【文档说明】湖南省衡阳市2022届高三下学期联考（一）（3月 一模） 数学参考答案.pdf，共(6)页，605.537 KB，由envi的店铺上传

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衡阳市2022届高三联考试题参考答案一．选择题：题号123456789101112答案BCABDACDACBCBCDABD8.【解析】设正方体中心为𝑂1，由题设可知𝑃∈平面𝐴𝐶𝐷1，平面𝐴𝐶𝐷1∩平面𝐵1𝑃𝐷1=𝑃𝐷1，由正方体性质𝐵1𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷1

，且𝐵1𝐷∩平面𝐴𝐶𝐷1=𝑂，所以作𝑂𝑄⊥𝐷1𝑃于𝑄，连𝑄𝐵1,则∠𝐵1𝑄𝑂即为𝐵1−𝑃𝐷1−𝐶的平面角，所以∠𝐵1𝑄𝑂=𝜋3.设正方体棱长为1，𝑅𝑇△𝐵1𝑂𝑄中，𝐵1𝑂=2√33，则𝑂𝑄=23在𝑅𝑇

△𝑂𝑄𝐷1中𝑂𝐷1=√33×√2=√63，所以sin⁡∠𝑃𝐷1𝑂=𝑂𝑄𝑂𝐷1=√63.11.【解析】对于𝐴:设双曲线半焦距为𝑐，易知𝐵(−𝑐2,𝑏𝑐2𝑎),由𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗可得𝐴(−2𝑐3,𝑏𝑐3𝑎)，依题：4𝑐29𝑎2−𝑐29𝑎2=1，得𝑐2𝑎2=3,𝑏2𝑎2=2，故渐近线方程为𝑦=±√2𝑥,𝐴错误；对于𝐵:由𝑐2𝑎2=3可得𝑒=√3，𝐵正确；对于�

�:𝐴到两渐近线距离的乘积𝑑1𝑑2=|𝑏𝑥𝐴−𝑎𝑦𝐴|⋅|𝑏𝑥𝐴+𝑎𝑦𝐴|(√𝑎2+𝑏2)2=𝑎2𝑏2𝑐2=𝑏23，𝐶正确对于𝐷:法一:𝑘𝑂𝐴=−𝑏2𝑎=−√22，𝑘𝐴𝐵=𝑏𝑎=√

2，𝑘𝑂𝐴⋅𝑘𝐴𝐵=−1故𝑂𝐴⊥𝐴𝐵,|𝑂𝐴|=√4𝑐29+𝑏2𝑐29𝑎2=√63𝑐，|𝐴𝐵|=√(−𝑐2+23𝑐)2+(𝑏𝑐2𝑎−𝑏𝑐3𝑎)2=𝑐2√3，故tan⁡∠𝐴𝑂𝐵=|𝐴𝐵||𝑂𝐴|=√24,故𝐷正确.（法

二:运用向量处理或作垂线求差角的正切值）12.【解析】A.由1211=−++nnnaaa，得()121=−+nnaa，当11==aa时，1=na，为常数列；B.111121111111−=−−−−=−−−+nnnnaaaa，故−11na为等差数列，01=a时，()()nnan−=

−−+−=−11111，−11na的前10项和为5510321−=−−−−−；C.由B知，1113=a时，()()nnan−=−−+−=−2131111113111，故nan−+=21311，数列na的最小值为17−=a；D.()()naanaan−

−=−−+−=−1111111，故111111−−−=−−+=aannaaan，当na递增时，有11−aa，1a.二．填空题：13.2514.315.316.−6,2，672，16.【解析】易知𝑓(𝑥)的最小正

周期为2𝜋，𝑓(𝑥)={sin⁡𝑥+√3cos⁡𝑥,−𝜋2+2𝑘𝜋⩽𝑥<𝜋2+2𝑘𝜋sin⁡𝑥−√3cos⁡𝑥,𝜋2+2𝑘𝜋⩽𝑥⩽3𝜋2+2𝑘𝜋，即𝑓(𝑥)={2sin⁡(𝑥+𝜋3),−𝜋2+2𝑘𝜋⩽𝑥<𝜋

2+2𝑘𝜋2sin⁡(𝑥−𝜋3),𝜋2+2𝑘𝜋⩽𝑥⩽3𝜋2+2𝑘𝜋作出𝑓(𝑥)的图象:由图易知，𝑓(𝑥)的一个单调增区间为[−𝜋2,𝜋6],𝑎的取值范围为[𝜋2,7𝜋6]三、解答题17.【解析

】（1）125，故有cab，由正弦定理得CABsinsinsin，即求Bsin()()22122512cos222−=−+=B，又),0(B43=B，故22sin=B.---------------------------------------

-----------------------------------------------------------5分（2）设AC边上的中线为BD，则()BCBABD+=21()()()143cos21221cos22222222=++=++=+=BcaacBCBABD21=

BD，即AC边上的中线长为21.--------------------------------------------------------------------------------10分18.【解析】（1）1111()nnnnSaSS++=+

=+−，121nnSS+=+，112(1)nnSS+−=−，011−S，易知01−nS，2111=−−+nnSS，故数列{1}nS−为等比数列---------------------------------------------------------------

------------------------------------------5分（2）12nnS−=，111122nnnS=+21111112222nnnT+++=−------------------------------------------------

-----------------------------------------12分19.【解析】（1）证明：ABCD为正四面体，ABDABC,均为正三角形ABDEABCE⊥⊥,，又EDECE=，⊥AB平面ECD，又

AB平面ABC，平面⊥ABC平面ECD.-----------------------------5分（2）不妨设棱长为2.【法一：几何法】取CM中点Q，连接BQEM,，则BQ//EM，故EM与平面

ACD所成角就是BQ与平面ACD所成角，作⊥BO平面ACD于点O，则O为ACD的中心，连接QO，易知BQO为所求角.()332362362233222=−===BOAO，ABQ中，()91460cos32

2223222222=−+=BQ，314=BQ在BQORt中，742314332sin===QBBOBQO.------------------------------------------------------

--------------12分【法二】把此正四面体放于正方体中，建系如图.32,31,0,210,21ME，−=61,31,21EM平面ACD的一个法向量为()1

,1,1−==BRn，742,cos==nEMnEMnEM，设所求角为，则742,cossin==nEM-----------------------------------------------------------

-------------12分20.【解析】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，()27163232313202133=+==CXP，()811632323112224==

=CXP()81831323122224===CXP，()913132313132233=+==CXP所以X的分布列为X0123P1627168188119所以数学期望()81

5991381828116127160=+++=XE．----------------------------------------------------------6分（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件M，设

第i场甲、乙两名运动员积分分别为iX，iY，则3iiXY=−，1i=，2，因两名运动员积分相等，所以1212XXYY+=+，即1212(3)(3)XXXX+=−+−，则123XX+=，所以P（M）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)PXPXPXPXPXPXPXP

X===+==+==+==6561112027169181168188188116912716=+++=.-------------------------------------------------------------------------

-12分20.【解析】(1)由直线𝑦=𝑥−√22过点𝐹及椭圆的一个顶点，所以椭圆半焦距𝑐=√22，𝑏=√22，𝑎2=𝑏2+𝑐2=1，故椭圆𝐸标准方程为𝑥2+2𝑦2=1.---------------------

------------------------------------------4分(2)设直线𝐴𝐵的方程为:𝑥=𝑡𝑦+√22,𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，由{𝑥=𝑡𝑦+√22𝑥2+2𝑦2=1联立得:(𝑡2+2)𝑦2+√2𝑡�

�−12=0显然△>0，𝑦1+𝑦2=−√2𝑡𝑡2+2,𝑦1𝑦2=−12(𝑡2+2)由|𝑀𝐴|=2|𝑀𝐵|，则|𝑦1|sin⁡∠𝐴𝑀𝐹=2|𝑦2|sin⁡∠𝐵𝑀𝐹(1)因为𝑘𝐴𝑀+𝑘𝐵𝑀=𝑦1𝑥1−√2+𝑦2𝑥

2−√2=𝑦1𝑡𝑦1−√22+𝑦2𝑡𝑦2−√22=2𝑡𝑦1𝑦2−√22(𝑦1+𝑦2)(𝑡𝑦1−√22)(𝑡𝑦2−√22)=−𝑡𝑡2+2+√22×√2𝑡𝑡2+2(𝑡𝑦1

−√22)(𝑡𝑦2−√22)=0-------------------8分所以𝑥轴平分∠𝐴𝑀𝐵，则sin⁡∠𝐴𝑀𝐹=sin⁡∠𝐵𝑀𝐹，由(1)及𝑦1𝑦2<0可得:𝑦1=−2𝑦2,结合韦达定理解

得:𝑡2=27，则1𝑡2=72，故直线𝐴𝐵的斜率𝑘𝐴𝐵=±√142.---------------------------------12分22.【解析】（1）2(1)(1)()xxexfxx−−−=-------

----------------------------------------------------------------------------1分构造函数()1xgxex=−−0x时，()10xgxe=−，(

)gx单调递增，()()0gxgx=-------------3分故：1x时，()0fx，()fx单调递增，01x时，()0fx，()fx单调递减----------------------------------------------------

-------------------------5分（2）依题对(0,)xt，有：3223221111011110xxxxexkxxkxxxeexkxxkxxxe−+++−−−−−+++−−−−-------------------------

6分记321()1xxkxxhxe+++=−，()()xekxkxxxh1232−+−+−=记321()1xxkxxkxe−+++=−，()()xekxkxxxk1232−++−=1∘若12k，存在𝑡1=3−𝑘−√𝑘2+2𝑘+52,在𝑥∈(0

,𝑡1),，()0hx，()hx单调递减，()0hx，矛盾；-----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------8分2∘若12k，存在𝑡2=𝑘+3−√𝑘2−2𝑘+132,在𝑥∈(0,𝑡2)，()0kx，()kx单调递增，()0kx，矛盾；--------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------9分3∘若12

k=，25()2()xxxhxe−+=，27()2()xxxkxe−=当(0,1)x时，()hx单调递增，()kx单调递减，()0()kxhx------------------------

-----------------------11分综上可得：12k=----------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com