【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第1章 第2讲　充分条件与必要条件 含解析【高考】.doc，共(15)页，144.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第2讲充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的01充分条件，q是p的02必要条件p是q的03充分不必要条件p⇒q且qpp是q的04必要不充分条件pq且q⇒pp是q的05充要条件p

⇔qp是q的06既不充分也不必要条件pq且qp1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)

若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(2022·海南月考)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的()A．充分不必要条

件B．必要不充分条件2C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不一定能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件，故选B.2．(2020·天津高考)设a

∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，据此可知，“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件．故选A.3．(

2021·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，

乙甲，乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁丙，所以甲⇒丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件．故选A.4．(2022·承德摸底)“A＝60°”是“cosA＝12”的()A．充分不必要条件B．必

要不充分条件3C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由A＝60°，可得cosA＝12；由cosA＝12，可得A＝±60°＋k×360°，k∈Z.所以“A＝60°”是“cosA＝12”的充分不必要条件．故选A.5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_____

___.答案(－∞，2]解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．6．函数f(x)＝x2＋3mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.答案m＝－23解析∵函数f(

x)＝x2＋3mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－3m2，∴函数f(x)＝x2＋3mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－3m2＝1，即m＝－23.考向一充分、必要条件的判断例1(1)(2021·厦门一模)“x2>4”是“3x>9”的()A．充分不必

要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为x2>4⇔x>2或x<－2,3x>9⇔x>2，记A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x>2}，则BA，所以x2>4不能推出3x>9,3x>9能推出

x2>4，所以“x2>4”是“3x>9”4的必要不充分条件．故选B.(2)(2021·烟台模拟)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分

也不必要条件答案B解析由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m⊂α，不满足充分性，由l⊥α，m∥α，得l⊥m，满足必要性，故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件．故选B.充分、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(

2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．1.(2021·温州模拟)已知x∈R，则“x≠0”是“x＋|x|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解

析由x＋|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，故“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·盐城一模)已知a，b都是实数，那么“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的()A．充分不必要条件B．必要不

充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5答案A解析方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆⇔方程(x－1)2＋y2＝a＋1表示圆⇔a＋1>0⇔a>－1.由a>2能推出a>－1，但是a>－1推不出a>2，故“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的充分不必要条件．考向二根据充

分、必要条件求参数的范围例2(2021·漳州模拟)已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1<x<1，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)答案D解析由题可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)

>0的解集的一个真子集．当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1){x|x≠3}；当a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1,1)(－∞，3)，符合题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解

集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1,1)(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论

”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或

充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．3.已知p：(x－m)2

>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，6则实数m的取值范围为()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1)D．[－7,1]答案B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m

或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B.考向三充要条件的证明与探求例3已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证

明(1)充分性：如果ac<0，则b2－4ac>0且ca<0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．(2)必要性：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，则Δ＝b2－4ac>0，ca<0，所以ac<0.由(1)(2)知，一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.1．充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；

若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)充要条件的证明问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可以先进行等价转换，然后加以证明．提醒：证明时一定要注意证明的方向性，理清原命题的条件与结论

，再辨清7充分性与必要性的证明方向．2．探求充要条件的两种方法(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．(2)非等

价法：先寻找必要条件，再找充分条件，即从必要性和充分性两方面说明．4.(2022·邢台模拟)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根均为整数的充要条件．解因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－

4m－5＝0，且两方程都要有实根，所以Δ1＝16(1－m)≥0，Δ2＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m∈－54，1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z，4m∈Z，4m2－4m－5∈Z.所以m为

4的约数．又因为m∈－54，1，所以m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；而当m＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.8一、单项选择题1．(2021·湖北百校

大联盟联考)若b＝10a，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若a能被5整除，则b＝10a必能被5整除；若b能被5整除，则a＝b10未必能被5整除．所以“b能被5

整除”是“a能被5整除”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·玉林模拟)设x∈R，则“x>0”是“2x>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若2x>2，则x>1，因为(1，＋∞)(0，＋∞)，所以“x>0”是“2

x>2”的必要不充分条件．故选B.3．(2021·重庆一中高三月考)“(a－2)3>(b－2)3”是“lga>lgb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B9解析充分性：(a－2)3>(b－2)3⇒a－2

>b－2，明显地有a>b，由于对数的真数大于0，所以无法推导出lga>lgb，所以充分性不成立；必要性：由lga>lgb得a>b>0，所以a－2>b－2，所以(a－2)3>(b－2)3，所以必要性成立．

故选B.4．(2022·济宁模拟)已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵函数f(x)是R上的奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)

＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是R上的奇函数，当x1＝x2＝2时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性

不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．5．(2022·山东淄博摸底)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析|a－3b|＝|3a＋b|⇔(

a－3b)2＝(3a＋b)2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，因此“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．6．(2021·泰安模拟)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()10

A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)答案A解析因为q：|x＋2a|<3，所以q：－2a－3<x<－2a＋3，记A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}；p：x≥a，记为B＝{x|x

≥a}．因为p是q的必要不充分条件，所以AB，所以a≤－2a－3，解得a≤－1.故选A.7．(2021·镇江模拟)“sinα＝22”是“sinα＝cosα”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析由sinα＝22，可得α＝π4＋2k

π，k∈Z或α＝3π4＋2kπ，k∈Z，当α＝3π4＋2kπ，k∈Z时，sinα≠cosα，即充分性不成立；反之，当sinα＝cosα时，其中α可为5π4，此时sinα＝－22，即必要性不成立，所以“sinα＝22”是“sinα＝cosα”的既不充分也不必要条件．故选D.8．(2021·衡水中

学质检)若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．(4，＋∞)D．(－∞，4)答案A解析若2x>a－x，即2x＋x>a，设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知，不等式2x＋

x>a成立，即f(x)>a成立能得到x>1，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，所以a>3.9．(2021·重庆市第七中学模拟)“a>－2”是“函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数”的()11A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A

解析函数f(x)＝2x2＋4ax＋19的图象的对称轴为直线x＝－a，若函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数，则－a≤2，所以a≥－2，所以“a>－2”是“函数f(x)＝2x2＋4ax＋19在(2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A.10．(2021·浙

江杭州高级中学模拟)设A＝{(x，y)|y＝kx}，B＝{(x，y)|y＝2x－1}，则“－1≤k≤1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因

为A∩B≠∅，所以y＝kx与y＝2x－1有交点，即方程kx＝2x－1在12，＋∞有解，所以k＝2x－1x＝2x－1x2＝－1x－12＋1，所以0≤k≤1，故“－1≤k≤1”是“A∩B≠∅”的必要不充分条件．故选B.二、多项选择题11．(2021·辽宁实

验中学高三二模)下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是()A．p：a＝0，b＝0，q：a＋b＝0，ab＝0B．p：a＝1，b＝1，q：a＋b＝2，ab＝112C．p：a>0，b>0，q：a＋b>0，ab>0D．p：

a>1，b>1，q：a＋b>2，ab>1答案ABC解析对于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；对于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；对于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也

成立，∴q是p的充分必要条件；对于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝12，∴q是p的必要不充分条件．故选ABC.12．(2021·山东德州模拟)下列叙述中正确的是()A．“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B．若

a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．若a，b，c∈R且a＞0，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”答案ACD解析a>

1⇒1a<1，1a<1a>1，∴“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，A正确；当b＝0时，若a>c成立，而ab2＝0＝cb2，充分性不成立，B错误；令f(x)＝x2＋x＋a，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则f(0)<0，则有a<0，∴“a<1”是“方

程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确；当a>0时，ax2＋bx＋c≥0可以推出b2－4ac≤0，而b2－4ac≤0也可以推出ax2＋bx＋c≥0，D正确．故选ACD.三、填空题13．(2021·珠海市第二中学模拟)《墨子·经说上》上说：“小故

，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________(选填13“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．答案必要条件解析由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是

导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．14．(2021·昆明诊断)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________

.答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S⊆P，∴1－m≥－2，1＋m≤10，1－m≤1＋m，解得0≤m≤3.故m的取值范围为[0,3]．15．(2021·青岛二中检测)直线

x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.16．(2022·湖北襄阳测试)已知

p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________.答案13，38解析由2－m>m－1>0，得

1<m<32，即q：1<m<32.因为p是q的充分条件，所以3a≥1，4a≤32，解得13≤a≤38.14四、解答题17．(2021·重庆模拟)已知p：3－m2<x<3＋m2，q：x(x－3)<0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范

围．解记A＝x3－m2<x<3＋m2，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}．若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，可分两种情况讨论：①若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时AB，符合题意；②若

A≠∅，即3－m2<3＋m2，解得m>0，要使AB，应有3－m2≥0，3＋m2<3，m>0或3－m2>0，3＋m2≤3，m>0，解得0<m<3.综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．18．

已知关于x的方程ax2＋2x＋1＝0，求这个方程至少有一个负实根的充要条件．解(1)当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－12，符合题目要求；(2)当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.又设方程ax2＋2x＋1＝0的两根为x1，x2，则由

根与系数的关系得x1＋x2＝－2a，15x1x2＝1a.①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根的充要条件是a≤1，1a<0，得a<0.②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是

a≤1，－2a<0，1a>0，得0<a≤1.综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.