【文档说明】山西省2021届高三下学期3月高考考前适应性调研考试（一模）理科数学试题答案与解析.pdf，共(13)页，4.452 MB，由小赞的店铺上传

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A卷选择题答案一、选择题1.C【解析】因为x²+x-12<0，即(x+4)(x-3)<0，解得-4<x<3，所以A={x|-4<x<3}.所以A∩B={x|-4<x<0}.2.A【解析】由三角函数的定义得sinα=-255，cosα=55，所以sin2α=2sinαcosα=-45.3.

D【解析】由高斯函数的定义可知其值域为Z，故A正确；∵[]0.5=0,[]-0.5=-1，∴y=[]x不是奇函数，故B正确；易知()x+1-[]x+1=x-[]x，所以y=x-[]x是一个周期为1的周期函

数，故C正确；当0≤x<1时，[]x=0，所以y=[]x在R上不单调，故D错误.4.C【解析】根据题意，录取率为6002000×100%=30%，故应录取成绩最高的30%的报名者.根据频率直方图可知，80~100分占总体的比例可估计为20%，7

0~100分占总体的比例可估计为40%，故录取分数线在70~80之间，设录取分数线为x，则80-x80-70×0.2+0.15+0.05=0.3，解得x=75.5.B【解析】指数函数y=()bax图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数y=ax2-bx=

()ax-bx，有零点ba,0.A，B选项中，指数函数y=()bax在R上单调递增，故ba>1，故A错误、B正确.C，D选项中，指数函数y=()bax在R上单调递减，故0<ba<1，故C，D错误.6.D【解析】由题意不妨设双曲线的渐近线在坐标系中的

位置如图所示：由tanα=2tanα21-tan2α2可得tanα2=12或tanα2=-2（舍），当双曲线的焦点在x轴上时，e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+tan2α2=52；当双曲线的焦点在y轴上时，e=ca=a2+b2a2=1+

b2a2=1+1tan2α2=5；故选D.（第6题答图）yxOa秘密★启用前2021年山西省高考考前适应性测试理科数学参考答案详解及评分说明理科数学试题答案第1页（共9页）评分说明：1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参

照评分说明中相应的规定评分.2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分.7.A【解析】因为a，b，c∈R+，且ab+ac=4，所以2a+2b+c+32a+b+c=2(a+b+c)a(b+c)+32a+b+c=a+b+c2+32a+b

+c≥8.由a+b+c2=32a+b+c，得a+b+c=8，所以b+c=8-a，代入ab+ac=4，得a=4±23.又因为a>4，所以a=4+23，b+c=4-23.此时“=”成立，故所求最小值为8.8.C【解析】如图，过B作点A所在侧棱的垂线，垂足

为E，连接DE，易知平面BDE∥长方体的底面，故二面角A-BD-E即为所求二面角.由题意可知∠ADE=∠ABE=30°，DE=BE=2，AE=233，AD=AB=433，BD=22，取BD中点O，则由ED=EB,AD=AB可知EO

⊥BD,AO⊥BD，故∠AOE即为二面角A-BD-E的平面角，于是tan∠AOE=AEOE=AE12BD=23312×22=63即为所求.9.A【解析】第一次操作去掉的区间长度为14；第二次操作去掉3个长度为142的区间，长度和为142×3；第三次操作去掉3²个长度为143的区间，长度和为14

3×3²；…，第n次操作去掉3n－1个长度为14n的区间，长度和为14n×3n－1.于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn=14+142×3+143×3²+…+14n×3n-1=14éëêêùûúú1-()34n1-34=1

-()34n.由题意知：1－()34n≥1920，化简得n≥1+lg22lg2-lg3≈10.4，又n为整数，∴n的最小值为11.10.D【解析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则由已知得πr24πR2=29，则r=22

3R球心到底面的距离为h=R2-r2=13R，所以圆锥的高为43R或23R，得体积比为827或427.11.B【解析】解法一：f()x=0，得||logax=1ax，即||||||||log1ax=()1ax.由题意知函数y=|||||||

|log1ax图象与函数y=()1ax图象有两个交点.当a>1时，y=||||||||log1ax,y=()1ax草图如下，显然有两交点.yx11Oy=||||||||log1axy=()1ax0<a<1yx11Oy=||||||||log1ax

y=()1axa>1（第11题答图）ABCDEO（第8题答图）理科数学试题答案第2页（共9页）理科数学试题答案第3页（共9页）当0<a<1时，函数y=||||||||log1ax图象与函数y=()1ax图象有

两个交点时，注意到y=()1ax,y=log1ax互为反函数，图象关于直线y=x对称，可知函数y=()1ax图象与直线y=x相切，设切点横坐标x0，则ìíîïïïï()1ax0=x0()1ax0ln1a=1，解得{x0=e,a=e-1e.综上，a的

取值范围为{}e-1e⋃()1,+∞，选B.解法二：当a>1时，符合题意（见解法一）；当0<a<1时，由函数图象可知g(x)=||||||||log1ax与h(x)=()1ax在x∈(0,1)内有唯一公共点，于是它们在(0,+∞)上有两个公共

点的充要条件是在x∈(1,+∞)上有唯一公共点，即x∈(1,+∞)时，g(x)=log1ax与h(x)=()1ax在唯一点(m,n)处有共同的切线，由ìíîïïïïg(m)=n,h(m)=n,g′(m)=h′(m),，得ìíîïïïïïïïïïïïïlog

1am=n,……①()1am=n,……②1m·1ln1a=()1amln1a,……③①即()1an=m，……④由②④知，若m>n，则n=()1am>()1an=m矛盾，若m<n，则n=()1am<()1an=m矛盾，故只可能m=n，于是()1am=n=

m，……⑥，⑥代入③，整理得1m·1ln1a=mln1a，即mln1a=1，m=1ln1a，代入⑥，得()1a1ln1a=1ln1a，取对数，得1ln1a·ln1a=-ln()ln1a=1，解得a=e-1e.12.D【解析】对an=an-2⋅an-12an-2-a

n-1的两边取倒数，得1an=2an-2-an-1an-2⋅an-1=2an-1-1an-2，即1an-1an-1=1an-1-1an-2，故数列{}1an为等差数列，其首项1a1=1，公差为1a2-1a1=43，故1an=1+43(n-1)=4n-

13，an=34n-1，于是a2021=38083，所以p+q=3+8083=8086.B卷选择题答案1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.C9.D10.C11.B12.AA、B卷非选择题答案二、填空题13.8【解析】∵z=2(-12+32i)，∴z

3=23(-12+32i)3=8.14.2n+1-1n+1【解析】由已知等式观察，等式右边为2k-1k形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当n∈N*时，1+12C1n+13C2n+⋯+1n+1Cnn=2n+1-1n+1.15.②④【解析

】对于①，易知当n=11时，f(x)展开式共有12项，故①错误；对于②，n=8时，f(x)展开式第3项与第6项的二项式系数之比为C28C58=C28C38=8×72×18×7×63×2×1=12，故②正确；对于③

，n=7时，设f(x)=()3x-2x7=a7x7+a6x5+⋯+a0x-7，令x=1，得f(1)=1=a7+a6+⋯+a0，故③错误；对于④，n=5时，f(x)展开式的通项Tr+1=Cr5(3x)5-

r()-2xr=Cr5(-1)r35-r2rx5-2r，其中r∈{0,1,2,3,4,5}，显然当r∈{0,2,4}时，Tr+1系数为正数，r∈{1,3,5}时，Tr+1的系数为负数；当r=1时，T2=-810x3，r=3时，T4=-72

0x-1，r=5时，T6=-32x-5，故系数最小的项是T2=-810x3，④正确.16.6【解析】设AB的方程为x=my+p2，A(x1,y1),B(x2,y2)，则由{y2=2pxx=my+p2得y2-2pmy-p2=0，∴y1+y2=2pm，y1y2=-p2

，∴kMA+kMB=y1x1+p2+y2x2+p2=y1my1+p+y2my2+p=y1(my2+p)+y2(my1+p)(my1+p)(my2+p)=2my1y2+p(y1+y2)(my1+p)(my2+p

)=2m(-p2)+2mp2(my1+p)(my2+p)=0,∴∠AMF=∠BMF，∵tan∠AMB=2tan∠AMF1-tan2∠AMF=22，又∠AMF为锐角，∴tan∠AMF=22.不妨设AF>BF，如

图，作AH⊥x轴，垂足为H，过M作直线l⊥x轴，AA′⊥l，垂足为A′，则∵tan∠AMF=AHMH=AHAA′=AHAF=sin∠AFH，∴sin∠AFH=22，∴∠AFH=45∘，∴m=1，∴||AB=1+m2||y1-y2=(1+m2)[](y1+y2)2-4y1y2=4p=24，故p=

6.xyAOHFBMA′理科数学试题答案第4页（共9页）（第16题答图）理科数学试题答案第5页（共9页）三、解答题17.选用条件①的解析.（1）因为acosB+bcosA=714ac，由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=714asin

C，……………………2分即sinC=714asinC，又sinC≠0，得a=27.…………………………………………………………………4分∵cosC=277，由余弦定理得a2+b2-c22ab=277，…………………………………………………………6分将b-c=2代入解得b=6，c=

4.………………………………………………………………………………8分（2）由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，又0<A<π，所以A=π3.………………………………………10分△ABC的面积为S=12bcsinA=12×6×4×32=63.……………………………………………

………12分选用条件②的解析.（1）因为2bcosC=2a-77c，由正弦定理得2sinBcosC=2sinA-77sinC=2sin()B+C-77sinC………………………………………………………………………………………2分=2()sinBc

osC+cosBsinC-77sinC∴2cosBsinC-77sinC=0,又∵sinC≠0,∴cosB=714,∴sinB=32114，………………………………………………………………………………………

…………4分又∵cosC=277,∴sinC=217.……………………………………………………………………………6分由正弦定理bsinB=csinC，得bc=sinBsinC=32,又∵b-c=2,∴b=6,c=4.…………………………………8分（2）cosA=-cos()B+C=-(

)cosBcosC-sinBsinC=12，又0<A<π，所以A=π3.………………………10分△ABC的面积为S=12bcsinA=12×6×4×32=63.……………………………………………………12分18.解：（1）设AB的中点为E，连接PE与DE，因为△PAB是等腰三角形，

PA=PB，所以PE⊥AB，又因为AB⊥PD，PD∩PE=P，所以AB⊥平面PED，…………………………………………………………………2分所以AB⊥DE，∴BD=AD=2，∵AB=2，所以△ABD是等腰直角三角形，且AD⊥

BD.………………………………………5分（第18题答图1）PABCDE（2）由（1）可知AB⊥平面PED，故AB⊥PD，平面PED⊥平面ABD，又因为PC=5，CD∥AB,∴CD⊥PD,∴PD=PC2-CD2=1，易知PE=DE=1，所以∠PDE=60°.

…………………………………………………………………7分如图，以D为原点，DE，DC所在直线为x,y轴，以DE，DC的方向分别为x轴，y轴的正方向，过D在△PDE所在平面内作DE的垂线为

z轴建立空间直角坐标系.则D（0，0，0），P（12，0，32），A（1，-1，0），B（1，1，0）.……………………………9分得DB=(1,1,0),DP=(12,0,32),DA=(1,-1,0)，设平面P

AD的法向量n=()x,y,z，则{12x+32z=0,x-y=0.取n=(3,3,-1)，………………………………11分所以cos<DB,n>=DB⋅n|DB||n|=427，

因此直线BD与平面PAD所成角的正弦值为427.……………………………………………………………12分19.解：记Ai=“第i次验血结果呈阳性”，i∈{1,2,3,4,5,6}，-Ai表示Ai的对立事件

.（1）解法一：考虑6只小白鼠的排列顺序，若A1发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，故符合条件的排列顺序共有C12A55种。…………………………………………………………………2分若A1与X=3同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，其他位置可随意

排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有A22A44种。…………………………………………………………………………………4分根据条件概率的定义及古典概型可知，P(X=3|A1)=P(A1A3)P(A1)=A22

A44C12A55=15.………………………………6分解法二：根据题意可知，在A1发生的条件下，X=3发生的充要条件是：第二次验血的小白鼠不患病，且第三次验血的小白鼠患病，故P(X=3|A1)=P(-A2|A1)P(A3|A1-A2)=45×14=15.…………………………

…………………………………6分（2）X的可能取值为2，3，4，5.由题意可知：P(X=2)=P(A1A2)=A22A44A66=115，………………………………7分P(X=3)=P(-A1A2A3)+P(A1-A2A3)=2×A22A44A66=215，……………………………………

…………………8分P(X=4)=P(-A1-A2A3A4)+P(-A1A2-A3A4)+P(A1-A2-A3A4)+P(-A1-A2-A3-A4)=4×A22A44A66=415，……………9分故P(X=5)=

1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=815，…………………………………………………10分故X的分布列是XP2115321544155815E(X)=2×115+3×215+4×415+5×815=6415.…………………………………………………………12分PA

BCDExyz（第18题答图2）理科数学试题答案第6页（共9页）20.解：（1）设椭圆C2的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，则由题意得ìíîïïïïïïïïca=12,2b2a=32,c2=a2+b2.…………………………………………………

………………2分解得a=22,b=6，因此C2的方程为x28+y26=1.………………………5分（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，由ìíîïïïïx24+y23=λ

,y=3x+m,得15x2+83mx+4m2-12λ=0()λ=1或2，∵l与C1,C2相交，只需当λ=1时Δ>0，∴-15<m<15.………………………………………………7分又∵x1+x22=x3+x42=-4

3m15，∴AB与CD的中点相同，则||AC=||CD-||AB2，………………………9分∴||AC=12×2×()||x3-x4-||x1-x2=4×8×6(30-m2)30-4×4×3(15-m2)15=43()30-m2-15-m215=45………

……………………………………………11分解得m=±3，此时Δ>0，故m=±3.………………………………………………………………………12分21.解：g()x定义域为()0,+∞，g′()x=1x-k=1-kxx.………………………………………

……………………1分当k>0时，令g′()x>0，得0<x<1k，令g′()x<0，得x>1k，故g()x在()0,1k上单调递增，在()1k,+∞上单调递减.…………………………………………………………2分（1）当k=1时，g()x在()0,1上单调递增，

在()1,+∞上单调递减，所以g()xmax=g()1=-1.…………………3分（2）（i）∵g()x在()0,1k上单调递增，在()1k,+∞上单调递减，∴g()x至多有两个零点.∵g()1k=ln1k-1>0,g()1=-k<0，∴g()x在()1,1k上有一个

零点.由（1）可证lnx-x≤-1<0,lnx<x，从而g()4k2=ln4k2-4k=2ln2k-4k<2×2k-4k=0，又∵g()1k>0,∴g()x在()1k,4k2上有一个零点.综上，函数g()x有两个零点.………………………………………………………………………………………

5分ABCDOyx（第20题答图）理科数学试题答案第7页（共9页）（ii）f()x的定义域为()0,+∞，f′()x=lnx+1-kx-1=lnx-kx=g()x.由（i）知g()x有两个零点，设为x1,x2，且0<x1<1k<x2，且lnx1=kx

1,lnx2=kx2.又∵g()x在()0,1k上单调递增，在()1k,+∞上单调递减.∴当0<x<x1，或x>x2时，g()x<0；当x1<x<x2时，g()x>0.∴f()x在()0,x1上单调递减，在()x1,

x2上单调递增，在()x2,+∞上单调递减，故x1,x2为f()x的两个极值点.……………………………………………………………………………………7分f()x1x1=lnx1-12kx1-1=lnx1-12lnx1-1=12lnx1-1，同理f()x2x2=12lnx2-1.欲证

f()x1x1+f()x2x2=lnx1+lnx22-2>-1，即证lnx1+lnx2>2.………………………………………………8分∵lnx1=kx1,lnx2=kx2，∴{lnx2+lnx1=k()x2+x1,lnx2-lnx1=k()x2-x1,∴lnx2+lnx1l

nx2-lnx1=x2+x1x2-x1,lnx2+lnx1=x2+x1x2-x1()lnx2-lnx1=x2x1+1x2x1-1lnx2x1，令t=x2x1>1，即证t+1t-1lnt>2，即证lnt-2()t-1t+1>0.……………………………………………………10分记

h()t=lnt-2()t-1t+1,h′()t=1t-4()t+12=()t-12t()t+12>0，∴h()t在()1,+∞上单调递增，故h()t>h()1=0，命题得证.…………………………………………………………………

………………………………………12分选考题22.解：（1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，又ρ2=43-cos2θ=42+2sin2θ，即2ρ2+2ρ2sin2θ=4，得2x2+4y2=4，即C的直角坐标方程为：x22+y2=1．………………………………………

………………4分（2）将ìíîïïïïx=-43+tcosαy=-73+tsinα代入C:x22+y2=1有()-43+tcosα2+2()-73+tsinα2=2，化简得()3cos2α+6sin2αt2-4()2cosα+7sinαt

+32=0，设A，B两点对应的参数分别为t1,t2，则t1+t2=4()2cosα+7sinα3cos2α+6sin2α,t1t2=323cos2α+6sin2α.…………………………………………………………6分由PA=2PB，得t1=2t2，(t1+t

2)2t1t2=t1t2+t2t1+2，………………………………………………………………8分因此()2cosα+7sinα26cos2α+12sin2α=92即5tan2α-28tanα+23=0，解得tanα=235或1，经检验此时Δ>0，故直线l的方

程为x-y-1=0或69x-15y+57=0．…………10分理科数学试题答案第8页（共9页）23.解：（1）f(x)=|3x-1|+2|x-3|=ìíîïïïïïïïï5x-7,x≥3,x+5,13≤x<3,-5x+7,x<13.…………………2分当x≥

3时，函数f(x)单调递增，并且f(x)≥8；当13≤x<3时，函数f(x)单调递增，并且f(x)≥163；当x<13时，函数f(x)单调递减，并且f(x)>163．综上当x>13时，函数f(x)单调

递增，当x<13时，函数f(x)单调递减.且f(x)≥163．…………………………4分要使关于x的方程|3x-1|+2|x-3|=a有两个不同的根，则a的取值范围{a|a>163}．…………………………………………………………………5分（2）因为f(3)=8，记点

M（3，8），坐标原点为O（0，0），则直线OM的斜率为k=83．……………………………………………………………………………………7分当直线y=bx的斜率b<-5，或b≥83时，该直线与函数f(x)=|3x-1|+

2|x-3|的图象相交．……………9分因为不等式f()x≤bx的解集非空，所以b的取值范围是{b|b<-5，或b≥83}．……………………………10分OyMx10987654321-1-2-2-112345（第23题答图）理科数学试题答案第9页（共9页）