【文档说明】四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.748 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中北校区高2022级数学期中试卷一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.cos2040=（）A.12B.32C.12−D.32

−【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化简即可得所求结果.【详解】()()1cos2040cos2160120cos120cos1202=−=−==−.故选：C.2.函数()3sin146xfx=+−的最小正

周期和最大值分别是（）A.2和3B.2和2C.8和3D.8和2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函数的周期公式求解最小正周期，求最值即可【详解】因为函数()3sin146xfx=+−，所以最小正周期为：2π8π14=，当ππ2π462xk+=+时，()3si

n146xfx=+−有最大值2.故选：D.3.已知12,ee是两个不共线的向量，122aee=−，122beke=+.若a与b是共线向量，则实数k=（）.A.2B.2−C.4D.4−【答案】D

【解析】【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.【详解】由已知0a，为∵a与b是共线向量，∴存在R，使ba=，又122aee=−，122beke=+，即()121222ekeee+=−，

∴121222ekeee+=−，∴22k==−，所以24k==−，故选：D.4.sin74sin46sin16sin44−=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】转化sin74cos16,

sin46cos44==，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin74sin46sin16sin44cos16cos44sin16sin44cos602−=−==故选：A【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦

公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题5.已知向量(,3),(1,4),(2,1)akbc===，且(23)abc−⊥，则实数k=A.92−B.0C.3D.152【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意

得，23(23,6),(2,1)abkc−=−−=，因为(23)abc−⊥，所以(23)4660abck−=−−=，解得3k=，故选C.考点：向量的坐标运算.6.若1sincos2+=，则44sincos+

=（）A.52B.18C.716D.2332【答案】D【解析】【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin2的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sincos2+=，两边平方得11sin24+

=，即3sin24=−则()24422222123sincossincos2sincos1sin2232+=+−=−=故选:D7.如图，在△ABC中,13ANNC=,P是BN上的一点,若29APmABAC⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+,则实数m的值为A.B.C.19D.【答案】C【解

析】【分析】先根据共线关系用基底ABAC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值.【详解】如下图，∵,,BPN三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13ANNC=，∴，∴28=99APmABACmABAC→→→→→=++②，对比

①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.8.已知函数()cos(0)3fxx=+在区间π3,π44上单调递减，则实数的取值范围为（）A.80,9

B.(1,2C.(0,1D.20,3【答案】A【解析】【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT=，可得02，又由πππ5π343

6+，必有3πππ43+，可得809.故选：A二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列两个向量，能作为基底向量的是（）A.()()120,0,3,2

ee==B.()()122,1,1,2ee=−=C.()()121,2,4,8ee=−−=D.()()122,1,3,4ee==【答案】BD【解析】【分析】根据向量是否共线即可判断其能否作为基底向量，一一判断即可.【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以21,ee不能作为基

底.B选项，因为2112−，所以21,ee不平行，可以作为基底.C选项，124ee=−，所以21,ee平行，不能作为基底.D选项，因为2134，则21,ee不平行，可以作为基底.故选：BD.10.计算下列各式，结果为3的是（）A.2sin152

cos15+B.2cos15sin15cos75−C.2tan301tan30−D.1tan151tan15+−【答案】AD【解析】【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的

三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，由辅助角公式得2sin152cos152sin(1545)2sin603+=+==.故选项A正确；对于选项B，23cos15sin15cos75sin75c

os15sin15cos75sin(7515)sin602−=−=−==，故选项B错误；对于选项C，223tan30331tan30231()3==−−，故选项C错误；对于选项D，1tan15tan45tan15tan(4515)tan6031tan151tan1

5tan45++==+==−−，故选项D正确.故选：AD.11.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知a，b均为非零向量，若//abrr，则存在唯一实数，使得λab=B.在ABC中，若1122ADABAC=+，则点D为BC边上的中点C.已知a，b均为非零向量，若ab

ab+=−，则ab⊥D.若acbc=且0c，则ab=【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，B选项，()111222ADABACABAC=+=+，根据向量加法的

运算可知点D为BC边上的中点，B选项正确.C选项，由abab+=−两边平方并化简得0ab=，所以ab⊥，C选项正确.D选项，acbc=是一个数量，无法得到两个向量,ab相等，D选项错误.故选：ABC12.已知函数()()()sin20,0,0πfxAxA=+

在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为π12、7π12，图象在y轴上的交点为()0,3.则下列结论正确的是（）A.最小正周期为π2B.()fx的最大值为2C.()fx在区间5,1212−上单调递增D.π6

fx+为偶函数【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据图象得到πT=，A错误；B选项，先根据最小正周期求出1=，代入特殊点坐标，求出π3=，2A=，得到B正确；C选项，代入检验得到()fx在区间5,1212−上单调递增

；D选项，求出π6fx+，利用函数奇偶性定义判断.【详解】A选项，设()()()sin20,0,0πfxAxA=+的最小正周期为T，由图象可知71121π22πT−=，解得πT=，A错误；B选项，因为0，所以2π22T==，解得1=，故()()

sin2fxAx=+，将π,12A代入解析式得πsin6AA+=，因0π，所以解得π3=，因为函数经过点()0,3，所以πsin33A=，故2A=，()fx的最大值为2，B正确；C选项，()π2sin23fxx=+，当5,1212x

−时，πππ2,322x+−，因为sinyz=在ππ,22−上单调递增，故()fx在区间5,1212−上单调递增，C正确；D选项，π2π26sin23fxx=++，由于6πfx−+与π

6fx+不一定相等，故不是偶函数，D错误.故选：BC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知扇形的半径为6，圆心角为3，则扇形的面积为_____．【答案】6【解析】【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的

面积公式可求扇形的面积．【详解】根据扇形的弧长公式可得362lππαr===，根据扇形的面积公式可得1126622Slrππ===．故答案为：6．为14.已知点(1,2)A，点(4,5)B，若2APPB=，则点P的坐标是________．【答案】P（3,4）【解

析】【详解】试题分析：设(),Pxy，代入2APPB=得()()1,224,53,4xyxyxy−−=−−==()3,4P考点：向量的坐标运算15.已知9ab=−，12,ee分别是与,ab方向相同的单位向量，a在b上的投影向量为23e−，b在a上的

投影向量为132e−，则a与b的夹角为__________________.【答案】120.【解析】【分析】根据向量的投影定义，列出方程，求解63ab==，，再根据夹角公式，即可求解.【详解】由题意，得cos3,3cos,29.abab

=−=−=−解得6,3,ab==∴∴91cos632bbaa−===−.∵0180，∴120=?.故答案为：120【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.16.在ABC中，

若tantan55tantanABAB++=，则tan2C=__________．【答案】52−【解析】【分析】根据正切和差公式和倍角公式计算即可.【详解】因为()tantan5tantan55tantan1ABABAB+=−=−，所以()

()5tantan1tantantan51tantan1tantanABABABABAB−++===−−−，所以()tantan5CAB=−+=，的222tan255tan21tan215CCC===−−−.故答案为：52−.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出

文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知向量a，b满足：2a=，1b=，()()23227abab−−=.（1）求a与b的夹角；（2）若()()2abab+⊥+，求实数的值.【答案】（1）2π3=（2）2=−【解析】【分析】（1）结合向

量的数量积运算化简已知条件，由此求得cos，进而求得.（2）利用向量垂直列方程，化简求得的值.【小问1详解】由()()23227abab−−=得2248327aabb−+=，22142821cos3127,cos2−+

==−，由于0π，所以2π3=.【小问2详解】12112ab=−=−，由于()()2abab+⊥+，所以()()()22222ababaabb++=+++42220,2=−−+=+==−.18.如图为函数()()πsin(0,0,

,R)2fxAxAx=+的部分图象．（1）求函数解析式和单调递增区间；（2）若将()yfx=的图像向右平移π12个单位，然后再将横坐标压缩为原来的12倍得到()ygx=图像，求函数()gx在区间π

π,412x−上的最大值和最小值.【答案】（1）()π2sin23fxx=+，5πππ,π1212kk−+，Zk（2）最大值2，最小值2−【解析】【分析】（1）由图象，先求,AT，再求出，然后

代入最值点求即可得()fx的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可；（2）由题意图象变换得到()π2sin46gxx=+，求出整体角π46x+的范围，转化为求正弦函数的最值即可.【小问1详解】由图象知，πππ2,,π43124TAT==−==，又0则2

π2π==，则()2sin(2)fxx=+，将π,212代入得，π2sin26+=，得ππ2π,62kk+=+Z，解得π2π,3kk=+Z，由π2，得当0k=时，π3=，所以()

π2sin23fxx=+.令πππ2π22π232kxk−+++，kZ，得5ππππ1212kxk−++，kZ，所以()fx的单调递增区间为()5πππ,π1212kkk−++Z.【

小问2详解】将()π2sin23fxx=+的图像向右平移12个单位得ππππ2sin22sin2121236fxxx−=−+=+，然后再将横坐标压缩为原来的12倍得到()π2sin46gxx=+

的图像.已知ππ,412x−，则π5π4π,662x+−，则π1sin416x−+.故当πππ4,626xx+=−=−时，()gx最小值为2−；当πππ4,6212xx+==时，()gx的最大值为2.19.已知函数f(x)＝4sinxcos

(x+3)+m(x∈R，m为常数)，其最大值为2．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f(α)＝−435(−4＜α＜0)，求cos2α的值．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）13610−【解析】【分析】（Ⅰ）利用二

倍角和两角和与差及辅助角公式将函数化为y＝Asin(ωx+φ)的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值．（Ⅱ）由题设可得cos(2α+3)＝135，由2α＝[(2α+3)−3]，利用二倍角余弦公式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题设，f(x)＝4sinxcosxcos3

−4sin2xsin3+m＝sin2x−23sin2x+m=sin2x+3cos2x−3+m＝2sin(2x+3)−3+m.由最大值为2,即2−3+m＝2，得m＝3．（Ⅱ）由f(α)＝−435，即2sin(2α+3)＝−435．∴s

in(2α+3)＝−235，又−4＜α＜0，∴6−＜2α+3＜3．∴cos(2α+3)＝135；那么cos2α＝cos[(2α+3)−3]＝cos(2α+3)cos3+sin(2α+3)sin3＝1361

0−．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆的交点为()11,Axy，角π6+终边与单位圆的交点为()22,Bxy.（1）若π0,2，求12xy+的取值范围；（2）若点B的坐

标为122,33−，求点A的坐标.【答案】（1）3,32（2）223261,66A−+.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,AB的坐标，根据三角恒等变换用表示12xy+，结合正弦函数性质求其取值范围

；（2）由三角函数定义可得π1π22cos,sin6363+=−+=，根据两角差正弦和余弦公式求cos,sin可得点A的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos,sin,cos,si

n66AB++，所以12π31cossincossincos622xy+=++=++1213π3sincos3sin223xy+=+=+

，由π0,2，可得ππ5336π,+，所以π1sin,132+，所以12xy+的取值范围是3,32.【小问2详解】由122,33B

−，得π1π22cos,sin6363+=−+=，ππππππcoscoscoscossinsin666666=+−=+++

，13221223cos32326−=−+=ππππππsinsinsincoscossin666666=+−=+−+，22311261sin32

326+=−−=，所以点A的坐标为223261,66−+.21.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为AB的中点，D为BC中点，13AFAD=，令ABa=，ACb=.（1）试用ab､表示向量EF；（2）求EFBC的值

.（3）延长线段EF交AC于P，设APAC=，求实数的值.【答案】（1）1136EFab=−+（2）4（3）14【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）首先用a、b表示向量BC，再根据数量积的运算律计算可得；（3）首先

用a、b表示向量EP，由于EF与EP共线，则EFkEP=，根据平面向量基本定理得到方程组，解得【小问1详解】()1111123232EFEAAFABADABABAC=+=−+=−++1111126636ABABACA

BAC=−++=−+1136ab=−+.【小问2详解】因为BCACABba=−=−，所以()221111136362EFBCabbaabab=−+−=+−221114444cos604362=+−

=.【小问3详解】设(),0,1APAC=，1122EPEAAPEAACABACab=+=+=−+=−+，由于EF与EP共线，则EFkEP=，即111362abkab−+=−+

，即113216kk−=−=，解得1423k==，即14APAC=.22.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正

方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比

孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设OAB=，五个正方形的面积和为S.（1）求面积S关于的函数表达式，并求tan的范围；（2）求面积S最小值，并求出此时tan的值.【答案】（1）228sincos4sincosS=+−

；的取值范围为()00,，01tan3=；（2）min9652S−=；765tan4−+=.【解析】分析】（1）由题意可知小正方形的边长为1(sin)2sin2=，【大正方形的边长为1(cossin)2cos2sin2−=−，所以五个正方形的面积和为222

24sin(cos2sin)8sincos4sincosS=+−=+−，又sincos2sin−，所以1tan3，所以的取值范围为0(0,)，01tan3=，0(0,)2；(2)228sincos4sincosS=+−()965sin222

=−+其中7tan4=，0,2，所以min9652S−=，此时()sin21+=，所以22+=，则22tan4tan21tan7==−，因为10tan3，解得765tan4−+=，即可求出面积S最小值【详解】解：（1）过点O分别

作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，因为内嵌一个大正方形孔中心与同心圆圆心重合，所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为1sin2sin2=，大正方形的边长为1cossin2cos2sin2

−=−.所以五个正方形的面积和为()224sincos2sinS=+−，228sincos4sincos=+−.因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以sincos2sin

−，1tan3，00,2，所以的取值范围为()00,，01tan3=.（2）228sincos4sincosS=+−，1cos21cos282sin222−+=+−，972sin2cos222

=−+，()965sin222=−+，其中7tan4=，0,2.的所以min9652S−=，此时()sin21+=.因为()00,，所以0302222++，所以22+=，所以14tan2t

an2tan7=−==，则22tan4tan21tan7==−，化简得：22tan7tan20+−=，由此解得：765tan4−=，因为10tan3，所以765tan4−

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