【文档说明】浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学【精准解析】.doc，共(23)页，1.704 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出

答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1.已知集合0,1,2,3,5A=，1,3,5B

=，则AB=（）A.1,3B.3,5C.3,1,5D.0,1,2,3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得AB.【详解】依题意可知，3,1,5AB=.故选：C【点睛】本小

题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知()2231fxxx=−+，则()1f=（）A.15B.21C.3D.0【答案】D【解析】【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据()fx的解析式，有()21213112310f=−+=−+=.故选：D

【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.3.125log2516+=（）A.94B.6C.214D.9【答案】B【解析】【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】112222555log2516log5(

4)2log546+=+=+=故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.4.若是钝角，2cos3=−，则()sinπ−=（）A.23B.23−C.53−D.53【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果.【详解】()s

inπsin−=Q,又是钝角，2cos3=−，所以25sin1cos3=−=因此()sinπ−=53，故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑

堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A.22B.2C.2D.22【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．【详解】把三棱柱旋转为下图，

由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为122222V==，故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．6.若圆22104xymx++−=与直线1

y=−相切，则m=（）A.22B.3C.2D.3【答案】D【解析】【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m.【详解】由22104xymx++−=可得：2221()24mmxy+++=，故圆心为,02m−，半径为212m+，又因为直线1y=−与圆相切，所以圆心到直线1

y=−的距离等于半径，即2112m+=，解得3m=，故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题.7.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3144ABAC−B.1344ABAC−C.3144+ABACD.13

44+ABAC【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABC=+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC=+，之后将其合并，得到3144BEBAAC=+，下一步应用相反向

量，求得3144EBABAC=−，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BEBABDBABCBABAAC=+=+=++1113124444BABAACBAAC=++=+，所以3144EBABAC=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量

基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8.已知不等式组yxyxxa−表示

的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a=，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所

示：则(,),(,)AaaBaa−，所以平面区域的面积1292Saa==，解得3a=，此时(3,3),(3,3)AB−，由图可得当2zxy=+过点(3,3)A时，2zxy=+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在

求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型

、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（）A.若⊥，m，n，则mn⊥B.若m⊥，//mn，n//，则⊥C.若mn⊥，m，n，则⊥D.若//，m，n，则//mn【答案】B【解析】【分析

】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若⊥，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥，//mn，∴n⊥，又∵//n，∴⊥，故B正确；若mn⊥，m，

n，则与的位置关系不确定，故C错误；若//，m，n，则//mn或m，n异面，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型.10.已知等比数列na的前n项和为nS，则“10a”是“2

0210S”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合等比数列的前n项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列

na是等比数列，所以2021111nqSaq−=−，由于101nqq−−，所以2021111001nqSaaq−=−，所以“10a”是“20210S”的充要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前n项和公式，考

查充分、必要条件的判断，属于中档题.11.下列不可能．．．是函数()()lnfxxx=Z的图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当1x时，0,ln0xx，所以此时()0fx，故C选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主

要考查函数图象的识别，属于基础题.12.已知1a=，4abab++−=，则b的最大值是（）A.2B.2C.6D.22【答案】B【解析】【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得b的最大值【详解】依题意()422ababababbb=+

+−+−−==，所以2b，也即b的最大值是2.故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13.以双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存

在直线ykx=使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）A.62B.2C.3D.3【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点(),0Aa−到byxa=−的距离2222

2abcdbaa==−+，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，由题意可得，OBOFc==，设点(),0Aa−到byxa=−的距离为d，则222OBad=−，所以

22222abcdbaa==−+，整理得222ac=，所以离心率2cea==.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14.设,xyR（）A.若1124239xyxy−=−

，则20xy−B.若1124239xyxy−=−，则20xy−C.若1122943yxxy−=−，则20xy−D.若1122943yxxy−=−，则20xy−【答案】B【解析】【分析】把相同变量

整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由1124239xyxy−=−，得2211124222393xyyxyy−=−=−，所以222111220333xyyxy−−−=−

所以22112233xyxy−−，令1()23xxfx=−，则()fx在R上为增函数，所以2xy，即20xy−，所以B正确，由1122943yxx

y−=−得2211122922343xyyxyy−−−=−=−，所以22112233xyxy−−−−，因为1()23xxfx=−在R上

为增函数，所以2xy−，即20xy+，所以C,D不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15.如图，直三棱柱111ABCABC−的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E

是棱BC上的动点，F是棱11BC上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME−−的正切值不可能．．．是（）A.3155B.2155C.6D.5【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME−−的余弦值，进而求得二面角AFME−−的正切值，求得正切值的最小值，由此判

断出正确选项.【详解】取BC的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC⊥，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2AF，设()()3,0,02Mtt.则()()1,33,2,2,0,2AF

FMt=−=−.设平面AMF的一个法向量为(),,mxyz=，则()3320220mAFxyzmFMxtz=−+==+−=，令1y=，得633363,1,66tmtt−=−−

.平面FME的一个法向量是()0,1,0n=，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt−===−+−++−−，所以2sin,1cos,mnm

n=−222710821628120252tttt−+=−+，所以二面角AFME−−的正切值为()()22sin,271082166cos,mnttfttmn−+==−()2115402162766tt=

++−−.因为02t，所以111466t−−−，216125405−=−结合二次函数的性质可知当1165t=−−时，()ft有最小值为11315540216272555−+=；当1166t=−−时，()ft有最大值为115402162

76366−+=，所以()315,65ft，所以二面角AFME−−的正切值不可能是2155.故选：B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16.已知()2,0,

22,0xxxfxx=−，则函数()fx的零点个数为__________．【答案】1【解析】【分析】画出()fx的图象，由此判断()fx零点的个数.【详解】画出()fx的图象如下图所示，由图可知，()fx有1个

零点.故答案为：1【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17.在锐角△ABC中，3AB=，4AC=．若△ABC的面积为33，则BC的长是____．【答案】13【解析】由题可知：13sin33sin22ABACAA==，又为锐角三角形，所以60A=，由余弦定理22

2cos132bcaAaBCbc+−===18.若正数a，b满足225abab=++，则ab的最小值是__________．【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得ab的最小值.【详解】依题意,ab为正数，且225245

ababab=+++，所以450abab−−，即()()510abab−+，解得525abab，当且仅当5ab==时等号成立.所以ab的最小值是25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.已知数列na和nb，满足

21nnba=−，设nb的前n项积为2na，则14nnaa+的前n项的和nS=__________．【答案】1122n−+【解析】【分析】根据21nnba=−及前n项积为2na可得递推关系

121nnnaaa−−=，整理可知na为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设nb的前n项积为nT，则2nnTa=则1n=时，1111221bTaa=−==，解得14a=，当2n时，11n

nnnnTabTa−−==，又21nnba=−，所以121nnnaaa−−=，化简得12nnaa−−=（2n），所以na是以4为首项，2为公差的等差数列，42(1)22nann=+−=+114112nnnnaaaa++=−Q，1111111111

1112=2=466881042422nnnaannS+=−+−+−++−−−++K，故答案为：1122n−+【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，

共74分，要求写出详细的推证和运算过程．20.已知函数()ππ23sincoscos2cos233fxxxxx=−+−−．（Ⅰ）求π2f的值．（Ⅱ）求函数()fx在区间π5π,1212−上的最大值

和最小值．【答案】（Ⅰ）π12f=；（Ⅱ）最大值2，最小值3−.【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为()2sin(2)6fxx=−，代入可求得其函数值；（2）由x的范围，求得26x−的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数()f

x在给定区间上的最值.【详解】（Ⅰ）()ππ23sincoscos2cos233fxxxxx=−+−−3sin2(cos2cossin2sin)(cos2cos+sin2sin)3333xxxxx=−−−3

sin2cos2xx=−2sin(2)6x=−．所以5()2sin22sin12266f=−==．（Ⅱ）由（1）得()2sin(2)6fxx=−，因为π5π1212x−，所以22363x−−．所以当226xππ−

=，即3x=时，max2y=；当263x−=−，即12x=−时，min3y=−．所以当3x=时，max2y=；当12x=−时，min3y=−．【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以

及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21.如图，已知三棱锥PABC−，PCAB⊥，ABC是边长为2的正三角形，4PB=，60PBC=，点F为线段AP的中点．（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）24.【解析】【分析】（Ⅰ）

在△PBC中，根据余弦定理可求得PC＝23，再由勾股定理可知，PC⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）以C为原点，CA的垂线所在的直线为y轴，CA和CP分别为x、z轴建立空间直角坐标系，写出向量CB、CP和BF，再根据法向量的性质求出平面PB

C的法向量n→，设直线BF与平面PBC所成角为α，则sinα＝|cosBF,n|uurr＝||||||BFnBFnuuurruuurr，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解．【详解】（Ⅰ）

证明：在PBC中，60PBC=，2BC=，4PB=由余弦定理可得23PC=，因为222PCBCPB+=，所以PCBC⊥，又PCAB⊥，ABBCB=，所以PC⊥面ABC．（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作CMCA⊥，以C为原点，CA→，CM→，CP→的方向分别为x

，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz−，则()0,0,0C，()0,0,23P，()2,0,0A，()1,3,0B，()1,0,3F，所以()1,3,0CB→=，()0,0,23CP→=，()0,3,3BF→=

−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz→=，则30,230,CBnxyCPnz=+===取3x=，则1y=−，0z=，即()3,1,0n=−，所以sinα＝2cos,4BFnBFnBFn→→→→==uuurr，故直线BF与平面PBC所成角的正弦值24．【点睛】本题考查空间中

线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.等差数列na的公差不为0，

13a=，且1a，2a，5a成等比数列．（Ⅰ）求na；（Ⅱ）设()111nnnnbaa++=−，nT为数列nb的前n项和，求2nT．【答案】（Ⅰ）63nan=−；（Ⅱ）227236=−−nnTn.【解析

】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,ad的形式，由此求得d，进而求得数列na的通项公式.（II）利用分组求和法求得2nT.【详解】（I）由于1a，2a，5a成等比数列，所以2215aaa

=，即()()21114adaad+=+，即()()23334dd+=+，由于0d，所以解得6d=，所以数列na的通项公式是()31663nann=+−=−.（II）依题意()()()()111116363nnnnnbaa

nn+++=−=−−+()()()()11122136913619nnnnn+++=−−=−−−.所以()()()()()2222222361234212999999nTnn=−+−++−−−−+−++−()()()

()()()3612123434212212nnnn=+−++−++−+−−()361234212nn=−+++++−+()()221223636272362nnnnnn+=−=−+=−−.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差

中项的性质，考查分组求和法，属于中档题.23.如图所示，圆()221:11Cxy+−=，抛物线22:Cxy=，过点()0,Pt的直线l与抛物线2C交于点M，N两点，直线OM，ON与圆1C分别交于点E，D．（

1）若1t=，证明：OMON⊥；（2）若0t，记OMN，OED的面积分别为1S，2S，求12SS的最小值（用t表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）()21124++tt.【解析】【分析】（1）设直线:1

lykx=+，()211,Mxx，()222,Nxx，将l与抛物线22:Cxy=联立，根据根与系数的关系证明1OMONkk=−，证得OMON⊥；（2）设直线:lykxt=+，()211,Mxx，()22

2,Nxx，将l与抛物线22:Cxy=联立，得到根与系数的关系，且有OMONkkt=−，再将,OMON与圆1C联立，求得,MN的横坐标，又121sin21sin2MNEDOMONMONxxSSxxOEODMON==代入化简，求得最小值.【

详解】（1）设直线:1lykx=+，()211,Mxx，()222,Nxx，由21ykxyx=+=得：21xkx=+，所以121xx=−．而221212121OMONxxkkxxxx===−．（2）同（Ⅰ）设直线:lykxt=+，()211,Mxx，()

222,Nxx，可得：12xxt=−，22121212OMONxxkkxxtxx===−，由()2211OMykxxy=+−=得：()22120OMOMkxkx+−=，解得：12212211OMEOMkxxkx==++，同理可得22222211O

NDONkxxkx==++，所以121sin21sin2MNEDOMONMONxxSSxxOEODMON==()()2212121122111142211xxxxxxxx++==++，因为12xxt=−，所以()()(

)()2212222211221111112444xxStxxttS++==+++++，当且仅当12xxt=−=−或12xxt=−=−−时取等号．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的

位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24.已知函数()()fxxaxbc=−−+，xR．（Ⅰ

）当1a=，0b=时，函数()yfx=有且只有两个零点，求c的取值范围．（Ⅱ）若0a=，0c，且对任意0,1x，不等式()0fx恒成立，求2bc+的最大值．【答案】（Ⅰ）0c=或14c=；（Ⅱ）12.【解析】【分析】（I）当1,0ab==时，令()0fx=，转化

为()1yxx=−与yc=−有两个交点，由此求得c的取值范围.（II）当0x=时，不等式()0fx恒成立.当(0,1x时，将不等式()0fx恒成立转化为maxminccxbxxx−−−+，根据函数的单调性求得maxcxx−−，

对c进行分类讨论，求得b与c的不等关系式，由此求得2bc+的取值范围，进而求得2bc+的最大值.【详解】（Ⅰ）()()1fxxxc=−+有且仅有两个零点等价于函数()()()()21,01,01111,0,02

4xxxxxxyxxxxxxx−−−−=−==−−−的图象与直线yc=−有两个点.由图易知：0c=或14c=．（Ⅱ）当0a=，0c时，()fxxxbc=−+.当0x=时，不等式()0fx显然成立.当(0,1x时，

0cccccxxbcxbxbxbxxxxxx−−−−+−−−−−，故ccxbxxx−−−+，等价于maxminccxbxxx−−−+，对于函数cyxx−=−，在(

0,1x上递增，故max1cxcx−−=+，对于函数cyxx−=+，在(0,xc−上递减，在),xc−+上递增，①当1c−时，cyxx−=+在(0,1x上递减，故min1cxcx−+=−，即1

bc−，所以2121110bcccc+−+=+−=．②当10c−时，cyxx−=+在(0,xc−上递减，在),1xc−上递增，故min2cxcx−+=−，此时，要使b存在，则12cc+

−，解得：1223c−−，则2bc−，所以21112222222bcccc+−+=−−−+，当且仅当12c−=时取等号，综上所述，2bc+的最大值为12，当14c=−，1b=时满足要求．

【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.