【文档说明】【精准解析】四川省泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题.doc，共(21)页，1.712 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试理科数学一、选择题：1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A.{0，1}B.{﹣1，0}C.{﹣1，0，1}D.{0，1，2}【答案】A【解析】【分析】化

简集合B，进而求交集即可.【详解】由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选A．【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等

式的解法，属于基础题.2.若a，b均为实数，且3i2i1iab+=+−，则ab=（）A.2−B.2C.3−D.3【答案】C【解析】【分析】先由复数的乘法运算，化简得()()1213abiiii+=−−=−，即可求出结果.【详解】因为3221abiiii+=+=−−，

所以()()1213abiiii+=−−=−，因此1,3ab==−，则3ab=−.故选C【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE=A.12ABAD−+B.12ABAD−C.12ABAD+

D.12ABAD−【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作//,EFBC由向量加法的平行四边形法则可知1.2BEBFBCABAD=+=−+故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.4.已知等差数列{an}的前n项

和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A.0B.10C.15D.30【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，根据244,2aa==，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．【详解】数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，

则S6=6a1+()6512−=15．故选C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．5.函数()()22lnxxfxx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；根据()0,1x时，(

)0fx，排除,AC，从而得到正确选项.【详解】()fx定义域为0xx，且()()()()22ln22lnxxxxfxxxfx−−−=+−=+=()fx为偶函数，关于y轴对称，排除D；当()0,1x时，2

20xx−+，ln0x，可知()0fx，排除,AC.本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.6.已知向量a，b满足2a=，||1b=，且2ba+=，则向量a与b的夹角的余弦值为（）A.2

2B.23C.28D.24【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12ab=，利用cos,ababab=求得结果.【详解】由题意可知：2222324bababaab+=++=+=，解得：12ab=12cos,422ababab=

==本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.7.已知角的终边经过点()1,3P−，则sin2=A.32B.32−C.12−D.34−【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数

的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，3），其到原点的距离r13=+=2故cos12=−，sin32=∴sin22=sincos1332222−=

−=（）.故选B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.213log32+B.2log3C.2D.3【答案】C【解析】【分

析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得s＝3，i=1满足条件i3，执行循环体s＝3+221log，i=2满足条件i3，执行循环体s＝3+221log+23

2log，i=3，满足条件i3，执行循环体，s＝3+221log+2234423loglog+=，i=4，不满足条件i3，退出循环，输出s的值为s＝242log=．故选C．【点睛】本题考查了程序框

图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为A.6B.12C.24D.36【答案】B【解析】【分析】分甲和另一个人一起分到A班有12

32CA，甲一个人分到A班的方法有：2232CA，加到一起即为结果.【详解】甲和另一个人一起分到A班有1232CA=6种分法，甲一个人分到A班的方法有：2232CA=6种分法，共有12种分法；故答案为B.【点睛】

解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”

就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10.将函数sin(2)3yx=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函

数为()fx，则函数()fx的单调递增区间为（）A.ππππkkk++Z7[,]()1212B.[,]()63kkkZ−+C.5[,]()1212kkkZ−+D.[,]()36kkkZ−+【答案】B【解析】【分析】由题意知()sin[2()]sin(2)

436fxxx=−+=−，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间．【详解】由题意知22T==，故向右平移14个周期，即向右平移4个单位，所以()sin[2()]sin(2)436fxxx=−+=−，令222262kxk−−+(

)kZ，所以63kxk-＃+()kZ，故选B．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题．11.若直线yax=是曲线2ln1yx=+的一条切线，则实数a=()A.12e−B.122e−C.12eD.122e【答案】B【解析】【分析】设出切点坐

标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1），则函数的导数2fxx（）=，则切线斜率2km=，则对应的切线方程为22122ylnmxmxmm−+=−=−（）（），即22

1yxlnmm=+−，2yaxam==，且210lnm−=，即12lnm=，则12me=，则121222aee−=＝，故选B．【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决

本题的关键．12.已知函数()fx是定义在R上的函数，且满足()()0fxfx+，其中()fx为()fx的导数，设()0af=，()22bfln=，()1cef=，则a、b、c的大小关系是()A.cbaB.abcC.cabD.bca【答案】A【解析】【分析】

构造函数()()xgxefx=，根据()gx的单调性得出结论．【详解】解：令()()xgxefx=，则()[()()]0xgxefxfx=+，()gx在R上单调递增，又021ln，()()()021gglng，即()()()0221fflnef，即cba故

选：A．【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,xy满足条件11040yxyxy−−+−，则2zxy=+的最大值是__________．【答案】7【解析】

如图，过点()3,1时，max2317z=+=14.210(2018)()xyxy+−展开式中56xy的系数为__________.【答案】210【解析】由题意可得：()()()()1010102220182018xyxyxxyyxy+−=−+−，据此可得：只有()10xxy−中含

有56xy，结合二项式定理可得其系数为：()66101210C−=.15.等比数列na中，182,4aa==,函数()()()()128fxxxaxaxa=−−−，则()0f=__________．【答案】122【解析】函数()()()()128

...fxxxaxaxa=−−−，()()()()128'...fxxaxaxa=−−−()()()128...'xxaxaxa+−−−，则()()441212818'0...82faaaaa====，故答案为122.16.三棱锥SABC−中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA

⊥面ABC，2SA=,则三棱锥SABC−外接球的表面积是_____________.【答案】283【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球∵ABC是边长为2的正三角形∴ABC的外接圆半

径233r=，设球的半径为R，因为SA⊥面ABC，2SA=,所以222284243Rr=+=，∴外接球的表面积为22843R=，故答案为283点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的

表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224Rabc=++（,,abc为三棱的长）；②若SA⊥面ABC（SAa=），则22244Rra=+（r为ABC外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球

心和半径.三、解答题：17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别是a,b,c满足：3coscossinsincos2ACACB++=，且a,b,c成等比数列.(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若2,2tantantanacbaACB+==,判断三角形的形状.【答案】（Ⅰ）60B=（Ⅱ）三角形ABC是等

边三角形【解析】试题分析：(Ⅰ)根据诱导公式以及两角和的余弦公式化简3coscossinsincos2ACACB++=，可得32sinsin2AC=，再由2bac=结合正弦定理，求得232sin2B=，根据b不是

最大边，可得B为锐角，从而求得B的值；(Ⅱ)由条件可得2tantantanacbACB+=，coscos2cos1ACB+==，结合23AC+=，可求得3AC==，从而得三角形为等边三角形.试题解析：(Ⅰ)3coscossinsincos2A

CACB++=,因为()coscosBAC=−+32sinsin2AC=,又22sinsinsinbacBAC==,232sin2B=而,,abc成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以60B=.(Ⅱ)由2tantantanacbACB+=,则cosccos2c

ossinsinsinaACbBACB+=,利用正弦定理可得coscos2cos1ACB+==,又因为23AC+=,所以3AC==,所以三角形ABC是等边三角形.18.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x（元）与销

量y（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据：售价x（元）2530384552销量y（万份）7.57.16.05.64.8根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为10.ˆ0ˆybx=−，求b的值；（3）若从表中五组销量数据

中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X，求X的分布列及期望.【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)利用频率分布直方图结合中位数的性质可估计该产品

收益率的中位数是0.28；(2)利用回归方程过样本中心点可得ˆ0.1b=；(3)由题意结合超几何分布的公式可求得分布列，然后求解数学期望可得X的期望为45.试题解析：（1）依题意，设中位数为x，()0.32.50.20.5x+−=，解得0.28x=.（2）25303845

521903855x++++===，7.57.16.05.64.8316.255y++++===，∴10.06.20.13ˆ8b−==.（3）X的可能取值为0,1,2，故()0PX=022325310CCC==，()1123256110CC

PXC===，()2023251210CCPXC===，故X的分布列为X012P310610110故()62410105EX=+=.19.四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60DAB=,AD

P为等边三角形（1）求证：ADPB⊥;（2）若2,6ABBP==，求二面角DPCB−−的余弦值.【答案】（1）见解析(2)0【解析】【详解】试题分析：（1）取AD中点E，连结PE，BE，由已知可得BEAD⊥，PEAD⊥，又BEPEE=，即可证AD⊥平面PBE，从而可

得ADPB⊥；（2）求出PE和BE的值，可推出PEEB⊥，即可证PEABCD⊥面，然后建立以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD和PCB的法向量，根据二面角与其法向量夹角的关系，即可得答案.试题解析：（1）证明：取A

D中点E，连结PE，BE∵ABCD为菱形，60DAB=∴ABD为等边三角形∴,BEAD⊥∵ADP为等边三角形∴PEAD⊥∵PEBEE=∴ADPBE⊥面∵PBPBE面∴ADPB⊥(2)∵,PADBAD为等边三角形，边长为2∴3PEBE==∵6PB=∴222P

EBEPB+=∴PEEB⊥∵,PEADADBEE⊥=∴PEABCD⊥面如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系则()()()()0,0,3,1,0,0,0,3,0,2,3,0PDBC−−设平面PCD的法向量为(),,mxyz=，则·0·0

mPDmDC==,()()()(),,?1,0,3030,30,,?1,3,00xyzxzxyxyz−−=−−=−+=−=取1z=，则()3,1,3,1,1xym=−=−=−−设平面PCB的法向量为(),,nabc=·0·0n

PBnBC==,()()()(),,?0,3,30330,20,,?2,0,00abcbcaabc−=−=−=−=取1c=−，则()0,1,0,1,1abn==−=−−设二面角DPCB−−的平面角为∴()()()()3,1,1?0

,1,1·coscos,03,1,10,1,1mnmnmn−−−−====−−−−，则二面角DPCB−−的余弦值等于0点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面

的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量；（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的

离心率为32，焦距为23．（1）求C的方程；（2）若斜率为12−的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．【答案】(1)2214xy+=.(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题中条件，得到32223cac

==，再由222bac=−，求解，即可得出结果；（2）先设直线l的方程为12yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出1212OPOQyykkxx=，只需和2PQk

相等，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意可得32223cac==，解得2{3ac==，又2221bac=−=，所以椭圆方程为2214xy+=.（2）证明：设直线l的方程为12yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy,由221214yxmxy=−++=，消去y

，得()222210xmxm−+−=则()()222481420mmm=−−=−，且1220xxm+=，()212210xxm=−故()22121212121111122422myyxmxmxxmxxm−=−+−+=−++=()2

12122121212111424OPOQPQxxmxxmyykkkxxxx−++====即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方

程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.21.设函数()ln1afxxx=+−，()0a（1）当130a=时，求函数()fx的单调递增区间；（2）若()fx在10,e内有极值点，当()10,1x，()21,x+，求证：()(

)21423fxfxe−−.()2.71828e=【答案】（1）增区间为：50,6，6,5+.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx的导数，解关于导函数的不等式，从而求出

函数的单调区间即可；（2）求出()fx的导数，令2()(2)1gxxax=−++，根据函数的单调性得到：1()()1afxfmlnmm=+−„；2()()1afxfnlnnn=+−…，作差得到新函数1()2Fnlnnnn=+−，()ne，根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．【详解】（

1）函数()fx的定义域为()()0,11,+，当130a=时，()()25665'1xxfxxx−−=−，令：()'0fx，得：65x或56x，所以函数单调增区间为：50,6，6,5+.（2）证明

：()()()()222211'11xaxafxxxxx−++=−=−−，令：()()()()2210gxxaxxmxn=−++=−−=，所以：2mna+=+，1mn=，若()fx在10,e内有极值点，不妨设10me，则1nem=，且122amnee=+−+−，由()'0f

x得：0xm或xn，由()'0fx得：1mx或1xn，所以()fx在()0,m递增，(),1m递减；()1,n递减，(),n+递增，当()10,1x时，()()1ln1afxfmmm=+−；当()21,x+时，()()2ln1afxfnn=+

−，所以：()()()()2111lnln2ln1111aafxfxfnfmnmnanmnm−−=+−−=+−−−−−12lnnnn=+−，ne.设：()12lnFnnnn=+−，ne，则()222'10Fnnn=++.所以：()Fn是增函数，所

以()()12FnFeee=+−.又：()()23131411031032203333eeeeeeeeeee−−−−+−+−−−=−−+==，所以：()()21423fxfxe−−.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问

题以及不等式的证明，属于难题．22.在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数）,以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的的直角

坐标方程；（2）若1C与2C交于,AB两点，点P的极坐标为(2,)4，求11||||PAPB+的值.【答案】（1）曲线1C普通方程为20xy+−=曲线2C的直角坐标方程为24yx=（2）263【解析】【分析】（1）将曲线1C的参数方程中的t消掉得到曲线1C的普

通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．（2）将212212xtyt=−=+代入24yx=，得26260tt+−=，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出11

PAPB+．【详解】（1）曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数），两式相加消去t可得普通方程为20xy+−=；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，曲线2C的极坐标方程为2sin4cos=转化为直角

坐标方程为24yx=（2）把曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数），代入24yx=得26260tt+−=，设1t，2t是,AB对应的参数，则1162tt+=−，126tt=−所以121211PAPBttPAPBP

APBtt+−+==()21212124962663tttttt+−===【点睛】本题考查了普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化，考查直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．23.已知函数．（1）求不等式()4fx的解

集；（2）设函数()fx的最小值为m，当a，b，c+R，且abcm++=时，求212121abc+++++的最大值．【答案】（1）223xx−（2）23【解析】【分析】（1）根据x的不同范围，去掉绝

对值，然后求解不等式（2）利用基本不等式的合理利用求最大值【详解】（1）①当12x时，()324fxx=−+2132x−②当112x时，()4fxx=112x③当1x时，()324fxx=−12x综上：()4

fx的解集为223xx−（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=−()min12fx=即12m=又*,,abcR且12abc++=则2221abc++=，设21,21,21xaybzc=+=+

=+222xyxy+2222121222xyxyabab+=+++=++同理：2222yzbc++，2222zxca++2222222222228xyyzzxabbcca++++++++++=()2222

222212121812xyzxyzxyyzzxabc++=+++++++++++=23xyz++，即21212123abc+++++当且仅当16abc===时取得最大值23法二：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=

−()min12fx=即12m=又*,,abcR且12abc++=()()()34442121212121212333abcabc+++++=+++++44421212133332222abc++++++++当且

仅当16abc===时取得最大值23法三：由（1）可知()132,21,1232,1xxfxxxxx−+=−()min12fx=即12m=12abc++=2121214abc++

+++=由柯西不等式可知：()()()()()()2222222212121111211211211abcabc++++++++++++即：()221121121121abc+++++21212123abc+++++当且仅当212121ab

c+=+=+即16abc===时，取得最大值23【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用