【文档说明】【精准解析】黑龙江省实验中学2020届高三下学期开学考试数学（理）试题.doc，共(22)页，1.865 MB，由小赞的店铺上传

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黑龙江省实验中学2020届高三学年下学期开学考试理科数学一、单选题1.已知集合1|244xAx=„，|22Byyxx==−+−，则AB=（）A.{2}B.{0}C.[2.2]−D.[0.2]【答案】B【解析】【分析】分别计算集合[2,2]A=−，集合{

0}B=，再求AB.【详解】由1244x剟，得22x−剟，即[2,2]A=−，由22yxx=−+−，得2x=，所以0y=，所以{0}B=，所以{0}AB=.故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于

简单题.2.给定下列三个命题：1:p函数xyaa=+（0a且1a）在R上为增函数；222:,0pabRaabb−+，；3:coscosp=成立的一个充分不必要条件是2()kkZ=+.其中的真命

题为（）A.12ppB.23ppC.13ppD.23pp【答案】D【解析】试题分析：由题意得，当01a时，函数xyaa=+在R上为减函数，所以1p为假命题；因为222213()024baabbab−+=−+，所以命题2p为假命题，则2p

为真命题；由当2()kkZ=+时，coscos=是成立的，而当coscos=成立时，2()kkZ=，coscos=成立的一个充分不必要条件是2()kkZ=+是真命题.所以命题23pp为真命题，故选D.考点：复合命题

的真假判定.3.l、m、n表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若m，n，//，则//mnB.若m，n，//m，//n，则//C.若l=，m

，n，lm⊥，ln⊥，则⊥D.若m，n，m⊥，n⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若m，n，//，则m与n无公共点，所以m与n平行或异面，A选项错误；对于B选项，若

m，n，//m，//n，则与平行或相交，B选项错误；对于C选项，若l=，m，n，lm⊥，ln⊥，则与斜交或垂直，C选项错误；对于D选项，若m，n，m⊥，n⊥，由平面与平面垂直的判定定理可得⊥，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查线面关系、面面关系有

关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知a，b为互相垂直的单位向量，若cab=−，则cos,bc=（）A.22−B.22C.33−D.33【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结

果.【详解】代数法：()()2cos,babbcbcbcab−==−22212222babaabb−−===−−+，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考

查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.01(e)dxxx−−=A.11e−−B.1−C.312e−+D.32−【答案】C【解析】【分析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限作差得答案．【详解】解：020111()()|2xxxedxxe−−−=−021110(1)22e

e−=−−−+1113122ee=−−+=−．故选：C．【点睛】本题考查了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于基础题．6.设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A.2211x

xxx++≥B.312xxxx+−++−≤C.12xyxy−+−D.xyxzyz−−+−【答案】C【解析】【详解】试题分析：xyxzzyxzzyxzyz−=−+−−+−=−+−，故D恒成立；由于函数()1fxx

x=+,在(0,1单调递减；在)1,+单调递增,当1x时,()()221,xxfxfx即2211xxxx++,当01x,()()2201,xxfxfx即2211xxxx++≥正确，即A正确；由于22312312xxxxxxx

x+−+==+−+++++,故B恒成立，若1xy−=−,不等式12xyxy−+−不成立,故C不恒成立,故选C．考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．7.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若60A=，3a=，3bc+=，则ABC的面

积为()A.34B.32C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理求得bc,再根据三角形面积公式即可求解.【详解】在ABC中,60A=,3a=,3bc+=由余弦定理2222cosabcbcA=+−代入可得223bcbc=+−,即()233bcbc=+−所以2bc=则ABC的

面积1133sin22222ABCSbcA===故选:B【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy中，已知2111ln0xxy−−=

，2220xy−−=，则()()221212xxyy−+−的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据条件得到()()221212xxyy−+−表示的是曲线2111lnxxy−=，222xy−=上两点的距离的平方，∵y=x2﹣lnx，∴y′=2

x﹣1x（x＞0），由2x﹣1x=1，可得x=1，此时y=1，∴曲线C1：y=x2﹣lnx在（1，1）处的切线方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0，与直线x﹣y﹣2=0的距离为22=2，∴()()221212xxyy−+−的最小值为2．故答案为B．点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，

求出曲线C1：y=x2-lnx与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.9

.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的

方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）A.46B.44C.42D.40【答案】B【解析】【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3

,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上

列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244++++++++++++++=.故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原

理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.10.设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F,抛物线C与圆22:(3)3Cxy+−=交于M,N两点,若||6MN=,则MNF的面积为()A.28B.38C.328D.324【答案】B【解析】【

分析】由圆C过原点，知,MN中有一点M与原点重合，作出图形，由3CMCN==，6MN=，得CMCN⊥，从而直线MN倾斜角为4，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数p，可得F点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线

的一个交点，不妨设为M，如图，由于3CMCN==，6MN=，∴CMCN⊥，∴4CMN=，4NOx=，∴点N坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p=，32p=，∴3(,0)4F，113332248FMNNSMFy===．故选：B.【点睛】

本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O是其中一个交点，从而MNC是等腰直角三角形，于是可得N点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11.在内接于球O的四面体ABC

D中,有ABCDt==,6ADBC==,7ACBD==,若球O的最大截面的面积是554,则t的值为()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题

意求出外接球的半径,进而求出t的值.【详解】将四面体放入到长方体中,AB与CD,AD与BC,AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线,设长方体的长,宽,高分别是,,abc则22222222276abtbcac+=+=+=,()2222285abct+

+=+球O的最大截面的面积是554,球的最大截面即是过球心的大圆,设球的半径为R则2554R=,2222(2)55,2RRabc==++2222(2)Rabc=++,255285t=+,解得:5t=,故选:A.【点睛】考查三棱锥的外接球的半

径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数22()ln(1)fxxxax=−−(a∈R),若()0fx在x∈(0,1］时恒成立,则实数a的取值范围是A.［24,+∞）B.[12,+∞)C.[2,+∞)D.[1

,+∞)【答案】B【解析】【分析】首先将式子化简，将参数a化为关于x的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.【

详解】根据题意，有22ln(1)0,((0,1])xxaxx−−恒成立，当1a时，将其变形为22ln1xxax−恒成立，即2max2ln()1xxax−，令22ln()1xxgxx=−，利用求得法则及求导公式可求得3222ln'(

)(1)xxxxgxx−−=−，令3()2lnhxxxxx=−−，可得22'()312ln232ln3hxxxxx=−−−=−−，可得2336()()26233''()6xxxhxxxxx+−−=−==，因为(0,1

]x，所以3(0,)3x时，''()0hx，3(,1]3x时，''()0hx，所以函数)'(hx在3(0,)3x时单调减，在3(,1]3x时单调增，即33'()()132lnln3233hxh=−−=−，而'(1)0h=，所以()hx在3(,

1]3上是减函数，且(1)0h=，所以函数()hx在区间3(,1]3上满足()0hx恒成立，同理也可以确定()0hx在3(0,]3上也成立，即'()0gx在(0,1]x上恒成立，即22ln()1xxgxx=−在(0,1]x上单调

增，且22111ln2ln2ln11limlimlim1222xxxxxxxxxxx→→→++===−，故所求的实数a的取值范围是1[,)2+，故选B.点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定

出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处取得最值，还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的.二、填空题13.若复数()()1aii++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=______.【答案】1−【解析】【分析】由复数对应点在实

轴上可知其虚部为零，由此构造方程求得结果.【详解】()()()()111aiiaai++=−++()()1aii++对应的点在实轴上10a+=，解得：1a=−故答案为：1−【点睛】本题考查根据复数对应的点的位置求解参数范围的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题.14

.现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______.【答案】48【解析】【分析】先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况.【详解】将五个人全排列,共有55A种;高一学

生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,共有223223AAA种.高一学生相邻,高二学生不相邻:捆绑法把高一学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高二的学生插3个空位中的两个,共有222223AAA种.高二学生相邻,高

一学生不相邻:捆绑法把高而学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,共有222223AAA种.所以满足同一年级的学生不能相邻的总排列方法有5223222222522322322312024242448AAAAAAAAAA−−

−=−−−=种故答案为:48【点睛】本题考查了排列问题的综合应用,对于相邻问题,通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理,属于中档题.15.已知直线1yx=−与双曲线()2210,0axbyab+=的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的

斜率为32−，则ab=______.【答案】32−【解析】【分析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得,AB两点坐标,利用中点坐标公式求得中点M的坐标.即可由直线斜率公式求得ab.【详解】双曲线()2210,0axby

ab+=所以其渐近线方程为ayxb=−因为直线1yx=−与渐近线交于A,B两点则1yxayxb=−=−解得111xababyab=+−−=+−或111xababyab

=−−−−=−−即两个交点坐标为1,11abAaabb−+−−+,1,11abaaBbb−−−−−−设,AB中点坐标为M则由中点坐标公式可得11,1abMaabb

++由题意32OMk=−则32MOMMyakxb===−故答案为:32−【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的简单应用,直线交点坐标的求法,斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐,属于中档题.16.观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是__

____；设2016是该表的m行第n个数，则mn+=______.【答案】(1).126(2).507【解析】【分析】第n行的第1个数是2n，这一行有12n−个数，由此可得第6行最后一个数，按此规律，由1220162nn+可知所在行数，然后可确定是第几个．【详解】由数表可知，第6行第一个数

为6264=，根据每行行数为i，则行内数字个数为()1*2iiN−个，所以第6行最后一个数是()564212126+−=；由1011220162，所以2016在第10行，所以()102122016n+−

=，得497n=，所以10497507mn+=+=.故答案为：126；507.【点睛】本题考查归纳推理，考查等比数列的通项公式与等差数列的通项公式，考查了学生的创新意识，归纳推理能力．三、解答题17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1

3xtyt=−=+（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2cos=，点P是曲线1C上的动点，点Q在OP的延长线上，且||3||PQOP=，点Q的轨迹为2C．（1）求直线l及曲线2C的极坐标方程；（2）若射线π(0)2=与直

线l交于点M，与曲线2C交于点N（与原点不重合），求||||ONOM的最大值.【答案】（1）直线l的极坐标方程为cossin4+=.2C的极坐标方程为8cos=（2）21+【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐

标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l参数方程中的t，得4

xy+=，由cos,sinxy==，得直线l的极坐标方程为cossin4+=，故4cossin=+．由点Q在OP的延长线上，且||3||PQOP=，得||4||OQOP=，设(),Q，则,4P

，由点P是曲线1C上的动点，可得2cos4=，即8cos=，所以2C的极坐标方程为8cos=．（2）因为直线l及曲线2C的极坐标方程分别为4cossin=+，8cos=，所以4cossin

OM=+，||8cosON=，所以()||π2coscossin1cos2sin212sin2||4ONOM=+=++=++，所以当π8=时，||||ONOM取得最大值，为21+．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方

程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．18.如图，四棱锥SABCD−的底面是边长为1的菱形，其中60DAB=，SD垂直于底面ABCD，3SB=；（1）求四棱锥SABCD−的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线D

M与SB所成角的大小．【答案】(1)66；(2)3．【解析】【分析】（1）求出1BD=，3AC=，2SD=，由此能求出四棱锥SABCD−的体积．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出异面直线DM与SB所成角．【详解】解：（1）∵四棱锥SABCD−的底面是边长为1的菱形，其中60DAB=，SD垂直于底面ABCD，3SB=，∴1BD=，11211cos1203AC=+−=，22312SDBDSB=−=−=，11313222ABCDSACBD=

==，∴四棱锥SABCD−的体积113623326ABCDVSSD===．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，()1,0,0A，()0,0,2S，12,0,22M，13,,022B

，12,0,22DM=，13,,222SB=−，设异面直线DM与SB所成角为，则314cos2334DMSBDMSB===，故3=，∴异面直线DM与S

B所成角为3．【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解．19.已知函数33()sincos22fxxx=+（其中0）．（1）若函数()fx的最小正

周期为3,求的值，并求函数()fx的单调递增区间；（2）若2=，0，且3()2f=，求的值．【答案】（1）23=，递增区间332kk−+，（kZ）；（2）12

=或4.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f（x）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；（2）将ω＝2，可得f（x）解析式，0＜α＜π，由()32f=，利用三角函数公式即可求α的值．【详解】解：（1）函数()33322fxsinxcosx=+=sin（ωx

6+），∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T＝3π2=∴ω23=那么：()2336fxsinx=+，由2222362kxk−++，k∈Z，得：332kxk−+∴函数f（x）的单调递增区间为3

32kk−++，，k∈Z；（2）函数()33322fxsinxcosx=+=sin（ωx6+），∵ω＝2∴f（x）3=sin（2x6+），()32f=，可得sin（2α6+）32=∵0＜α＜π，∴6（2α6+）1362α63+=或23

解得：α4=或α12=．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20.已知等差数列{}na的前n项和为nS，满足2*1()2nnaSnN+=.数列{}nb的前n

项和为nT，满足*2()nnTbnN=−.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列2nnab的前n项和'nS.【答案】（1）21nan=−,112nnb−=；（2）23'32nnnS+=−.【解析】【分析】（1）

根据题意，求得12,aa，然后求得公差，即可求出数列na的通项，再利用11,1,2nnnTnbTTn−==−求得nb的通项公式；（2）先求出2nnab的通项，然后利用数列求和中错位相减求和'

nS.【详解】解：（1）由212nnaS+=，得211112aSa+==，解得11a=.由222122112aSaaa+=+=+=，解得23a=或21a=−.若21a=−，则2d=−，所以33a=−.所

以2331312aS+=−=，故21a=−不合题意，舍去.所以等差数列na的公差212daa=−=，故21nan=−.数列nb对任意正整数n，满足2nnTb=−.当1n=时，1112bTb==−，解得11b=；当1n时，()()11122nnnnnnnbTTbbbb−−−=

−=−−−=−，所以()1122nnbbn−=.所以nb是以首项11b=，公比12q=的等比数列，故数列nb的通项公式为112nnb−=.（2）由（1）知2122nnnabn−=，所以2311352321'

...22222nnnnnS−−−=+++++，①所以2311132321'...22222nnnnnS+−−=++++，②①-②，得2311122221'...222222nnnnS+−=++++−211111121...22222nnn−+−

=++++−111112212112212nnn−+−−=+−−1111211222nnn−+−=+−−，所以23'32nnnS+=−.【点睛】本题主要考查了数列的综合（包

含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.21.已知椭圆C：22221xyab+=()0ab的离心率22e=，左、右焦点分别是1F、2F，且椭圆上一动点M到2F的最远距离为21+，过2F的直线l与椭圆C交于A，B两点.（1）求

椭圆C的标准方程；（2）当1FAB以1FAB为直角时，求直线AB的方程；（3）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB=，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）直线AB的方程为1yx

=−+或1yx=−（3）存在，()2,0P【解析】【分析】（1）由椭圆C的离心率22e=，且椭圆上一动点M到2F的最远距离为21+，列出方程组，求得,ab的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线ABl：()1ykx=−，则1AFl：()11yxk=−+，联立方程组，求得k的值

，即可求得直线的方程；（3）设ABl：()1ykx=−，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12xx+，12xx，再由斜率公式和以0APBPkk+=，即可求解点P的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C的离心率22e=

，且椭圆上一动点M到2F的最远距离为21+，可得2222221ceaacabc==+=+=+，解得211acb===，所以椭圆的标准方程为2212xy+=.（2）由题意可知，当k不存在时，1FAB不符合题意.设直线ABl：()1ykx=−，则1A

Fl：()11yxk=−+，∴()()111ykxyxk=−=−+，得()2211kxk+=−，∴22212,11kkAkk−−++∴()()()222222218211kkkk−+=++，427610k

k−−=，∴21k=，直线AB的方程为1yx=−+或1yx=−.（3）设(),0Pm，()11,Axy，()22,Bxy，ABl：()1ykx=−，()22122ykxxy=−+=∴()2222124220kxkxk+−+−=，∴2122412kxxk+=+，2122

2212kxxk−=+，∵11APykxm=−，22BPykxm=−，所以()()()()1221120APBPyxmyxmkkxmxm−+−+==−−，∴()1221120yxyxmyy+−+=，∴()()1212220kxxkmkxxkm−+++=，∴24kmk=，2m=，∴

()2,0P.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考

生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.已知函数1()lnfxaxx=−，aR．（1）若曲线()yfx=在点处的切线与直线20xy+=垂直，求a的值；（2）求函数()fx的单调区间；（3）当1a=，且2x时，证明：(1)25fxx−−．【答案】（1）1（

2）见解析（3）见解析【解析】【详解】（1）函数()fx的定义域为0xx，21()afxxx=+．又曲线()yfx=在点处的切线与直线20xy+=垂直，所以(1)12fa=+=，即1a=．（2）由于21()axfxx=+．当0a时，对于，有()0fx在定义域上恒成立，即()fx在

上是增函数．当0a时，由()0fx=，得．当时，()0fx，()fx单调递增；、当时，()0fx，()fx单调递减．(3)当1a=时，1(1)ln(1)1fxxx−=−−−，．、令1()ln(1)251gxxxx=−−−+−．22

11(21)(2)()21(1)(1)xxgxxxx−−=+−=−−−−．当2x时，()0gx，()gx在单调递减．又(2)0=g，所以()gx在恒为负．所以当时，()0gx．即1ln(1)2

501xxx−−−+−．故当1a=，且2x时，(1)25fxx−−成立．