【文档说明】【精准解析】四川省泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题.doc，共(21)页，1.712 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试理科数学一、选择题：1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A.{0，1}B.{﹣1，0}C.{﹣1，0，1}D.{0，1，2}【答案】A【解析】【分析】化简集合B，进而求交集即可.【详解】

由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选A．【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.若a，

b均为实数，且3i2i1iab+=+−，则ab=（）A.2−B.2C.3−D.3【答案】C【解析】【分析】先由复数的乘法运算，化简得()()1213abiiii+=−−=−，即可求出结果.【详解】因为3221abiiii+=+=−−，所以()()1213abi

iii+=−−=−，因此1,3ab==−，则3ab=−.故选C【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE=A.12ABAD−+B.12ABAD−C.12ABAD+D.12A

BAD−【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作//,EFBC由向量加法的平行四边形法则可知1.2BEBFBCABAD=+=−+故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4

，a4=2，则S6=（）A.0B.10C.15D.30【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，根据244,2aa==，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．【详解】数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+

3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+()6512−=15．故选C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．5.函数()()22lnxxfxx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函

数为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；根据()0,1x时，()0fx，排除,AC，从而得到正确选项.【详解】()fx定义域为0xx，且()()()()22ln22lnxxxxfxxxfx−−−=+−=+=()fx为

偶函数，关于y轴对称，排除D；当()0,1x时，220xx−+，ln0x，可知()0fx，排除,AC.本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.6.

已知向量a，b满足2a=，||1b=，且2ba+=，则向量a与b的夹角的余弦值为（）A.22B.23C.28D.24【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12ab=，利用cos,ababab=求得结果.【详解】由题意可知：2222324bababaab+=++=+=，解

得：12ab=12cos,422ababab===本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.7.已知角的终边经过点()1,3P−，则sin2=A.32B.32−C.12−D.34−【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距

离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，3），其到原点的距离r13=+=2故cos12=−，sin32=∴sin22=sincos1332

222−=−=（）.故选B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.213log32+B.2log3C.2D.3【答案】C【解析

】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得s＝3，i=1满足条件i3，执行循环体s＝3+221log，i=2满足条件i

3，执行循环体s＝3+221log+232log，i=3，满足条件i3，执行循环体，s＝3+221log+2234423loglog+=，i=4，不满足条件i3，退出循环，输出s的值为s＝242log=．故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问

题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为A.6B.12C.24D.36【答案】B【解析】【分析】分甲

和另一个人一起分到A班有1232CA，甲一个人分到A班的方法有：2232CA，加到一起即为结果.【详解】甲和另一个人一起分到A班有1232CA=6种分法，甲一个人分到A班的方法有：2232CA=6种分法

，共有12种分法；故答案为B.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“

位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问

题，然后逐步解决．10.将函数sin(2)3yx=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()fx，则函数()fx的单调递增区间为（）A.ππππkkk++Z7[,]()1212B.[,]()63kkkZ−+C.5[

,]()1212kkkZ−+D.[,]()36kkkZ−+【答案】B【解析】【分析】由题意知()sin[2()]sin(2)436fxxx=−+=−，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间

．【详解】由题意知22T==，故向右平移14个周期，即向右平移4个单位，所以()sin[2()]sin(2)436fxxx=−+=−，令222262kxk−−+()kZ，所以63kxk

-＃+()kZ，故选B．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题．11.若直线yax=是曲线2ln1yx=+的一条切线，则实数a=()A.12e−B.122e−C.12eD.122e【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数

的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1），则函数的导数2fxx（）=，则切线斜率2km=，则对应的切线方程为22122ylnmx

mxmm−+=−=−（）（），即221yxlnmm=+−，2yaxam==，且210lnm−=，即12lnm=，则12me=，则121222aee−=＝，故选B．【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求

函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．12.已知函数()fx是定义在R上的函数，且满足()()0fxfx+，其中()fx为()fx的导数，设()0af=，()22bfln=，()1cef=，则a、b、c的大小关系是()A.cbaB.abc

C.cabD.bca【答案】A【解析】【分析】构造函数()()xgxefx=，根据()gx的单调性得出结论．【详解】解：令()()xgxefx=，则()[()()]0xgxefxfx=+，()gx在R

上单调递增，又021ln，()()()021gglng，即()()()0221fflnef，即cba故选：A．【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,xy满足条件11040yxyxy−−+−，则2zxy=+的最大值是__________．【答案】7【解析】如图，过点()3,1时，max2317z=+=14.210(2018)()xyxy+−展开式中56xy的系数为___

_______.【答案】210【解析】由题意可得：()()()()1010102220182018xyxyxxyyxy+−=−+−，据此可得：只有()10xxy−中含有56xy，结合二项式定理可得其系数为：()66101210C−=.15.等比

数列na中，182,4aa==,函数()()()()128fxxxaxaxa=−−−，则()0f=__________．【答案】122【解析】函数()()()()128...fxxxaxaxa=−−−，()()()()12

8'...fxxaxaxa=−−−()()()128...'xxaxaxa+−−−，则()()441212818'0...82faaaaa====，故答案为122.16.三棱锥SABC−中，底面ABC是边长为2的等边三角形，

SA⊥面ABC，2SA=,则三棱锥SABC−外接球的表面积是_____________.【答案】283【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球∵ABC是边长为2的正三角形∴ABC的外接圆半径233r=，设球

的半径为R，因为SA⊥面ABC，2SA=,所以222284243Rr=+=，∴外接球的表面积为22843R=，故答案为283点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径

的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224Rabc=++（,,abc为三棱的长）；②若SA⊥面ABC（SAa=），则22244Rra=+（r为ABC外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题：17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别是a,b,

c满足：3coscossinsincos2ACACB++=，且a,b,c成等比数列.(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若2,2tantantanacbaACB+==,判断三角形的形状.【答案】（Ⅰ）60B=（Ⅱ）三角形ABC是等边三角形【解析】试题分析：(Ⅰ)根据诱导公式以及两角和的余弦

公式化简3coscossinsincos2ACACB++=，可得32sinsin2AC=，再由2bac=结合正弦定理，求得232sin2B=，根据b不是最大边，可得B为锐角，从而求得B的值；(Ⅱ)由条件可得2tantantanac

bACB+=，coscos2cos1ACB+==，结合23AC+=，可求得3AC==，从而得三角形为等边三角形.试题解析：(Ⅰ)3coscossinsincos2ACACB++=,因为()coscosBAC=−+32sinsin2AC=,又22sinsinsinbacBAC==

,232sin2B=而,,abc成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以60B=.(Ⅱ)由2tantantanacbACB+=,则cosccos2cossinsinsinaACbBACB+=,利

用正弦定理可得coscos2cos1ACB+==,又因为23AC+=,所以3AC==,所以三角形ABC是等边三角形.18.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x（元）与销量y（万份）之间有较

强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据：售价x（元）2530384552销量y（万份）7.57.16.05.64.8根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为10.ˆ0ˆybx=−，求b的值；（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中

销量超过6万份的组数为X，求X的分布列及期望.【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)利用频率分布直方图结合中位数的性质可估计该产品收益率的中位数是0.28；(2)利用回归方程过样本中心点可得ˆ0.1

b=；(3)由题意结合超几何分布的公式可求得分布列，然后求解数学期望可得X的期望为45.试题解析：（1）依题意，设中位数为x，()0.32.50.20.5x+−=，解得0.28x=.（2）25303845521903855x++++===，7.57.16.05.64.8316.25

5y++++===，∴10.06.20.13ˆ8b−==.（3）X的可能取值为0,1,2，故()0PX=022325310CCC==，()1123256110CCPXC===，()2023251210CCPXC===，故X的分布列为X012P310610110故()62

410105EX=+=.19.四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60DAB=,ADP为等边三角形（1）求证：ADPB⊥;（2）若2,6ABBP==，求二面角DPCB−−的余弦值.【答案】

（1）见解析(2)0【解析】【详解】试题分析：（1）取AD中点E，连结PE，BE，由已知可得BEAD⊥，PEAD⊥，又BEPEE=，即可证AD⊥平面PBE，从而可得ADPB⊥；（2）求出PE和BE的值，可推出PEEB⊥，即可证P

EABCD⊥面，然后建立以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD和PCB的法向量，根据二面角与其法向量夹角的关系，即可得答案.试题解析：（1）证明：取AD中点E，连结PE，BE∵ABCD为菱形，60DAB=∴ABD

为等边三角形∴,BEAD⊥∵ADP为等边三角形∴PEAD⊥∵PEBEE=∴ADPBE⊥面∵PBPBE面∴ADPB⊥(2)∵,PADBAD为等边三角形，边长为2∴3PEBE==∵6PB=∴222PEBEPB+=∴PEEB⊥∵,PEADADBEE

⊥=∴PEABCD⊥面如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系则()()()()0,0,3,1,0,0,0,3,0,2,3,0PDBC−−设平面PCD的法向量为(),,mxyz=，则·0·0mPDmDC==

,()()()(),,?1,0,3030,30,,?1,3,00xyzxzxyxyz−−=−−=−+=−=取1z=，则()3,1,3,1,1xym=−=−=−−设平面PCB的法向量为(),,nabc=·0·0nPBnBC==,()()()(),,?0,3,3

0330,20,,?2,0,00abcbcaabc−=−=−=−=取1c=−，则()0,1,0,1,1abn==−=−−设二面角DPCB−−的平面角为∴()()()()3,1,1?0,1,1·coscos,03,1,10,1,1mnmnmn−−−−====−−−

−，则二面角DPCB−−的余弦值等于0点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量；（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量

夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为32，焦距为23．（1）求C的方程；（2）若斜率为12−的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐

标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．【答案】(1)2214xy+=.(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题中条件，得到32223cac==，再由222bac=−，求解，即可得出结果；（2）先设直线l的方程为12

yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出1212OPOQyykkxx=，只需和2PQk相等，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意可得32223cac==，解得2{3ac==，又

2221bac=−=，所以椭圆方程为2214xy+=.（2）证明：设直线l的方程为12yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy,由221214yxmxy=−++=，消去y，得()222210xmxm−+−=则()()222481420mmm=−−=−，且

1220xxm+=，()212210xxm=−故()22121212121111122422myyxmxmxxmxxm−=−+−+=−++=()212122121212111424OPOQPQxxmxxmyykkkxxxx−++====即直线OP，PQ，OQ的斜率依次

成等比数列.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.21.设函数()ln1afxxx=+−，()0a（1）当130a=时，求函数()fx的单调递增区间；（2）若()fx在10,e内有极值点，当()

10,1x，()21,x+，求证：()()21423fxfxe−−.()2.71828e=【答案】（1）增区间为：50,6，6,5+.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（2）求出()fx的

导数，令2()(2)1gxxax=−++，根据函数的单调性得到：1()()1afxfmlnmm=+−„；2()()1afxfnlnnn=+−…，作差得到新函数1()2Fnlnnnn=+−，()ne，根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成

立．【详解】（1）函数()fx的定义域为()()0,11,+，当130a=时，()()25665'1xxfxxx−−=−，令：()'0fx，得：65x或56x，所以函数单调增区间为：50,6，6,5+

.（2）证明：()()()()222211'11xaxafxxxxx−++=−=−−，令：()()()()2210gxxaxxmxn=−++=−−=，所以：2mna+=+，1mn=，若()fx在10,e内有极值点，不妨设10me

，则1nem=，且122amnee=+−+−，由()'0fx得：0xm或xn，由()'0fx得：1mx或1xn，所以()fx在()0,m递增，(),1m递减；()1,n递减，(),

n+递增，当()10,1x时，()()1ln1afxfmmm=+−；当()21,x+时，()()2ln1afxfnn=+−，所以：()()()()2111lnln2ln1111aafxfxfnf

mnmnanmnm−−=+−−=+−−−−−12lnnnn=+−，ne.设：()12lnFnnnn=+−，ne，则()222'10Fnnn=++.所以：()Fn是增函数，所以()()12FnFeee=+−.又：()()23131411031032203333ee

eeeeeeeee−−−−+−+−−−=−−+==，所以：()()21423fxfxe−−.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题以及不等式的证明，属于难题．22.在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为212212xty

t=−=+（t为参数）,以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的的直角坐标方程；（2）若1C与2C交于,AB两点，点P的极坐标为(2,)4，求11

||||PAPB+的值.【答案】（1）曲线1C普通方程为20xy+−=曲线2C的直角坐标方程为24yx=（2）263【解析】【分析】（1）将曲线1C的参数方程中的t消掉得到曲线1C的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标

方程．（2）将212212xtyt=−=+代入24yx=，得26260tt+−=，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出11PAPB+．【详解】（1）曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数），两式相加消去t可得普通方程为20xy+−=；又由ρ

cosθ＝x，ρsinθ＝y，曲线2C的极坐标方程为2sin4cos=转化为直角坐标方程为24yx=（2）把曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数），代入24yx=得26260tt+−=，设1t，2t是,AB对应的参数，则1

162tt+=−，126tt=−所以121211PAPBttPAPBPAPBtt+−+==()21212124962663tttttt+−===【点睛】本题考查了普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化，考查直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．23.已知函数．（

1）求不等式()4fx的解集；（2）设函数()fx的最小值为m，当a，b，c+R，且abcm++=时，求212121abc+++++的最大值．【答案】（1）223xx−（2）23【解析】【分析】（1）根据x的不同范围，

去掉绝对值，然后求解不等式（2）利用基本不等式的合理利用求最大值【详解】（1）①当12x时，()324fxx=−+2132x−②当112x时，()4fxx=112x③当1x时，()324fxx=−12x综上：()4fx的解集为223xx−（2）法

一：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=−()min12fx=即12m=又*,,abcR且12abc++=则2221abc++=，设21,21,21xa

ybzc=+=+=+222xyxy+2222121222xyxyabab+=+++=++同理：2222yzbc++，2222zxca++2222222222228xyyzzxabbcca++++++++++=()2222222212121812xyzxyzxyyzz

xabc++=+++++++++++=23xyz++，即21212123abc+++++当且仅当16abc===时取得最大值23法二：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=−()min1

2fx=即12m=又*,,abcR且12abc++=()()()34442121212121212333abcabc+++++=+++++44421212133332222abc++++++++当且仅当16abc===时取

得最大值23法三：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=−()min12fx=即12m=12abc++=2121214abc+++++=由柯西不等式可知：()()()()()()2222222

212121111211211211abcabc++++++++++++即：()221121121121abc+++++21212123abc+++++当且仅当212121abc+=+=+即16abc===时，取得最大值23【点睛】考核绝对值不等式的解法，以

及基本不等式的运用