ADCG⊥，可得CG⊥平面ADG，再由面面垂直的判定定理可作出判断；选项B，取AB的中点H，连接AH，GH，可证//DGAH，//AHBF，从而作出判断；选项C，先证//EF平面ADG，从而将原问题转化为求点F到平面ADG的距离，再以A为坐标原点建

立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可作出判断；选项D，利用向量法求线面角，即可得解．【详解】对于选项AA，由题意知，DGCG⊥，AD⊥平面CDG，因为CG平面CDG，所以ADCG⊥，又=DGADD，DG、AD平面ADG，所以CG⊥平面ADG，因为CG平面BCG，所以

平面ADG⊥平面BCG，即选项A正确；对于选项B，当G为CD的中点时，取AB的中点H，连接AH，GH，则//ADGH，ADGH=，所以四边形ADGH是平行四边形，所以//DGAH，因为ABF△和ABH都是等腰直角三角形，所以45==A

BFHAB，所以//AHBF，所以//BFDG，即选项B正确；对于选项C，因为//EFAD，且EF平面ADG，AD平面ADG，所以//EF平面ADG，所以直线EF与AG的距离等价于直线EF到平面

ADG的距离，也等价于点F到平面ADG的距离，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0F，()0,0,0A，()0,0,4D，设点(),,4Gmn−，其中04m，04n，由射影定理知，2(4)mnn=−，即

224mnn+=，所以()4,0,0AF=，()0,0,4AD=，(),,4AGmn=−，设平面ADG的法向量为(),,nxyz=，则4040nADznAGmxnyz===−++=，取xn=，则ym=，0z=，所以()

,,0nnm=，若直线EF与AG的距离为25，则点F到平面ADG的距离为25，而点F到平面ADG的距离22442244254AFnnndnnnnm=====+，所以不存在点G，使得直线EF与AG的距离为25，即选项C错误；对于选项D，()0,4,4C，()0,4,0B，所以

()0,0,4BC=，(),4,0CGmn=−−，()4,4,4CF=−−，设平面BCG的法向量为(),,mabc=，则40(4)0mBCcmCGmanb===−+−=，取bm=，则4an=−，0c=，所以(

)4,,0mnm=−，若直线CF与平面BCG所成的角为60，则sin60cos,CFm=224(4)43243(4)CFmnmCFmnm−−===−+，由()24mnn=−，知24mnn−=−，代入上式整理得25850mmnn−+=，此方

程无解，所以不存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为60，即选项D错误．故选：AB．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量()22,XN，且(1)0.7PX=，则(23)PX=_______

___.【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】因为随机变量()22,XN，且(1)0.7PX=，所以(23)(12)(1)0.50.2PXPXPX==−=.故答案为：0.2

.13.已知事件,AB相互独立.若()()0.6,0.3PAPBA==，则()PAB=__________.【答案】0.12##325【解析】【分析】根据条件概率公式和相互独立事件的概率公式即可得解.【详解】因为事件,AB相互独立，所以事件,A

B相互独立，所以()()()()()()()0.3PABPAPBPBAPBPAPA====，所以()()()()()()10.12PABPAPBPAPB==−=.故答案为：0.12.14.若函数()334fxxxa=−+有绝对值不大于1的零点，则实数a的取值范围是______

____.【答案】11,44−【解析】【分析】令()3304fxxxa=−+=，得334axx=−+，由题意可得方程334axx=−+有绝对值不大于1的解，构造函数()33,1,14gxxxx=−+−，利用导数求出函数()gx的值域即可

得解.【详解】令()3304fxxxa=−+=，得334axx=−+，因为函数()334fxxxa=−+有绝对值不大于1的零点，所以方程334axx=−+有绝对值不大于1的解，令()33,1,14gxxxx=−+−，

则()2334gxx=−+，令()0gx，得1122x−，令()0gx，得112x−−或112x，所以函数()gx在11,22−上单调递增，在111,,,122−−上单调递减，又()()11111

11,,,1424244gggg−=−=−==−，所以()11,44gx−，所以11,44a−.故答案为：11,44−.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函

数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造

新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证

明过程或演算步骤.15.已知函数()()1exfxx=−.（1）求曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx在1,2−上的最值.【答案】（1）ee0xy−−=；（2）2max()(2)efxf==，min()(0)1fxf==−.【解析】【分析】（1

）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数()fx在1,2−上的单调区间，再求出最值.【小问1详解】函数()()1exfxx=−，求导得()exfxx=，则(1)ef=，而(1)0f=，所以曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程为e(1)yx=−，即ee0x

y−−=.【小问2详解】由（1）知，当10x−时，()0fx，当02x时，()0fx，函数()fx在[1,0]−上单调递减，在[0,2]上单调递增，而22(1),(2)eeff−=−=，所以当2x=时，函数()fx取得最大值2max()(2)efxf==，当0x=时，函数(

)fx取得最小值min()(0)1fxf==−，16.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是梯形，//AB,DCDADC⊥，且111,2ADDDCDABE====是AB的中点.（1）求点C到平面1BCD的距离；（2）求二面角1BCD

E−−的正弦值.【答案】（1）66；（2）13.【解析】【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面1BCD法向量，再由点到平面距离的向量求法求解.（2）求出平面1ECD的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在直四棱柱111

1ABCDABCD−中，DADC⊥，则直线1,,DADCDD两两垂直，以D为原点，直线1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，而//ABDC，且111,2ADDDCDABE====是AB的中点，则1(0,0,0),(1,2,0),(0,1

,0),(0,1,1),(1,1,0)DBCCE，1(1,2,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0)DBDCDEDC====，设平面1BCD的法向量(,,)nabc=，则1020nDCbcnDBab=+==+=，令1c=，得(2,1,1

)n=−，所以点C到平面1BCD的距离||166||6nDCdn===.的【小问2详解】设平面1ECD的法向量(,,)mxyz=，则100nDCyznDExy=+==+=，令1z=，得(1,1,1)m=−，设二面角1BCDE−−的大小为，则||422|cos||co

s,|3||||63mnmnmn====，所以二面角1BCDE−−的正弦值21sin1cos3=−=17.“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表

：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值0.005=独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为X，求X的分布列与数学期望.附

：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20Px0.100.050.0100.0050.0010x2.7063.8416.6357.87910.828【答

案】（1）能认为有关（2）分布列见解析，()34EX=【解析】的【分析】（1）求出2，再对照临界值表即可得出结论；（2）先求出任抽取1人不满意的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布求分布列和期望即可.【小问1详解】零假设0:H“是否满意”与“游客年龄”

没有关联，()()()()()222408020401008.8897.879804080100402010020−=++++，所以依据小概率值0.005=的独立性检验，可以推断零假设0H不成立，即能

认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；【小问2详解】由题意，任抽取1人不满意的概率为402012404+=，则13,4X，所以()300311270C14464PX==−=，()21131127

1C14464PX==−=，()12231192C14464PX==−=，()333110C464PX===，所以X的分布列为：X0123P2764276496416

4所以()13344EX==.18.已知函数21()(1)ln,R2fxaxaxxa=+−−.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0a时，证明：3()22fxa−；（3）若函数2()()Fxaxxfx=−−有两个极值点11222,()3xxxx，求12()()FxFx−

的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）3(0,ln2)4−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再按0,0aa分类讨论导函数值大于0、小于0的解集.（2）由（1）的信息，求出()fx的最小值，再证明min)2(32afx

−，构造函数并利用导数证明不等式.（3）求出函数()Fx的导数，由极值点的意义求得121211,xxxxa+==，再计算12()()FxFx−并整理，构造函数，借助导数探讨单调性即得.【小问1详解】函数21()(1)ln2fxaxaxx=+

−−的定义域为(0,)+，求导得1(1)(1)()(1)xaxfxaxaxx+−=+−−=，当0a时，()0fx，函数()fx在(0,)+上单调递减，当0a时，由()0fx，得10xa，由()0fx，得

1xa，则函数()fx在1(0,)a上单调递减，在1(,)a+上单调递增，所以当0a时，函数()fx的递减区间是(0,)+，无递增区间；当0a时，函数()fx的递减区间是1(0,)a，递增区间是1(,)a+.【小问2详解】由（

1）知，当0a时，函数()fx在1xa=取得最小值111()1ln2faaa=−−，要证3()22fxa−，只需证明3112ln102111ln2aaaaa−−−−−，令()ln1gxxx=−−，求导得1()1gxx=−，当01x时，()0gx，当1x时，()0

gx，则函数()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，0,()(1)0xgxg=，所以当0a时，11ln10aa−−，即3()22fxa−成立.【小问3详解】函数21()ln2Fxxaxax=+−的定义域为(0,

)+，求导得21()axaxFxx−+=，由函数()Fx有两个极值点11222,()3xxxx，得方程210axax−+=在2(0,)3上有两个不等实根，设2()1mxaxax=−+，对称轴为12x=，(1)10m=，则21212140,1,0aaxxxxa=−+==，且

111024ma=−+，24210393maa=−+，即942a；22221121112221212211()()lnlnln()()222xaFxFxxaxaxxaxaxxxaxxx−=+−−−+=+−−−22

221111212121212222211ln()()()ln()ln()222xxxxxaaxxaxxxxxxxxxxx=+−−−+=−−=−−，令12xtx=，由12203xx，得121220()3xxxx+，即201(1)3tt+，解得112t，

令111()ln(),122httttt=−−，求导得2211111()(1)0222htttt=−−=−−，因此函数()ht1(,1)2上单调递减，1(1)()()2hhth，即30()ln24ht−，所以12()()FxFx

−的取值范围是3(0,ln2)4−.【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.19.现有外表相同，编号依次为()1,2,3,,3nn的袋子，里面

均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第()1,2,3,,kkn=个袋中有k个红球，nk−个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当4n=时，①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是

3号袋子的概率；在（2）记第三次取到白球的概率为p，证明：2p.【答案】（1）①12；②16（2）证明见解析【解析】【分析】（1）①4n=时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概

率；②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第k个袋子的概率为14，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解；（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第k个袋子的概率为1n，由此能求

出第三次取出的是白球的概率，进而得证．【小问1详解】①4n=时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回），第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，∴第三次取出为白球的概

率为21222122114324324322++=；②设选出的是第()1,2,3,4kk=个袋，连续三次取球的方法数为43224=，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），若

1k=则，取法数为()()()432kkk−−−，若2k=或3k=或4k=，取法数为0，也满足关系()()()432kkk−−−，故取（白，白，白）的取法可表示为()()()432kkk−−−，同理（白，红，白），取法数为

()()43kkk−−，（红，白，白），取法数为()()43kkk−−，（红，红，白），取法数为()()14kkk−−，从而第三次取出的是白球的种数为：()()()()()()()()()432434314kkkkkkkkkkkk−−−+−−+−−+−−(

)324k=−，则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率44kkp−=，则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率314p=，而选到第k个袋子的概率为14，故所求概率为：()44431110141113444416168kkkkikppki====−

===−==，所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为11144368=；【小问2详解】设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为()()12nnn−−，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为()()()12nknkn

k−−−−−，（白，红，白），取法数为()()1knknk−−−，（红，白，白），取法数为()()1knknk−−−，（红，红，白），取法数为()()1kknk−−，从而第三次取出是白球的种数为：()()()()()()()()()12111nknknkknknkknknkkknk−−−−−

+−−−+−−−+−−()()()12nnnk=−−−，则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率knkpn−=，而选到第k个袋子的概率为1n，所以()1221110111111112222nnnnkkkkinknppnkinnnnnnn

−====−−===−===−．【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题：根据题意首先分类讨论不同k值情况下抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想

)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.的的