【文档说明】2021-2022学年高二数学举一反三系列专题4.1 数列的概念-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx，共(12)页，1.056 MB，由管理员店铺上传

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专题4.1数列的概念-重难点题型精讲1．数列的概念数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做

这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类3．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间

的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数

依次去替换n，就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较6．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称

为数列{}的前n项和，记作，即=+++.如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.=.7．数列的性质(1)单调性如果对所有的，都有>，那么称数列{}为

递增数列；如果对所有的，都有<，那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的，都有=(k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.(3)有界性如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.【题型1根据数列的前几项写

出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】（20

20春•邯郸期中）数列−15，17，−19，111，…的通项公式可能是an＝（）A．(−1)𝑛−12𝑛+3B．(−1)𝑛3𝑛+2C．(−1)𝑛−13𝑛+2D．(−1)𝑛2𝑛+3【解题思路】根据题意，可得

数列的通项公式．【解答过程】解：由a1=−15，排除A，C，由a2=17，排除B，分母为奇数列，分子为（﹣1）n，故选：D．【变式1-1】（2021秋•焦作期中）数列﹣1，85，−157，249，…的一个通项公式是（）A．an＝（﹣1）n•𝑛(

𝑛+2)2𝑛+1B．an＝（﹣1）n•𝑛2+32𝑛−1C．an＝（﹣1）n•(𝑛+1)2−12𝑛−1D．an＝（﹣1）n•𝑛2+𝑛2𝑛+1【解题思路】把数列变形为−1×33，2×45，−3×57，4×69，•

••，由此可得它的通项公式．【解答过程】解：数列﹣1，85，−157，249，…，即数列−1×33，2×45，−3×57，4×69，•••，故它的一个通项公式是an＝（﹣1）n•𝑛(𝑛+2)2𝑛+1，故选：A．【变式1-2】（2021秋•河北月考）

数列12，−16，112，−120，130，……的一个通项公式为（）A．(−1)𝑛𝑛(𝑛+1)B．(−1)𝑛+1𝑛(𝑛+1)C．(−1)𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)D．(−1)𝑛+1(𝑛+1)(𝑛+2)【解题思路】直接利用数列的通项公式的求法求出结果．【解答过程】

解：数列12，−16，112，−120，130，……的一个通项公式为𝑎𝑛=(−1)𝑛+1𝑛(𝑛+1)．故选：B．【变式1-3】（2021秋•新乡期中）数列23，45，69，817，1033，⋯的一个通项公式为（）A．𝑎

𝑛=2𝑛2𝑛+1B．𝑎𝑛=2𝑛+22𝑛+1C．𝑎𝑛=𝑛+12𝑛+1−1D．𝑎𝑛=2𝑛+22𝑛+1+2【解题思路】由题意，根据分子，分母的变化规律，求出该数列的通项公式．【解答过程】解：分子为偶数，即为2n，分母为2n+1，则数列23，45，6

9，817，1033，⋯的一个通项公式为an=2𝑛2𝑛+1．故选：A．【题型2判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n

，即可得解.【例2】（2021春•威远县校级期中）已知数列{an}的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛−1，那么9是它的（）A．第10项B．第4项C．第3项D．第2项【解题思路】把𝑎𝑛=3𝑛−1中的an换成

9，解出n值即可．【解答过程】解：∵𝑎𝑛=3𝑛−1=9＝32，∴n＝3．故选：C．【变式2-1】（2021秋•广阳区校级月考）数列1，2，√7，√10，√13，⋯，则√22是这个数列的第（）A．8项B．7项C

．6项D．5项【解题思路】根据题意，归纳数列的通项公式，据此分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，数列1，2，√7，√10，√13，⋯，其通项公式为an=√3𝑛−2，若√3𝑛−2=√22，即3n﹣2＝22，解可得n＝8，√22是这个数列的第8项，故选：A．【变

式2-2】（2021春•金台区期末）已知数列1，2，√7，√10，√13，⋯，√3𝑛−2，⋯中，2√7是这个数列的（）A．第10项B．第11项C．第12项D．第13项【解题思路】由题意利用数列的通项公式，得出结论．【解答过

程】解：∵数列1，2，√7，√10，√13，⋯，√3𝑛−2，⋯，而2√7=√28，令3n﹣2＝28，求得n＝10，2√7是这个数列的第10项，故选：A．【变式2-3】（2021秋•连城县校级月考）已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n，则可以作为这个数列

的其中一项的数是（）A．10B．15C．21D．42【解题思路】根据题意，由数列的通项公式依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若an＝n2﹣n＝n（n﹣1）＝10，无正整数解，不是数列中的项；对于B，若an＝n2﹣

n＝n（n﹣1）＝15，无正整数解，不是数列中的项；对于C，若an＝n2﹣n＝n（n﹣1）＝21，无正整数解，不是数列中的项；对于D，若an＝n2﹣n＝n（n﹣1）＝42，有正整数解n＝7，则42是数列中

的项；故选：D．【题型3根据数列的递推公式求数列的某项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2021秋•寿光市校级月考）已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an+1=12an+12𝑛，则此数列的第4项是（）A．1B．12C．34

D．58【解题思路】利用递推关系即可得出．【解答过程】解：∵a1＝1，且满足an+1=12an+12𝑛，则𝑎2=12𝑎1+12=1，同理可得：a3=34，a4=12．故选：B．【变式3-1】（2021春•锦州期末）在数列{an}中，

𝑎1=12，𝑎𝑛+1=1−1𝑎𝑛，则a5＝（）A．2B．3C．﹣1D．12【解题思路】根据条件，利用递推式，代入计算，即可求得结论．【解答过程】解：𝑎1=12，𝑎𝑛+1=1−1𝑎𝑛，则

a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1+1＝2，a4＝1−12=12，a5＝1﹣2＝﹣1，故选：C．【变式3-2】（2021春•蕲春县期中）已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+n（n∈N+），则a4的值为（）A．5B．6C．7D．8【解题思路】代值计算即可．【

解答过程】解：∵a1＝2，an+1＝an+n，∴a2＝a1+1＝2+1＝3，a3＝a2+2＝3+2＝5，a4＝a3+3＝5+3＝8，故选：D．【变式3-3】（2021秋•启东市校级期中）在数列{an}中，an+1＝an+2+an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是（）A．﹣3

B．﹣11C．﹣5D．19【解题思路】依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．【解答过程】解：∵a1＝2，a2＝5，an+1＝an+2+an，∴令n＝1代入上式得a2＝a3+a1＝5，∴a3＝3依此类推得a4＝1，a5＝﹣2

，a6＝﹣3．故选：A．【题型4数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比

较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（2021秋•宝塔区校级月考）已知数列{an}的通项公式为an＝（n+1）(1011)𝑛，则该数列为（）A．递增数列B．递减数列C．摇摆数列D．先增后减数列【解题思路】利用作差法，结合函数的性质即可判断．【解答过程】解：a

n＝（n+1）(1011)𝑛，则an+1﹣an＝（n+2）（1011）n+1﹣（n+1）(1011)𝑛=（9−𝑛11）（1011）n，易知0＜（1011）n＜1，所以当n≤9时，an+1﹣an≥0，

n＞9时，an+1﹣an＜0，故该数列为先增后减数列．故选：D．【变式4-1】（2021秋•商丘期中）若数列{an}是单调递增的整数数列，且a1＝3，ak＝10，则正整数k的最大值为（）A．6B．7C．8D．10【解题思

路】由题意利用数列的函数特性，求得正整数k的最大值．【解答过程】解：数列{an}是单调递增的整数数列，且a1＝3，ak＝10，每项增加整数1时，正整数k的值取得最大值，故10＝3+（k﹣1）×1，求得k＝8则正整数k的最大值为10﹣2＝8，故选：C．

【变式4-2】（2021秋•河南月考）下列数列是递增数列的是（）A．{1﹣3n}B．{3n﹣2n+2}C．{2n﹣n}D．{（﹣3）n}【解题思路】列出数列的前几项，即可判断．【解答过程】解：对于A：{1﹣3n}属于递减数列；对于B：列出前2项可得﹣

5，﹣7，故不为递增数列；对于C：由于函数y＝2x﹣x为单调递增函数，故{2n﹣n}为递增数列；对于D：列出前3项可得﹣3，9，﹣27，故不为递增数列．故选：C．【变式4-3】（2021秋•金水区校级期中）已

知数列{an}满足an={−𝑛2+2𝑡𝑛，𝑛≤5，𝑛∈𝑁∗(𝑡−1)𝑛，𝑛＞5，𝑛∈𝑁∗，且数列{an}是单调递增数列，则t的取值范围是（）A．（92，194）B．（92，+∞）C．（5，+∞）

D．（1，4]【解题思路】由题意利用数列的单调性，二次函数的性质，求得t的范围．【解答过程】解：∵数列{an}满足an={−𝑛2+2𝑡𝑛，𝑛≤5，𝑛∈𝑁∗(𝑡−1)𝑛，𝑛＞5，𝑛∈𝑁∗，且数列{an}是单调递增数

列，∴{𝑡＞4.5−25+10𝑡＜(𝑡−1)×6，求得92＜t＜194，故选：A．【题型5数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.【例5】（2021春•湖州期中）设数列{an}满足a1＝2，an+1＝1−1�

�𝑛（n∈N*），则a2019＝（）A．2B．12C．−12D．﹣1【解题思路】利用数列{an}满足a1＝2，an+1＝1−1𝑎𝑛（n∈N*），可得其周期性．【解答过程】解：数列{an}满足a1＝2，an+1＝1−1𝑎𝑛（n∈N*），则a2=1−12=12，同理可得：a3＝﹣

1，a4＝2，a5=12，……，可得an+3＝an．a2019＝a3×672+3＝a3＝﹣1．故选：D．【变式5-1】（2021秋•海淀区校级月考）如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于数列{an}，a1＝4，an＝f（an﹣1），

n＝2，3，4，…，则a2019的值是（）A．1B．2C．5D．4【解题思路】探究出数列的周期性即可得出．【解答过程】解：a1＝4，an＝f（an﹣1），所以a2＝f（a1）＝f（4）＝1，a3＝f（a2）＝f（1）＝5，a4＝f（a3）＝f（5）

＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝4，a6＝f（a5）＝f（4）＝1，由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，以周期为4的周期数列，a2019＝a2016+3＝a3＝5，故选：C．【变式5-2】（2021春•驻马

店期末）已知数列{an}的任意连续三项的和是18，并且a5＝5，a13＝9，那么a2019＝（）A．10B．9C．5D．4【解题思路】由题意可得数列{an}是以3为周期的周期数列，以及an+an+1+an+2＝18，问题得以解决．【解答过程

】解：∵数列{an}的任意连续三项的和是18，∴数列{an}是以3为周期的周期数列，∵a5＝5，∴a2＝a5＝5，∵a13＝9，∴a1＝a13＝9∴a1+a2+a3＝18，∴a3＝4∵2019＝673×3，∴a2019＝a3＝4，故选：D．【变式5-3】（2021•济宁一模

）已知数列2008，2009，1，﹣2008，﹣2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于1．【解题思路】根据数列的特点，我们先写出几项观察其规律，可知每6项一循环，前6项之和为0，通过前2009项包含334个周期和前5个数

求解．【解答过程】解：∵数列前几项依次为2008，2009，1，﹣2008，﹣2009，﹣1，2008，2009，每6项一循环，前6项之和为0，∴前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为2008+

2009+1﹣2008﹣2009＝1．故答案为：1【题型6求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.【例6】（2021春•天山区校级期中）设an＝﹣3n2+15n﹣18

，则数列{an}中的最大项的值是（）A．163B．133C．0D．5【解题思路】由题意先求出对应的对称轴方程，再由n取整数求出到对称轴最近的n的值，代入an求出最大项的值．【解答过程】解：由题意得，an＝﹣3n2+1

5n﹣18，则对称轴方程n=−152×(−3)=52，又n取整数，所以当n＝2或3时，an取最大值为a3＝a2＝﹣3×22+15×2﹣18＝0，故选：C．【变式6-1】（2021春•大通县期末）在数列{an}中

，an＝﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（）A．103B．8658C．8258D．108【解题思路】结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可．【解答过程】解：an＝﹣2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=−29−2×2=2

94=714，∵n是整数，∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝﹣2×72+29×7+3＝108，故选：D．【变式6-2】（2020秋•汉中月考）已知数列{an}的通项公式𝑎𝑛=(𝑛+

1)⋅(1011)𝑛，则数列{an}的最大项为（）A．a8或a9B．a9或a10C．a10或a11D．a11或a12【解题思路】根据题意，由数列的通项公式可得𝑎𝑛𝑎𝑛−1=(𝑛+1)⋅(1011)𝑛𝑛⋅(1011)𝑛−1=10𝑛+1011𝑛，讨论n的取值范围，分

析𝑎𝑛𝑎𝑛−1与1的大小关系，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，数列{an}的通项公式𝑎𝑛=(𝑛+1)⋅(1011)𝑛，则𝑎𝑛𝑎𝑛−1=(𝑛+1)⋅(1011)𝑛𝑛⋅(1011)𝑛−1=10𝑛+1011𝑛，当n＜10时，𝑎𝑛𝑎𝑛−1＜1，数列

{an}递增，当n＝10时，𝑎𝑛𝑎𝑛−1=1，即a9＝a10，当n＞10时，𝑎𝑛𝑎𝑛−1＞1，数列{an}递减，故数列{an}的最大项为a9或a10，故选：B．【变式6-3】（2021秋•金安区校级月考）已知数列an=𝑛−√34𝑛−√35，则数列{an}前30项中的最大项与最

小项分别是（）A．a1、a30B．a30、a1C．a5、a6D．a6、a5【解题思路】利用数列的函数性质，考虑分离常数的方法得到反比例函数，由反比例函数的单调性解决问题．【解答过程】𝑎𝑛=𝑛−√34𝑛−√35=𝑛−

√35+√35−√34𝑛−√35=1+√35−√34𝑛−√35，又因为𝑓(𝑛)=√35−√34𝑛−√35是反比例函数且为减函数．又因为5＜√35＜6，所以当n＝5时，an最小．当n＝6时，an最大．故选

：D．