【文档说明】【精准解析】河北省沧州市盐山县盐山中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题.doc，共(23)页，1.422 MB，由小赞的店铺上传

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高二第二学期期末卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集3,2,1,0,1,2,3U=−−−，集合1,0,1,2A=−，3,0,2,3B=−，则()UACB=（）A.3,3−B.0,2C.1,1−D.3,2,1,1,3−−−【答案】

C【解析】【分析】直接根据补集、交集的定义进行补集、交集的运算即可.【详解】解：全集3,2,1,0,1,2,3U=−−−，集合1,0,1,2A=−，3,0,2,3B=−，则2,1,1UCB=−−，∴()1,1

UACB=−，故选：C.【点睛】本题考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题.2.已知命题:p“xR，20xex−−”，则p的否定为（）A.xR，20xex−−B.xR，20xex−−C.xR，20xex−−D.xR，2

0xex−−【答案】C【解析】【分析】特称命题的否定为全称命题，从而得到结果.【详解】∵特称命题的否定为全称命题，∴命题:p“xR，20xex−−”，的否定:,20xpxRex−−.故选:C.【点睛】本题考查了特称命题的否定.特称命题的否定为全称命题，属于简

单题，解题中注意“两变一不变”即“存在”变为“任意”，“小于等于”变为“大于”，范围不变.3.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为()A.28B.32C.40D

.64【答案】D【解析】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，故选D．点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．4.已

知函数2log,0()3,0xxxfxx=，则1[()]2ff的值是（）A.13B.13−C.3D.-3【答案】A【解析】【分析】先将12x=代入2logyx=中可得112f=−,再将1x=−代入3xy=中求解即可.【详解】由题,211log122f=

=−,所以()1111323fff−=−==,故选:A【点睛】本题考查分段函数求函数值,属于基础题.5.已知()52xaxx+−的展开式中所有项的系数和为2−，则展开式中的常数项为（）A.80B.80−C.40D.40−【答案】

B【解析】【分析】令1x=，由展开式中所有项的系数和为2−，列出方程并求出a的值，得出展开式中常数项为52xx−中1x−的系数与52xx−的0x的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：由题可知，()52xax

x+−的展开式中所有项的系数和为2−，令1x=，则所有项的系数和为()()5211121aa+−=−+=−，解得：1a=，()()555522221xaxxxxxxxxxx+−

=+−=−+−，则()521xxx+−展开式中的常数项为：52xx−中1x−的系数与52xx−的0x的系数之和，由于52xx−展开式的通项公式为：()5515522rrrrrrrTCxCxx−−+

=−=−，当521r−=−时，即3r=时，52xx−中1x−的系数为：()335280C−=−，当520r−=时，无整数解，所以()521xxx+−展开式中的常数项为80−.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考

查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.6.函数241xyx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函

数的解析式可得：()()241xfxfxx−−==−+，则函数()fx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当1x=时，42011y==+，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以

下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.根据党中央关

于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n=，甲，乙两位专家派遣至同

一县区包含的基本事件个数6m=，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336nCA==甲，乙两位专家派遣至同一县区包

含的基本事件个数：2122326mCCA==甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366mpn===本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.对

于任意xR，函数()fx满足()()2fxfx−=，且当1x时，()2lgfxxx=+，若()2af=，()πlog3bf=，()1cf=−，则a，b，c之间的大小关系是（）A.bacB.bcaC.c

abD.cba【答案】C【解析】【分析】结合1x时函数的表达式可判断函数在)1,+的单调性，由()()2fxfx−=，可知函数()fx的图象关于直线1x=对称，进而由()()13cff=−=，()()ππlog32log3bff==−，其中π2log31−，可比较出

,,abc的大小关系.可得出结论.【详解】因为函数()fx满足()()2fxfx−=，所以()fx的图象关于直线1x=对称，当1x时，()2lgfxxx=+，因为函数2yx=和lgyx=都在()1,+上单调递增，所以

函数()fx在)1,+上单调递增.则()()13cff=−=，()()ππlog32log3bff==−，因为π0log31，所以π12log32−，即()()()π12log32fff−

，所以()()()π322log3fff−，即cab.故选：C.【点睛】本题考查比较几个数的大小关系，考查函数单调性及对称性的应用，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎

叶图记录，下列四个结论中，正确的是（）A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【答案】ABC【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据极差的

定义结合图中的数据，可得出A正确；根据中位数的定义结合图中的数据，可得出B正确；通过计算平均数的公式结合图中的数据，可得出C正确；通过计算方差的公式，结合图中的数据，可得出D不正确．由此可以得出答案．【详解】首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：18

2035334741乙运动员得分：171919262729对于选项A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为471829−=，乙运动员得分的极差为291712−=，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得

分的极差，故A正确；对于选项B，甲数据从小到大排列：182033354147处于中间的数是33、35，所以甲运动员得分的中位数是34，同理求得乙数据的中位数是22.5，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正

确；对于选项C，甲运动员的得分平均值约为18203533474132.336+++++=，乙运动员的得分平均值为17191926272922.836+++++=，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；对于

选项D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.可以算出甲的方差为：(22221[(1832.33)(2032.33)4732.33)109.226S=−+−++−=甲，同理，得出乙的方差为：219.9S=乙因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动

员的成绩稳定，故D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了茎叶图、极差、平均数与方差等统计中常的几个知识点，属于中档题．值得注意的是数据的稳定性与数据的方差有关，方差越小的数据稳定性越好．10.设函数()12logfxx=

，下列四个命题正确的是（）A.函数()fx为偶函数B.若()()fafb=，其中0a，0b，ab¹，则1ab=C.函数()22fxx−+在()1,3上为单调递增函数D.若01a，则()()11fafa+−【答案】ABD【解析】【分析】A选项，由()()fxfx−

=，即可得出()fx为偶函数；B选项，由已知可得()()()fafbfb==−，利用对数的运算性质可得：12log0ab=，可得1ab=；C选项，由220xx−+，解出可得函数的定义域为()0,2，即可判断出正误；D选项，

由01a，可得11aa+−，()()101fafa+−，作差()()()()1111fafafafa+−−=−+−−，化简即可得出正误.【详解】解：()12logfxx=，0x.函数()12logfxx=，∵()()fxfx−=，∴()fx

为偶函数，故A正确；若()()fafb=，其中0a，0b，∵ab¹，()()()fafbfb==−，∴111222logloglog0abab+==，∴1ab=，故B正确；函数()()()22211222log2log1

1fxxxxx−+=−+=−−+，由220xx−+，解得02x，∴函数的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C不正确；若01a，∴11aa+−，∴()()101fafa+−，故()()11fafa+−−()()11fafa=−+−−()212lo

g10a=−−，即()()11fafa+−，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了对数函数的奇偶性、单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A，2A，3A

表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.2()5PB=B.15()11PBA=C.事件B与事件1A相互独立D.1A、2A、3A两两互斥【答案】BD【解析】【分析】根据每次取一球

，易得1A，2A，3A是两两互斥的事件，求得()()()123,,pApApA，然后由条件概率求得1()PBA，123()()()()PBPBAPBAPBA=++，再逐项判断.【详解】因为每次取一球，所以1A，2A，3A是两两互斥的事件，故D正确；因为()()()

123523,,101010pApApA===，所以11155()51011()5()1110PBAPBAPA===，故B正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010PBAPBAPBA

PBAPAPA======，所以1235524349()()()()10111011101122PBPBAPBAPBA=++=++=，故AC错误；故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12

.设函数()fx是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，恒有()()11fxfx=+−，当0,1x时，()112xfx−=，则下列命题正确的有（）A.函数()fx为周期函数，2是它的一个周期B.函数()fx在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增C.函数()fx

的最大值是1，最小值是0D.当()3,4x时，()312xfx−=【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件求出函数周期即可判断A；根据函数()fx为R上的周期性和偶函数以及在0,1上的单

调性即可判断B；根据函数()fx单调性和周期性可求出函数()fx最值，进而判断C；求出当()3,4x时函数()fx解析式即可判断D.【详解】解：由题意，对任意的xR，恒有()()11fxfx=+−，则有()()2fxfx+=，故()fx

周期为2，故A正确；因为函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0,1x时，()112xfx−=，易知函数()fx在0,1上单调递增，则()fx在1,0−上单调递减，又函数()fx周期为

2，则()fx在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增，故B正确；由当0,1x时，()11122xxfx−−==，在0,1上单调递增，又()fx是以2为周期的偶函数可得()fx最小值为()102f=，最大值为()11f=，故C错误；当1,0x−时，

则0,1x−，则()()112xfxfx+−==，当()3,4x时，则()41,0x−−，则()14311422xxfx+−−−==，又因为()()4fxfx−=，所以当()3,4x时，()3

12xfx−=，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的运用，涉及函数单调性，解析式和最值，属于中档题.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比

赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者.则乙连胜四局的概率为____.【答案】0.09.【解析】【分析】当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，

乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可【详解】当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为P1=（1﹣0.4）2×0.52=0

.32=0.09∴乙连胜四局的概率为0.09【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．14.设实数x满足01x，且2log4log1xx−=，则x=______.【答案】14【解析】【分析】利用换

底公式和对数运算法则可将方程转化为222log1logxx−=，解方程求得2log2x=−或2log1x=，进而结合x的范围求得结果.【详解】22log42log2logxxx==2222log4logl

og1logxxxx−=−=即()222loglog20xx+−=，解得：2log2x=−或2log1x=14x=或2x=01xQ14x=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换

底公式的应用；考查基础公式的应用能力.15.在R上定义运算“△”：x△y=x(2–y)，若不等式(x+m)△x<1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______________．【答案】40m−．【解析】解：由

题意得：（x+m）△x=（x+m）（2-x）＜1，变形整理得：x2+（m-2）x+（1-2m）＞0，因为对任意的实数x不等式都成立，所以其对应的一元二次方程：x2+（m-2）x+（1-2m）=0的根的判别式△=（m

-2）2-4（1-2m）＜0，解得：-4＜m＜0．16.某校一个班级组织学生报名参加话剧社和摄影社，已知报名的每位学生至少报一个社团，其中报名参加话剧社的学生有2人，参加摄影社的学生有5人，现从中任选2人.设为选出的学生中既报名

参加话剧社又参加摄影社的人数，且()7010P=这个班报名参加社团的学生人数为____；()E=____.【答案】(1).5(2).45【解析】【分析】根据题意列等式确定参加社团的人数，再根据离散型随机变量的期望的应用及运算即可求得结果

.【详解】设既报名参加话剧社又参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为()7x−人，∵()()()7011010PPP==−==，∴()3010P==，而()272273010xxCPC−−===，

即()()()()726237610xxxx−−=−−，解得2x=，∴该班报名参加社团的人数为5人，的可能取值为0，1，2，()3010P==，()112325315CCPC===，()22251210CPC===，

∴3314012105105E=++=.故答案为5；45.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，组合数的计算，还涉及对立事件，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数()24xxfx=−.（1）求()yfx=在1,1−上的值域；（2）解不

等式()1692xfx−；【答案】（1）12,4−；（2）13xx.【解析】【分析】（1）令2xt=，1,1x−，则1,22t，把问题转化为闭区间上二次函数的值域问题，利用二次

函数性质解决；（2）原不等式等价于()()22280xx−−，解得228x，即13x.【详解】令2xt=，1,1x−，则1,22t，所以原函数转化为221124yttt=−=−−+在1,22t

上是减函数，∴2min31224y=−+=−，max14y=，()fx在1,1x−的值域为12,4−；（2）因为()1692xfx−，则()22102160xx−+，即()()2

2280xx−−，解得228x，即13x，所以不等式()1692xfx−的解集为13xx.【点睛】本题考查指数函数和二次函数性质以及指数不等式解法和方程有解问题，属于中档题.18.某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，

按年龄分组：第1组)25,30，第2组)30,35，第3组)35,40，第4组)40,45，第5组)45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言

，设3人中年龄在)35,40的人数为，求的数学期望；（2）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男16420女81220合计2

41640根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++()20PKk0.0250.0100.005

0.0010k5.0246.6357.87910.828【答案】（1）2；（2）能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系.【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图和分层抽样求出在第三组抽取的人数，然后利用超几何分布即可；（2）先利用公式

计算出2k，然后和参考数值比较即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图得低于40岁的员工数为：()28010.0650.025168−−=.年龄在)35,40的人数为()10.020.020.060.025280112−+++=

所以在)35,40前三组应抽取112128168=人，抽取的人数由上可知，的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为()343121055CPC===()128431212155CCPC===()218431228255C

CPC===()3831214355CPC===所以，11228140123255555555E=+++=（2）假设0H：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K的观测值()2240161248206.6666.635202024163k

−==，查表得()26.6350.01PK=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系【点睛】本题主要考查频率分布直方图、独立性检验和离散型随机变量的期望等，属于中档题.19.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()241fxxx=

−+.（1）求()fx的解析式；（2）若0t，求函数()fx在,1tt+上的最小值()gt.【答案】（1）()2241,041,0xxxfxxxx−+=++；（2）()2222,013,1241,2tttgttttt−−=−−+．【解析】【分析】（1

）利用偶函数的定义，令0x，则0x−，可得()()241fxfxxx=−=++，即可得到()fx的解析式；（2）讨论t、1t+与2的关系，进而利用二次函数求相应的最小值，最后写成分段函数的形式.【详解】解：（1）由题意，函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()241f

xxx=−+，所以()()fxfx−=，令0x，则0x−，所以()()241fxfxxx=−=++，所以()2241,041,0xxxfxxxx−+=++；（2）①当12t+，即01t时，()()2min122fxfttt=+=−−；②当21t

t+，即12t时，()()min23fxf==−；③当2t时，()()2min41fxfttt==−+，综上，()2222,013,1241,2tttgttttt−−=−−+．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的性质，分段函数的性质及应用，

求解函数解析式，考查运算求解能力，属于中档题.20.在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等

级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a，b的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取

的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）10a=，3b=（2）61天（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意知空气质量为Ⅰ

级的天数为总天数的12，从而可解得a，b的值．（2）由表可知随机抽取的30天中的空气质量类别为优的天数，由此能估计一年中空气质量指数为优的天数．（3）由题意知X的取值为0，1，2，3，4，分别求出相对应的概率，从而能求出X的分布

列及数学期望．【详解】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a=，950.（2）依题意可知

，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042CPXC====

，135510505(1)21021CCPXC====，225541010010(2)21021CCPXC====，3551410505(3)21021CCPXC====，4541051(4)21042CPXC====，X的分布

列为X01234P1425211021521142故151051()0123424221212142EX=++++=.【点睛】本题考查了频率与概率的关系，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望

的求法，是中档题．21.我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每

千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求函数()vx的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单

位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()fxxvx=可以达到最大，并求出最大值.【答案】(1)60,030()170,302103xvxxx=−+;(2)当车流密度为105辆/小时

车流量达到最大值3675【解析】【分析】(1)根据题意可知,()vx为分段函数,且当030x时()60vx=,再根据当30x=与210x=时()vx的值,设()vxaxb=+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式

,求出()()fxxvx=的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.【详解】(1)由题意可知,当030x时()60vx=,当210x=时,()0vx=,又当30210x时,车流速度v是车流密度x的一次函数

,故设()vxaxb=+,所以02106030abab=+=+,解得1370ab=−=,故当30210x时,1()703vxx=−+.故60,030()170,302103xvxxx=−+.(2)由题,260,030()()170,30210

3xxfxxvxxxx==−+,故当030x时,()fx最大值为(30)1800f=.当30210x时,21703()fxxx−+=开口向下且对称轴为70105123x=−=−,故此时()fx最大值为2

(105)10517031053675f−+==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再

根据二次函数性质求最值,属于中档题.22.某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有1

0年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量

X与其蕴含的能量y（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：年入流量X68101214蕴含的能量y1.52.53.557.5用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程ybXa=+；（回归方程系数用分数表示）（3）

水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X48X812X12X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机

未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？附：回归方程系数公式：1221niiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−$$.【答案】（1）0.9477（

2）2913404Xy=−（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【解析】【分析】（1）计算得到()480.2PX=，()8120.7PX=，()120.1PX=，再计算概率得到答案.（2）利用回归方程公式直

接计算得到答案.（3）计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）依题意，()110480.250PPX===，()2358120.750PPX===，()35120.150PPX===.由二项分布

得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为()()43014343311PCPCPP=−+−0.65610.29160.9477=+=.（2）10X=，4y=，51229iiiXy==，521540iiX=

=，2940b=，134aybX=−=−，所以y关于X的线性回归方程为2913404Xy=−.（3）记水电站年总利润为（单位：万元）.①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的

年利润5000=，()500015000E==.②安装2台发电机的情形.依题意，当48X时，一台发电机运行，此时50008004200=−=，因此()()14200480.2PPXP====；当8X时，两台发电机运行，此时50002100

00==，因此()()231000080.8PPXPP===+=.由此得的分布列如下：420010000P0.20.8所以，()42000.2100000.88840E+==.③安装3台发电机的情形.依题意，当

48X时，一台发电机运行，此时500016003400=−=，因此()()13400480.2PPXP====；当812X时，两台发电机运行，此时500028009200=−=，因此()

()292008120.7PPXP====；当12X时，三台发电机运行，此时5000315000==，因此()()15000120.1PPX===.由此得的分布列如下：3400920015000P0.20.70.1所以，(

)34000.292000.7150000.18620E=++=.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查了概率计算，回归方程，分布列，数学期望，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.