【文档说明】山东省济宁市嘉祥县第一中学2020-2021高二上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(23)页，2.012 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-db29adffb4e51a3f6117889827b22822.html

以下为本文档部分文字说明：

2020-2021学年度第一学期学分认定考试高二数学试题一､单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.1.抛物线28yx=的准线方程为（）A.2x=−B.2y=−C.132x=−D.132y=−【答案】D【解析】试题分析：抛物线28y

x=化为标准方程218xy=，则128=p，所以准线方程为132y=−，故答案为D．考点：抛物线的性质．2.已知{abc，，}是空间向量的一个基底，则与向量pab=+，qab=−可构成空间向量基底的是（）A.aB.b

C.2ab+D.2ac+【答案】D【解析】【分析】由基底的意义知共面的三个向量不能构成空间向量基底，即可判断出结论．【详解】由于向量a，b，a+2b都与向量pab=+，qab=−为共面向量，因此A，B，C不符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查正确如何理解空间向量的基底的意义，考查

了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，则k，b的值分别为（）A.12k=−，4b=−B.12k=，4b=C.12k=，4b=−D.4k=，3b=【答案】C【解析】【分析】由圆的对称性可得20

xyb++=过圆的圆心且直线ykx=与直线20xyb++=垂直，从而可求出,kb.【详解】因为直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，故直线ykx=与直线20xyb++=垂直，且直线20xyb++=过圆心()2,0，所以()21k−=−，

2200b++=，所以12k=，4b=−.故选：C.【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）A.22936xy+=B.223448xy+=C.22936xy+=D.225330xy+=

【答案】B【解析】【分析】分别求出四个椭圆的离心率，离心率的范围在()0,1，根据离心率越小越接近于圆可得答案.【详解】A.由22936xy+=，得221436xy+=，222=36,4,32abc==，离心率为322263cea===；B.223

448xy+=，得2211612xy+=，222=16,12,4abc==，离心率为2142cea===；C.22936xy+=，得221364xy+=，222=36,4,32abc==，离心率为322263cea===；D.225330xy+=，得221610xy+=，222=1

0,6,4abc==，离心率为210510cea===，因为22800103601225330530230===，所以223448xy+=更接近于圆.故选：B.5.已知双曲线C：2221(0)4xyaa−=的一个焦点和抛物线283y

x=−的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为()A.24yx=B.22yx=C.2yx=D.yx=【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．【详解】抛物线283yx=−的焦点()23,0−，双曲

线C：2221(0)4xyaa−=的一个焦点和抛物线283yx=−的焦点相同，可得23c=，可得2412a+=，解得22a=，所以双曲线C的渐近线方程：2.2yx=故选B．【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计

算能力．6.在正四面体OABC−中，,,OAaOBbOCc===，D为BC的中点，E为AD的中点，则用,,abc表示OE为（）A.111333OEabc=++B.1223OEabc=++C.111222OEabc=++D.111244

OEabc=++【答案】D【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算，用,,abc表示出OE.【详解】11()24OEOAAEOAADOAABAC=+=+=++1()4OAOBOAOCOA=+−+−，∴111244OEabc=++.

故选：D【点睛】本小题主要考查根据基底表示向量，属于基础题.7.如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DABCDABC−中放一个单位正方体礼盒1111DABCDABC−，现以点D为坐标原点，2DA、2DC、3DD分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D

xyz−，则正确的是（）A.1D的坐标为(1,0,0)B.1D的坐标为(0,1,0)C.13BB的长为293−D.13BB的长为14【答案】D【解析】【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可.【详解】由所建坐标系可

得：1(0,0,1)D，1(1,1,1)B，3(2,3,4)B，22213(12)(13)(14)14BB=−+−+−=.故选：D.【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.8.已知椭圆2212516xy+=两焦点12,FF，P为椭圆上

一点，若123FPF=，则12FPF△的的内切圆半径为（）A.33B.233C.3D.23【答案】B【解析】【分析】由余弦定理得()2212121212122c2osPFPFFPPFFFFPFFPPF=+−−，得到12FPPF

，可求得面积，再由()12121212PFFSPFPFFFr=++可得答案.【详解】2212516xy+=，22225,16,9abc===，由题意得12+210FPPFa==，1226FFc==，由余弦定理得()222221212121212121212+cos222

PFPFFPPFFFPFPFFFFPFPFPFFPPF+−−−==，得12643FPPF=，12121164163sinsin602233PFFSPFPF===，设内切圆的半径为r，则()1212121116316223PFFSPFPFF

Frr=++==，所以233r=.故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活

多样，是历年高考的热点.二､多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选､多选得0分.9.设几何体1111ABCDABCD−是棱长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.211ABACa

=B.212ABACa=C.21CDABa=−D.2112ABAOa=【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)Aa，(,,0)Baa，(0,,0)Ca，(0,0,0)D，1(

,0,)Aaa，1(,,)Baaa，,,222aaaO，∴11(0,,0)ABa=，(,,0)ACaa=−，(0,,0)ABa=uuur，1(,,)ACaaa=−−，()0,,0CDa=−，1(0,,)ABaa=，1,,2

22aaaAO=−−．∴211ABACa=，A对；21ACABa=，B错；12CDAaB=−，C对；2112ABAOa=，对．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰

当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.下列结论正确的是（）A.若是直线l方向向量，l⊥平面，则()R是平面的一个法向量；B.坐标平面内过点00(,)Pxy的直线可以

写成2200()()0(0)AxxByyAB−+−=+；C.直线l过点(2,3)−，且原点到l的距离是2，则l的方程是512260xy+−=；D.设二次函数(2019)(2020)yxx=−+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1).【答

案】BD【解析】【分析】A选项，当0=时，0=，不能作为平面的法向量；B选项，设过点00(,)Pxy的直线方程一般式为220(0)AxByCAB++=+，可得00CAxBy=−−，代入直线得2200()()0(0)AxxByyAB−+

−=+；C选项，直线l斜率存在和不存在两种情况；D选项，求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点，再利用圆的标准方程性质可判断.【详解】对于A，当0=时，0=，不能作为平面的法向量，故A错误；对于B，设过点00(,)Pxy的直线方程一般式为2

20(0)AxByCAB++=+，可得000AxByC++=，即00CAxBy=−−，代入直线方程得000AxByAxBy+−−=提取公因式得2200()()0(0)AxxByyAB−+−=+，故B正确；对于C，当直线l斜率不存在时，即2x=−，检验原点到l的距离是2，所以符合；当直线l斜率

存在时，设为k，则l方程为：3(2)ykx−=+，即230kxyk−++=，利用原点到直线的距离22321kdk+==+，解得512k=−，所以512260xy+−=，故直线l的方程是2x=−或51226

0xy+−=，故C错误；对于D，由题知，二次函数的图象与坐标轴的三个交点为(0,20192020)−，(2019,0)，(2020,0)−，设过这三个点的圆的方程为220xyDxEyF++++=，令20,0yxDxF=++=的两根为2019，-2020，由韦达定理知20192

020F=−，令20,y0xEyF=++=的其中一个根为20192020−，所以另一个根为1，即圆过点(0，1)，故D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：本题考查直线与圆的问题，直线方程有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式的直

线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为0；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化成一般式.11.若圆()2220xyrr+=上恰有相异两点到直线4325=0xy-+的距离等于1，则

r可以取值（）A.92B.5C.112D.6【答案】ABC【解析】【分析】首先求得圆心(0,0)到直线4325=0xy-+的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线4325=0xy-+的距离等于1，则4r=或6r=，分析题意，得到结果.

【详解】圆心(0,0)到直线4325=0xy-+的距离00255169d−+==+，半径为r，若圆上恰有一个点到直线4325=0xy-+的距离等于1，则4r=或6r=，故当圆()2220xyrr+=上恰有相异两点到直线4325=0xy-+的

距离等于1，所以(4,6)r，故选：ABC.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.12.双曲线C：22142xy−=的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则

下列说法正确的是（）A.双曲线C的离心率为62；B.若POPF⊥，则PFO△的面积为2；C.||PF的最小值为2；D.双曲线22148yx−=与C的渐近线相同.【答案】ABD【解析】【分析】由题知，双曲线方程2,2ab==，226cab=+=，

再利用双曲线离心率62cea==，双曲线渐近线方程byxa=，点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A，因为2,2ab==，所以226cab=+=，则离心率为62cea==，故A正确；选项B，若POPF⊥，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在22yx=上，即220xy−=，点(

6,0)F到渐近线的距离为2626d==，则()()22622PO=−=，所以PFO△的面积为12222S==，故B正确；选项C，||PF的最小值就是点F到渐近线的距离2d=，故C错误；选项D，它们的渐近线都是22yx=，渐近线相同

，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.三､填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.13.坐标平面内过点(2,1)A−，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为_

__________.【答案】12yx=−或1yx=−−.【解析】【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.【详解】当直线l在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l的方程为12yx=−；当直线l在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l的方程为1xyaa+=，又直线l过点(2,

1)A−，则211aa−+=，解得1a=−，所以直线l的方程为1yx=−−；所以直线l的方程为12yx=−或1yx=−−.故答案为：12yx=−或1yx=−−.【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式

1xyab+=，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.14.已知向量(1,1,0),a=(1,0,2)b=−且kab+与2ab−互相垂直，则k的值是________.【答案】75【解析】【分析】

利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由向量(1,1,0),a=(1,0,2)b=−，则()1,,2kabkk+=−，()23,2,2ab−=−，因为kab+与2ab−互相垂直，所以()kab+()20ab−=

，即()31240kk−+−=，解得75k=.故答案为：75【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.15.已知双曲线2213xymm−=的一个焦点是(0)2，，椭圆221yxnm−=的焦距等于4，则n=_______

_．【答案】5【解析】【详解】【分析】因为双曲线的焦点是()0,2，所以双曲线的标准方程是2213yxmm−=−−，即223,ambm=−=−，244cm=−=，即1m=−，所以椭圆方程是221yxn+=，因为焦距24c=，所以24c=，即14n−=，解得5n=，故填：5.16.如图，在ABC

中，90ACB=，2AC=，1BC=，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是___________.【答案】12+【解析】【分析】取AC的中点D，连接,BDOD，根据数形结合分析可知BOBDDO+，根据,,BOD

的位置关系求BO的最大值.【详解】取AC的中点D，连接,BDOD，90AOB=，112ODAC==，22112BD=+=,由图象可知21BOBDDO+=+，当,,BOD三点共线时，等号成立，所以点B到原点O的最大距离是21+.【点睛】本题考查动点和定点距离的最大值

，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是分析,,BDO三点的位置关系.四､解答题：共6个小题，满分60分17.已知曲线()()222240.axbybabR−−+−=：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问

题，然后对选择的问题进行求解.①若42ab==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及xy、的取值范围；②若32ab==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；③若3a=

，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b如何变化，这两点都不在曲线上.【答案】答案见解析【解析】【分析】选择①得到抛物线方程为：22yx=，根据抛物线的几何性质可得答案；选择②得到抛物线方程为：2yx=，讨论直线斜率不存在和存在两种情况分别求k.选择③得到曲

线的方程为：22240xbyb−+−=，即2224byxb=+−讨论0b=和0b≠时的情况可得答案.【详解】选择①；因为42ab==，，所以该曲线方程为：22yx=，该曲线是抛物线，其对称轴方程是0y=､顶点坐标为(0,0)､焦点坐标为1,02

､x的取值范围是[0,)x+､y的取值范围是R；选择②；因为32ab==，，所以该曲线的方程为：2yx=.该曲线是抛物线，当过点(-1，0)的直线斜率不存在时，此时直线与曲线2yx=没有交点，不符合题意；当过点(-1，0)的直线斜率存在时，设为k，因此直线方程可设为：

(1)ykx=+，两个方程联立得：2(1)ykxyx=+=消去x可得：20kyyk−+=.当0k=时，此时0y=，此时符合经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点；当0k时，只需2140k=−=，解得12k=，此时方程为：1(1)

2yx=+.综上所述：符合题意的直线方程为：0,210,210yxyxy=−+=++=.选择③；因为3a=，所以曲线的方程为：22240xbyb−+−=，即2224byxb=+−.当0b=时，2x=；当0b≠时，2242,yxbb=+−当2x=时，22y=，因此符合题意这两个点可为(,2),

(,2),(2,2)pqpq−.【点睛】劣构问题的主要特点是:（1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数、变量很少，目标界定含糊不清或缺少限定；（2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解；（3）因为不同的情境使然，没

有原型的案例可供参考；（4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成瞭解决方案来说是必须的，并将它们组织起来；（5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确的方法；（6）需要学习者对问题作出判断，并说明理由.18.已知直角坐标平面xOy内的

两点()()8,6,2,2AB−.（1）求线段AB的中垂线所在直线的方程；（2）求以向量AB为方向向量且过点()2,3P−的直线l的方程；（3）一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直

线方程.【答案】（1）34230xy−−=；（2）4310xy++=；（3）4520xy+−=.【解析】【分析】（1）根据中点公式，得AB的中点坐标，再根据斜率公式求得ABk，进而可得中垂线的斜率，然后根据点斜式即可求得直线方程.（2）易知直线

l的斜率为43−，再利用点斜式求得方程即可.（3）根据对称知识，可得点B关于y轴的对称点B的坐标，进而可推出反射光线的点斜式方程.【详解】（1）由82625,222+−+==−，∴线段AB的中点坐标为()5,2−又624823ABk−−==−−，∴线段AB的中垂线的斜率

为34，∴由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为43(2)3yx+=−−，即34230xy−−=.（2）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为43−，由直线方程的点斜式得直线l的方

程为43(2)3yx+=−−，即4310xy++=.（3）设(2,2)B关于y轴的对称点为(,)Bmn，则点(2,2)B−，所以2(6)4285ABk−−==−−−，则直线4:2(2)5AByx−=−+，即反射光线所在的

直线方程为4520xy+−=.【点睛】关键点睛：本题考查直线方程的求解，解题的关键是掌握直线的点斜式方程，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，ABAD⊥，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，2AB=

，1PAADCD===.（1）证明：//EC平面PAD；（2）求二面角EACP−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】(1)将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取AP的中点F，连EF，DF,证明//ECFD即可；（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可

建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角EACP−−的余弦值，进一步求解出正弦值.【详解】（1）证明：如图，取AP的中点F，连EF，DF，∵BEPE=，PFAF=，∴11//,22EFABEFAB=∵在直角梯形ABCD中，∴11//,22CDABCDAB=，∴//,C

DEFCDEF=，∴四边形EFDC为平行四边形，∴//ECFD∵DF平面PAD，EC平面PAD，//ECFD，∴//EC平面PAD，（2）∵PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB，AD，A

P向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下：(0,0,0)A，(0,0,1)P，(1,1,0)C，(2,0,0)B，11,0,2E设平面APC的法向量为(),

,mxyz=由(0,0,1)AP=，(1,1,0)AC=，有00APmzACmxy===+=,取1x=，则1y=−，0z=，即(1,1,0)m=−设平面EAC的法向量为(),,nabc=由(1,1,0)AC=，11,0,2AE=，有0102ACna

bAEnac=+==+=，取1x=，则1y=−，2z=−，即(1,1,2)n=−−所以23cos,326mn==故二面角EACP−−的正弦值为16133−=.【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题

中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.20.古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这

样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(0k且1k)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy中的点(20),(22,0)EF，，则满足||2||PFPE=的动点P的轨迹记为圆E.（1）求圆E的方程；（2）若点

(2,2),(2,6),(4,2)ABC−−−，当P在E上运动时，记222||||||PAPBPC++的最大值和最小值分别为M和m，求Mm+的值.（3）过点(3,3)Q向圆E作切线,QSQT，切点分别是,ST，求直线ST的方程.

【答案】（1）224xy+=；（2）160；（3）3340xy+−=.【解析】【分析】（1）设点(,)Pxy，由||2||PFPE=，利用两点之间距离公式可得224xy+=,即为圆E的方程.（2）设(,)Pxy得，利用两点之间距

离公式化简可得222||||||8012PPBPyAC++=−，又22y−≤≤，即可求得最大值M和最小值m，进而求得mM+.（3）设切点1122(,),(,)SxyTxy，利用点斜式求得直线QS方程为：114xxyy+=

，同理直线QT方程为：224xxyy+=，由均过点(3,3)Q，代入可得11334xy+=，22334xy+=，即点,QS都在直线334xy+=上，即直线ST的方程.【详解】（1）设点(,)Pxy，由||2||PFPE=，且(20),(22,0)EF，得2222(22)2(2)xyxy−+=

−+，整理得224xy+=,所以圆E的方程为224xy+=（2）由(2,2),(2,6),(4,2)ABC−−−，设(,)Pxy得222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PAPBPCxyxyxy++=++−+++−+−++()223126812

68128012xyyyy=+−+=+−=−，而22y−≤≤，当2y=时，取得最小值56m=；，当2y=−时，取得最大值104M=，所以160mM+=.（3）设切点1122(,),(,)SxyTxy，则1111,OSQSyxkkxy==−，直线QS方程为：1111

()xyxxyy=−−+，整理得2211114xxyyxy+=+=，同理可得直线QT方程为：224xxyy+=，由直线,QSQT均过点(3,3)Q，则11334xy+=，22334xy+=即点,QS都在直线334xy+=上，所以直线ST的方程为3340xy+

−=.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见的解题方法有：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形；（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．21.坐标平面内的动圆M与

圆1C22:(4)1xy++=外切，与圆222:(4)81Cxy−+=内切，设动圆M的圆心M的轨迹是曲线，直线0l:45400xy−+=.（1）求曲线的方程；（2）当点M在曲线上运动时，它到直线0l的距离最小？最小值距离

是多少？（3）一组平行于直线0l的直线，当它们与曲线E相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）221259xy+=；（2）点9(4,)5M−到直线0l的距离最小，距离最小

为154141；（3）在同一直线，直线为：9200xy+=.【解析】【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得12||||10MCMC+=，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与0l平行的直线l的方程为450xym−+=，代入221259xy+=，整理可得222582250

xmxm++−=，当222500360m=−=，直线l与曲线相切，此时点9(4,)5M−到直线0l的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为1122(,),(,)AxyBxy，利用点差法化简得121

21212925yyxxxxyy−+=−−+，即49525xy=−，整理得9200xy+=.【详解】解：（1）设动圆M的半径为r，由题意可知12||1,||9MCrMCr=+=−，则1212||||10||8MCMCCC+==，根据椭圆

的定义可知曲线是以12,CC为焦点，长轴长为10的椭圆，其中210,28ac==，即225,4,543acb===−=所以曲线的方程为：221259xy+=.（2）设与0l平行的直线l的方程为450xym−+=，即455my

x=+，代入221259xy+=，可得224925()22555mxx++=，整理得222582250xmxm++−=，22264100(225)2250036mmm=−−=−，当0=时，此时25m=直线l与曲线相切，根

据图形可知当25m=时，点9(4,)5M−到直线0l的距离最小，min229|4(4)540|154154145d−−+==+.（3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与0l平行的直线与曲线的两交点坐标为1122(,)

,(,)AxyBxy，中点(,)Nxy，2211222212591259xyxy+=+=，两式作差得222212120259xxyy−−+=，整理可得：12121212925yyxxxxyy−+=−−+，即49525xy=−，整理得9200xy+=，即所有弦的中

点均在直线9200xy+=上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点

的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．22.椭圆的左､右焦点分别为()11,0F−､()21,0F.经过点()11,0F−且倾斜角为()0的直线l与椭圆交于A､B两点(其中点A在x轴上方)，2ABF的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面xO

y沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直.①当2=时，求2ABF的周长；②当=3时，求异面直线1AF和2BF所成角的余弦值.【答案】（1）22143xy+=；（2）①3252+；②1328.【解析】【分析】（1）根据2ABF

的周长为8，可得48a=，即可求得2a=，1c=，结合222abc=+，即可得b的值，即可得椭圆的标准方程；（2）①当2=时，直线:1lx=−，可得A，B的值，求1||AF，1||BF，2||AF，2||BF的长度，由勾股定理可得AB的

值，即可得22||||||ABAFBF++的值，即可得2ABF的周长；②建立空间直角坐标系，写出A、B、1F、2F的坐标，求出1FAuuur、2BF的坐标，利用向量的夹角公式即可求夹角的余弦值.【详解】（1）因为2ABF的周长

为8，所以48a=，2a=由题意得1c=，2223bac=−=所以椭圆的方程为22143xy+=.（2）①当2=时，直线:1lx=−，此时31,2A−，31,2B−，113||||2AF

BF==，225||||2AFBF==，折叠后1||AF，1||BF，2||AF，2||BF的长度不变，但22113||||||22ABAFBF=+=，此时2ABF的周长为223||||||252ABAFBF++=+.②当3=时，直线():031lyx−=

+，与22143xy+=联立求得()0,3A，(因为点A在x轴上方)以及83,355B−−，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标

系，则()10,1,0F−，()003A,,，383,,055B−，()20,1,0F，()10,1,3FA=，23133,,055BF=−.设异面直线1AF和2BF所成角为，则121

213135cos142825FABFFABF===uuuruuuruuuruuur，所以异面直线1AF和2BF所成角的余弦值为1328.【点睛】思路点睛：求异面直线所成的角的方法一、定义法：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其

基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，

当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、向量法建立空间直角坐标系，确定两直线的方向向量a，b则两直线所成的角满cosabab=rrrr.