【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第1章 第3讲　全称量词与存在量词 含解析【高考】.doc，共(15)页，196.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第3讲全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“01∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任

意一个x，有p(x)成立”用符号简记为03∀x∈M，p(x).(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为04∃x∈M，p(x).2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M

，p(x)05∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)06∀x∈M，綈p(x)1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面都是任意的所有的至多至少2词语有一个

有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n答案C解析命题p是存在量词命题，故綈p是全称量词命题，又“

>”的否定是“≤”，因此綈p为“∀n∈N，n2≤2n”．2．(2021·山东日照模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边

形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析全称量词命题的否定为存在量词命题，即綈p为“有的正方形不是平行四边形”．3．下列四个命题中是真命题的是()A．∃x∈Z,1<4x<3B．∃x∈Z,5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0答案D解析A中，

14<x<34，与x∈Z矛盾，不成立；B中，x＝－15，与x∈Z矛盾；C中，x≠±1时，x2－1≠0；D是真命题．34．(2022·福建宁德质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞

)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.5．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是

________.答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形解析全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．6．(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2

”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可)．答案－1解析由于当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意．例如x＝－1时，x＋1x＝－2.考向一全称量词

命题、存在量词命题真假的判断例1(1)(2021·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1>04C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2答案D解析A显然

是真命题；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B是真命题；当0<x<10时，lgx<1，所以C是真命题；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所以D是假命题．故选D

.(2)(多选)(2022·江西师大附中月考)下列命题为假命题的是()A．∃x∈R，ln(x2＋1)<0B．∀x>2,2x>x2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案ABD解析∵x2＋1≥1，∴l

n(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝π6∈(0，π)时，sinx＝12，cosx＝32，sinx<cosx，故D是假命题．故选ABD.

判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路1.(多选)下列命题中是真命题的有()A．∀x∈R,3x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案ACD5解析由指数函数的性

质知，A是真命题；当x＝1∈N*时，(x－1)2＝0，故B是假命题；当x＝110时，lgx＝－1<1，故C是真命题；正切函数y＝tanxx≠kπ＋π2，k∈Z的值域为R，故∃x∈R，tanx＝2，D是真命题．2．(多选)(2021·厦门外国语学校期中)有

如下命题，其中真命题是()A．∃x∈(0，＋∞)，12x＜13xB．∃x∈(0,1)，log12x＞log13xC．∀x∈(0，＋∞)，12x＞log12xD．∀x∈0，13，12x＜llog13x答案BD解析当x＞0时

，y＝12x的图象永远在y＝13x的图象上方，因此A错误；当0＜x＜1时，y＝log12x的图象永远在y＝log13x的图象上方，因此B正确；当x＝12时，12＜1＝log1212，因此C错误；当0＜x＜13时，log13x＞1＞12x，因此D正确．故选BD.考向二含有量词的命题的否定例2(1)(

2021·常州一模)设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是()A．所有常数数列都不是等比数列B．有的常数数列不是等比数列C．有的等比数列不是常数数列D．不是常数数列的数列不是等比数列答案B解析全称量

词命题的否定是存在量词命题．故綈p是有的常数数列不是等6比数列．(2)(2022·山东德州调研)命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R,1<f(x)≤2B．∃x∈R,1<f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)

>2答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论．(2)改写量词

：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．3.(2022·衡水月考)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x

∈P，使得x∉Q答案B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P.故选B.4．(2022·商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C

．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数7答案B解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．考向三由命题的真假求参数的取值

范围例3(1)(2021·郑州第一次质量预测)若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案[－3，3]解析命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ

＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.(2)(2021·济南质检)已知函数f(x)＝x2－x＋1x－1(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．①若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；②若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1

)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.答案①[3，＋∞)②(1，3]解析①因为f(x)＝x2－x＋1x－1＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若∃x∈[

2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．②因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则a2≤3且a>1，解得a∈(1，3]．根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．5.已知命题p：∃x∈(0,1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则

实数a的取值范围是()8A．a>1B．a≥eC．a≥1D．a>e答案B解析由已知，得綈p：∀x∈(0,1)，ex－a<0是真命题，所以a>ex对∀x∈(0,1)恒成立，因为当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，所以a≥e.6．(2022·广西钦州质检)已知命题p：“∃x∈R,4x－2x＋1＋

m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.答案(－∞，1]解析因为命题綈p是假命题，所以p是真命题，即∃x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，所以m＝－4x＋2x＋1，x∈R有解即可．令y＝－4x＋2x＋1＝－(2x)2＋2×2x,2x>0，利用二次函数的性质可知y≤1，故m≤

1.一、单项选择题1．(2021·枣庄二模)命题“∀n∈N，n2－1∈Q”的否定为()A．∀n∈N，n2－1∉QB．∀n∉N，n2－1∈QC．∃n∈N，n2－1∉QD．∃n∈N，n2－1∈Q答案C解析“∀n

∈N，n2－1∈Q”的否定为“∃n∈N，n2－1∉Q”．2．(2022·惠州摸底)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C

．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数答案D解析由存在量词命题的否定可得綈p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函9数”．3．(2021·辽宁沈阳模拟)费马大定理又被称为“费马最后的定理”，即当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝z

n没有正整数解．用n＝3来验证，命题“∀x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3”的否定为()A．∀x，y，z∉N*，x3＋y3＝z3B．∃x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3C．∀x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3D．∃x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3答案D解析全称量词命题的否定是存在量词命

题，其否定的步骤是：第一步，改变量词；第二步，否定结论．故选D.4．(2022·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，

f(－x)≠－f(x)C．∃x∈R，f(－x)≠f(x)D．∃x∈R，f(－x)≠－f(x)答案C解析设命题p：∀x∈R，f(－x)＝f(x)，∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则綈p是真命题，又綈p：∃x∈R，f(－x)≠f(x)，故选C.5．(2022·广东湛江月

考)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x∈0，π2，f(x)<0，则()A．p是假命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：∃x∈0，π2，f(x)≥0C．p是真命题，綈p：∀x∈0，π2，

f(x)≥010D．p是真命题，綈p：∃x∈0，π2，f(x)≥0答案C解析当x∈π4，π2时，sinx<1，tanx>1.此时sinx－tanx<0，故命题p为真命题．由于命题p为存在量词命题，所以命题p的否定为全称量词命题，则綈p为∀x∈0，π2，f(x)≥

0.6．(2022·云南玉溪二调)已知函数f(x)＝x12，则()A．∃x∈R，f(x)<0B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，f(x1)－f(x2)x1－x2<0D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)

答案B解析幂函数f(x)＝x12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A，C错误，B正确；D中当x1＝0时，结论不成立．7．(2022·河南信阳调研)已知命题p1：存在a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；p2：

∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；p3：对任意x∈R，x4<x5；p4：任意x∈R，x2－x＋1>0.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析p1是真命题．因为当a＝1时，y＝

2x＋2－x在R上为偶函数；p2是假11命题．因为∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1；p3是假命题．因为x＝12时，124>125，x4<x5不成立；p4是真命题．因为x2－x＋1＝x－122＋34>0对任意x∈R都成立．综上

，真命题的个数为2.8．(2022·济南质检)已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．[0,4]C．[4，＋∞)D．(0,4)答案D解析因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋1

4≤0”是假命题，所以“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题．则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.9．(2022·正定摸底)已知命题p：a∈D，命题q：∃x∈R，x2－ax－a≤－3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为

()A．(－∞，－6]∪[2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(0，＋∞)C．(－6,2)D．[－4,0]答案B解析命题q：∃x∈R，x2－ax－a≤－3，则x2－ax－a＋3≤0，所以Δ＝a2－4(－a＋3)≥0，解

得a≤－6或a≥2，又p是q成立的必要不充分条件，所以(－∞，－6]∪[2，＋∞)D，所以区间D可以为(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故选B.10．(2022·大庆月考)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R，sinx<2xB．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(

－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx12答案B解析由知，A是假命题；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，∴∀x∈(0，＋∞

)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B是真命题；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C是假命题；∵当x∈0，π4时，sinx<cosx，故D是假命题．故选B.二、多项选择题11．(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全

称量词命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析对于A，∃x∈R，x2－x＋14<0的否定是∀x∈R，x2－x＋14≥0，是全

称量词命题，由x2－x＋14＝x－122≥0知，此命题是真命题；对于B，所有的正方形都是矩形的否定是存在一个正方形，它不是矩形，是存在量词命题；对于C，∃x∈R，x2＋2x＋2＝0的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≠0，是全称量词命题．由Δ＝22

－4×1×2<0知，x2＋2x＋2＝0无实根，此命题是真命题；对于D，至少有一个实数x，使x3＋1＝0的否定是∀x∈R，x3＋1≠0，是全称量词命题，此命题是假命题．12．(2021·烟台适应性练习)若非空集合G和G

上的二元运算“”满足：①∀a，b∈G，ab∈G；②∃I∈G，∀a∈G，aI＝I⊕a＝a；③∃I∈G，使∀a∈G，∃b∈G，有ab＝I＝ba；④∀a，b，c∈G，(ab)c＝a(bc)，则称(G，)构成一个群．下列选项对应的(G，)构成一个群的是()13A．集合G为自然数集，“”

为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合G＝{－1,1，－i，i}(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合G＝{0,1,2,3,4,5,6}，“”为求两整数之和被7除的余数答

案BCD解析由题意可知，条件①表述了“”的封闭性，条件②表述了“⊕”对于G有单位元I，条件③表述了“”对于G有逆元，条件④表述了“⊕”的结合律，对于A，自然数据中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满

足条件③，故A错误；对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故B正确；对于C，集合G＝{－1,1，－i，i}中乘法是封闭的，有单位元1，逆元－1，满足结合律，故C正确；对于D，集合

G＝{0,1,2,3,4,5,6}中对于“求两整数之和被7除的余数”是封闭的，有单位元0，任一元素都为逆元，满足结合律，故D正确．故选BCD.三、填空题13．(2021·河南八市联考)若“∀x∈0，π4，tanx≤m

”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴实数m的最小值为1.14．(

2022·陕西安康月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.答案0解析“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依题意，命题“∀x∈

(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.15．(2022·甘肃兰州一诊)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1

∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________.14答案0，12解析设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A

，B，则A＝[－1，3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知－a＋2≥－1，2a＋2≤3，∴a≤12，又a>0，∴0<a≤12.16．(2022·北京海淀摸底)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a

)>0恒成立，命题q：∃x∈[－2，2]，2a≤2x，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.答案54，2解析当命题p成立时，x2＋x＋a>1恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>54；当命题q成立时，2a≤(2x)ma

x，又x∈[－2,2]，所以a≤2.故54<a≤2，所以实数a的取值范围为54，2.四、解答题17．已知命题“∃x∈12，2，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，求实数λ的取值范围．解因为命题“∃x∈1

2，2，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，即命题“∃x∈12，2，使得λ>2x＋1x成立”是假命题，则命题“∀x∈12，2，使得λ≤2x＋1x成立”是真命题，因为x∈12，2，所以当x＝22时，2x＋1x取最小值22，故实数λ的取值范围为(－

∞，22]．18．(2022·苏州月考)已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．15(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，若

命题p和q中只有一个为真，求m的取值范围．解(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.∴若p为真命题，则m的取

值范围是[1,2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，∴m≤x，命题q为真时，m≤1.∵p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则1≤m≤2，m>1，解得1<m≤2；当p假q真时，m<1或m>2，m≤1，即m<1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪

(1,2]．