【文档说明】重庆市杨家坪中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.752 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市杨家坪中学高2025届高二上期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点(2,5),(1,6)AB，则直线AB的倾斜角为（）A.34B.23C.3D.4【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率

，从而可得直线的倾斜角.【详解】由题知直线AB的斜率65112k−==−−，故直线AB的倾斜角为34．故答案为：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题

.2.已知圆的方程是22210xyx+−−=，则它的半径是（）A.1B.2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得半径的长．【详解】圆的方程可化简为()2212xy−+=则它半径是2

故选：B3.直线250xay+−=和直线420axy++=平行，则实数a的值等于（）A.2B.2C.2D.2【答案】D【解析】【分析】的由直线420axy++=的斜率存在，可得两直线平行其斜率相等，且

截距不相等；【详解】直线420axy++=的斜率存在，直线250xay+−=和直线420axy++=平行，142aa−=−，且1522a−，解得2a=，故选：D.4.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中

的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图PABCD−是阳马，PAABCD⊥平面，5PA=，3AB=，4BC=．则该阳马的外接球的表面积为（）A.1252π3B.50πC

.100πD.500π3【答案】B【解析】【分析】由题目条件有，，PAABPAADABAD⊥⊥⊥，则阳马的外接球与以，，PAABAD为长宽高的长方体的外接球相同.【详解】因PAABCD⊥平面，AB平面ABCD，AD平面ABCD，则，

PAABPAAD⊥⊥，又因四边形ABCD为矩形，则ABAD⊥.则阳马的外接球与以，，PAABAD为长宽高的长方体的外接球相同.又5PA=，3AB=，4ADBC==．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：222222345522

22PAABADR++++===，则外接球的表面积为：25044504πππ.SR===故选：B5.如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，2AB=，3AD=，13AA=，11π3BADBAADAA===，则1BC与1BD所成角的大小为（）A.π4B.π3C.π2D.2π3【

答案】C【解析】【分析】设1,,ABaADbAAc===，表示出1BCbc=−，1BDbca=+−，计算110BCBD=，即可求得答案.【详解】设1,,ABaADbAAc===，则||2,||3,||3abc===，三向量

1,,ABaADbAAc===的夹角皆为π3，由题意可得11BCBCBBbc=−=−，11BDADABbca=−=+−，故2211()()BCBDbcbcabbacac=−+−=−−+ππ923cos92

3cos033=−−+=，即11BCBD⊥，所以1BC与1BD所成角的大小为π2，故选：C6.已知直线1l：10xmy−+=过定点A，直线2l：30mxym+−+=过定点B，1l与2l相交于点P

，则22PAPB+=（）A.10B.12C.13D.20【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得直线1l过定点(1,0)A−，直线2l恒过定点(1,3)B−，结合1()10mm+−=，得到PAPB⊥，利用勾股定理，即可求解.【详解

】由直线1:10lxmy−+=过定点(1,0)A−，直线2:30lmxym+−+=可化为(1)30mxy−++=，令1030xy−=+=，解得1,3xy==−，即直线2l恒过定点(1,3)B−，又由直线1:10lxmy−+

=和2:30lmxym+−+=，满足1()10mm+−=，所以12ll⊥，所以PAPB⊥，所以22222(11)(03)13PAPBAB+==−−++=.故选：C.7.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足3PAPB=，

则22PAPB+的最大值为（）A.33+B.743+C.843+D.1683+【答案】D【解析】【分析】设(1,0),(1,0),(,)ABPxy−，由3PAPB=可得22(2)3xy−+=，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以3为半径的圆.而22xy+可看作圆22(2)3xy−+=上的点到原

点(0,0)的距离的平方，结合圆的性质即可求解.【详解】由题意，设(1,0),(1,0),(,)ABPxy−，由3PAPB=，得2222(1)3(1)xyxy++=−+，即22(2)3xy−+=，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，

以3为半径的圆.又22222222(1)(1)2(1)PAPBxyxyxy+=+++−+=++，其中22xy+可看作圆22(2)3xy−+=上的点到原点(0,0)的距离的平方，所以222max()(23)743xy+=+=+，所以22max[2(1)]1683xy++=+，即22PA

PB+的最大值为1683+.故选：D.8.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，P是1AA的中点，若1AMABAA=+，0,1，0,1，若1DMCP⊥，则BCM面积的最小值为（）A.4B.8C.855D.82【答案】C

【解析】【分析】由题意知点M在平面11ABBA内，建立如图空间直角坐标系Axyz−，设(,0,)Mab，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24ba=−，取AB的中点N，连接1BN，则点M的轨迹为线段1BN，

过点B作1BQBN⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AMABAA=+、，知点M在平面11ABBA内，以1,,ABADAA所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系Axyz−，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)PCD，设(,0,)Mab，则1(,4

,4),(4,4,2)DMabCP=−−=−−，由1DMCP⊥，得1416280DMCPab=−++−=，即24ba=−，取AB的中点N，连接1BN，则点M的轨迹为线段1BN，过点B作1BQBN⊥，则424

5525BQ==，又BC⊥平面11ABBA，故BCBQ⊥，所以BCMS△的最小值为145854255QBCS==.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量()1,1,1a=，()1,0,2b=−，则下列正确的是（）A.()0,1,3ab+=B.3a=C.2ab?D.π,4ab=【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.【详解】向量()1,1,

1a=，()1,0,2b=−，则()0,1,3ab+=，A正确；显然222||1113a=++=，B正确；由数量积的定义得1(1)10121ab??+??，C错误；显然22||(1)25b=−+=，则12cos,2||||35abab

ab==，即有π,4ab，D错误.故选：AB10.下列说法错误的是（）A.经过()11,Mxy，()22,Nxy两点的直线可以用方程112121yyxxyyxx−−=−−表示B.经过点()

1,0P，倾斜角为的直线方程为()1tanyx=−C.直线()()140Rmxmym−−−=一定经过第一象限D.截距相等直线都可以用方程()Rxyaa+=表示【答案】ABD【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，直线的两点式和截距式方程形式，以及直线系方程，逐项判定

，即可求解.【详解】对于A中，经过()11,Mxy，()22,Nxy两点的直线，只有1212,xxyy时，才可以用方程112121yyxxyyxx−−=−−表示，所以A错误；对于B中，经过点()1,0P，倾斜角为且π2时，直线方程为()1tanyx=−，所

以B不正确；对于C中，直线()()140Rmxmym−−−=，可化为()(4)0mxyy−+−=，由040xyy−=−=，解得4,4xy==，所以直线恒过点(4,4)位于第一象限，所以直线一定经过第一象限，所以C正确；对于D中，当直线在坐标轴上的截距为0时，不能用方

程()Rxyaa+=表示，所以D错误.故选：ABD.11.已知梯形ABCD，112ABADBC===，ADBC∥，ADAB⊥，P是线段BC上的动点；将ABD△沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项中正确的是（）A.不论何

时，BD与AC都不可能垂直B.存在某个位置，使得AD⊥平面ABCC.当平面ABD⊥平面BCD时，四面体ABDP体积的最大值为22D.当平面ABD⊥平面BCD时，四面体ABCD的外接球的表面积为4【答案】

AD【解析】【分析】假设ACBD⊥，可得BDCE⊥，与BCD为直角矛盾，即可判断A；假设存在某个位置，使得AD⊥平面ABC，可得1AC=与当且仅当A在BC上时1AC=，矛盾，即可判断B；如图，由面面垂直的性质可得AE⊥平面BCD，则四面体ABDP的最大体积为AB

DCV−，结合锥体的体积公式计算即可判断C；由选项C的分析，由图形可得O为四面体ABCD的外接球的球心，半径ROB=，结合球的表面积公式计算即可判断D.【详解】A：如图1，取DB的中点E，连接,AECE，则AEBD⊥，假设ACBD⊥，有BD⊥

平面AEC，得BDCE⊥，与BCD为直角矛盾，故A正确；B：假设存在某个位置，使得AD⊥平面ABC，则ADAC⊥，，又1,2ADDC==，所以1AC=，如图2，当且仅当A在BC上时1AC=，不符合题意，故B错误；C：如图3，取BD的中点

E，连接,,AEAPDP，则AEBD⊥，由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，得AE⊥平面BCD，所以四面体ABDP的最大体积为111222233226ABDPABDCBDCVVSAE−−====，故C错误；D：如图4，取BC的

中点O，连接OE，则//OECD，由选项C的分析可得AE⊥平面BCD，又CD平面BCD，所以⊥AECD，由BDCD⊥，,BDAEEBDAE=、平面ABD，所以CD⊥平面ABD，故OE⊥平面ABD，

则O为四面体ABCD的外接球的球心，半径1ROB==，故四面体ABCD的外接球表面积为4，故D正确.故选：AD.12.瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂

心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知ABC的顶点()4,0A−，()0,4B，其欧拉线方程为20xy−+=，则下列正确的是（）A.ABC重心的坐标为12,33−或21,33−B.ABC垂心的坐标为()0,2或()

2,0−C.ABC顶点C的坐标为()2,0或()0,2−D.欧拉线将ABC分成的两部分的面积之比为45【答案】BCD【解析】【分析】由题意先求出AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立可求出ABC的外心，设(),Cmn，则可得三角形

ABC的重心为44,33mn−++，代入欧拉线方程，再结合三角形的外心可求出顶点C的坐标是()2,0或()0,2−，从而可得三角形的重心坐标，结合图形可求出ABC垂心的坐标和欧拉线将ABC分成的两部分的面积之比【详解】A

B中点为()2,2−，AB的中垂线方程为()22yx−=−+，即0xy+=，联立020xyxy+=−+=，解得11xy=−=.∴ABC的外心为()1,1−，设(),Cmn，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为44,33mn

−++，代入欧拉线方程得：442033mn−++−+=，整理得：20mn−−=①又外心为()1,1−，所以()()()()222211410110mn++−=−++−=，整理得：22228mnmn++−=②联立①②得：2m=，0n=或0m=，2n=−，所以顶点C的坐标是()2,0

或()0,2−.ABC重心的坐标为24,33−或42,33−；的由于OBAC⊥或OABC⊥，所以垂心的坐标为()0,2M或()2,0N−.因为直线AB与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是22216436165NCACNC==−−或22216436165MCACMC==−

−.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆的方程是224220xyxy+−++=，则圆心到原点的距离为_________．【答案】5【解析】【分析】首先根据题意得到圆心为()2,1-，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】()()22224220

213xyxyxy+−++=−++=，圆心()2,1-，半径3r=.圆心到原点的距离()()2220105d=−+−−=.故答案为：514.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，12AAABACBC====，点D是AC的中点，则点1B到平面1ABD的距

离是____________．【答案】255【解析】【分析】点1B到平面1ABD的距离即三棱锥11BABD−的高，利用三棱锥等体积即1111BABDDABBVV−−=列式可得解.【详解】2ABBCAC===，ABC是等边三角形，又D是AC中点，所以BDAC⊥，因为三棱柱111ABC

ABC-是直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，可得1AABD⊥，又1AA，AC是平面11AACC内两条相交直线，所以BD⊥平面11AACC，1BDAD⊥，即三角形1ABD是直角三角形，又3BD=，15AD=，11153522ABDS==，112ABBS=△，因为D是AC中点，所以点

D到平面11AABB的距离为32，1111BABDDABBVV−−=，1151323232d=，解得255d=，即点1B到平面1ABD的距离为255.故答案为：255.15.直线34120xy+−=分别交x轴和

y于点A，B，P为直线1yx=+上一点，则PAPB−的最大值是__________．【答案】5.【解析】【分析】根据题意，得到(4,0),(0,3)AB，求得(0,3)B关于直线1yx=+的对称点为(2,1)C，结合PAPBPAPCAC−=−，结合当且仅当,,AC

P三点共线时，等号成立，即可求解.【详解】由直线34120xy+−=分别交x轴和y于点,AB，可得(4,0),(0,3)AB，如图所示，设点(0,3)B关于直线1yx=+的对称点为(,)Cmn，则3113122nmnm−

=−+=+，解得2,1mn==，即(2,1)C，又由PBPC=，即PAPBPAPC−=−，则PAPCAC−，当且仅当,,ACP三点共线时，等号成立，即PAPC−的最大值为22(42)(01)5AC=−+−=，即PAPB−的最大值为

5.故答案：5.16.定义：()()()222,1Fmnmnmn=−+−+，则(),Fmn的最小值为___________．【答案】932【解析】【分析】由2221()2abab+−可得222211(,)[()(1)](1)22Fmnmnmnmm

−−−+=−+，结合二次函数的性质即可求解.为【详解】对,Rab，222211()()022ababab+−−=+，所以2221()2abab+−.则222222211(,)()(1)[()(1)](1)22Fmnmnmnmnmnmm=−+−+−−−+=−+，又2211331()

2244ymmm=−+=−+，所以2219(,)(1)232Fmnmm−+，当且仅当17,28mn==时取得等号，即(,)Fmn的最小值为932.故答案为：932.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC的三个顶点分别为

()2,0A−，()0,4B，(),Cmn，其中点C在直线330xy−−=上（1）若3m=，求ABC的AB边上的中线所在的直线方程：（2）若90B??，求实数m的值．【答案】（1）230xy+−=（2）6【解析】【分析】（1）由题意可得(3,0)

C，AB的中点2()1,M−，利用两点求斜率公式和直线的点斜式方程即可求解；（2）设1(,1)3Cmm−，进而可得,ABBC的坐标表示，结合0ABBC=和平面数量积的坐标表示列出方程，解之即可求解.【小问1详解】当3m=时，(3,0)C，AB的中点为2()1,M−，则021312MC

k−==−+，由直线的点斜式方程得MC的方程为10(3)2yx−=−−，即230xy+−=；【小问2详解】设1(,1)3Cmm−，(2,4)AB=，则1=(,5)3BCmm−，当90B=时，0ABBC=，即422003mm+−

=，解得6m=.18.如图，多面体EFABC中，FA⊥平面ABC，且FAEB∥，2EBBABCAC====，4FA=，M是FC的中点．（1）求证：//EM平面ABC；（2）求直线ME与平面CBE所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）取CA的中点N，连

接MN，BN，易证四边形MNBE为平行四边形，得//MEBN，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，利用线面垂直的判定定理和性质证明OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系

Oxyz−，结合空间向量法求线面角即可求解.【小问1详解】由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则//MNAF且12MNAF=，又//AFBE且12BEAF=，所以//MNBE且=MNBE，所以四边形MNBE为平行四边形，得//MEBN，又BN平面ABC，ME平

面ABC，所以//ME平面ABC；【小问2详解】分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，则//ODAF，由AF⊥平面ABC，得OD⊥平面ABC，则OD⊥,OCODAB⊥，又ABC为正三角形，所以OCAB⊥，

因为AF⊥平面ABC，OC平面ABC，得AF⊥OC，而,AFABAAFAB=、平面ABEF，所以OC⊥平面ABEF，故OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系Oxyz−，则31(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),(0,1,4),(,,2)22CBE

FM−−，得33(3,1,0),(0,0,2),(,,0)22CBBEME=−−==，设平面CBE的一个法向量为(,,)nxyz=，则3020nCBxynBEz=−−===，令3y=−，得1,0xz==，得(1,3,0)n=−，设ME

与平面CBE所成角为，π0,2，则1sincos,2MEnMEnMEn===，所以π6=，故ME与平面CBE所成角为π6.19.已知ABC的顶点(5,1)B，AB边上的高所在的直线方程为250xy−−=.（1）

求直线AB的一般式．．．方程；（2）在下列两个条件中任选一个，求直线AC的一般式．．．方程.①角A的平分线所在直线方程为2130xy+−=；②BC边上的中线所在的直线方程为250xy−−=.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】（1）2110xy+−=（2）答案详见解析【解

析】【分析】（1）求得直线AB的斜率，进而求得直线AB的一般式方程.（2）若选①，先求得A点的坐标，求得B关于直线2130xy+−=对称点1B的坐标，从而求得直线AC的一般式方程.若选②，先求得A点的坐标，根据线段BC的中点在直线250xy−−=以及C在直线250xy−−=上求得C点的坐标，从而求

得直线AC的一般式方程.【小问1详解】AB边上的高所在的直线方程为250xy−−=，斜率为12，所以直线AB的斜率为2−，所以直线AB的方程为()125yx−=−−，整理得2110xy+−=.【小问2详解】若选①，角A的平分线所在直线方程为2130xy+−=，2+11=0=3+213=0=5x

yxxyy−−，故()3,5A.设()1,Bab是点B关于直线2130xy+−=的对称点，则11=152+5+1+2?13=022baab−−−−−，解得3729,55ab==，即13729,55B

，由于13729,55B是直线AC上的点，所以29525371135ACk−==−，所以直线AC的方程为()25311yx−=−，整理得直线AC的一般式方程为211490xy−+=.若选②，BC边上的中线所在的直线方程为250xy−−=，25=0=42+11=0=3xyxxy

y−−−，故()4,3A.设(),Cmn，则BC的中点51,22mn++在直线250xy−−=上，即5125022mn++−−=，整理得210mn−−=，(),Cmn在直线250xy−−=，即250mn−−=，25=0=121=0=3mnmmnn−−−−−−

，即()1,3C−−，所以()()336415ACk−−==−−，所以直线AC的方程为()6345yx−=−，整理得直线AC的一般式方程为6590xy−−=.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中点，设AB

a=，ADb=，APc=．（1）试用a，b，c表示向量BM；（2）若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量AN．【答案】（1）BM111222abc=−++；（2）111333ANabc=++.【解析】【分析】（1）根据空间

向量基本定理结合棱锥的性质求解即可；（2）连接,ACBD，交于点O，连接PO，则可得POAMN=，由,,ANM三点共线，设((0,1))ANAM=,由,,PNO三点共线，设((0,1))PNPO=,

而12POPAPM=+，代入化简可求出,的值，从而可表示出AN.【小问1详解】因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中点，设ABa=，ADb=，APc=，所以11()()22BMBPBCAPABAD=+=−+1()2cab=−+111222abc=−++【小问2详

解】连接,ACBD，交于点O，连接PO，则平面PAC平面PBDPO=，因为AM交平面BDP于N，AM平面PAC，所以POAMN=，因为底面ABCD是正方形，所以O为AC的中点，所以111222POPAPCPAPM=+=+,因为,,ANM三点共线，所以设((0,1))ANAM=,所

以()PNPAPMPA−=−，所以(1)PNPMPA=+−，因为,,PNO三点共线，所以设((0,1))PNPO=,所以1((0,1))2PNPAPM=+,所以1(1)2PAPMPMPA+=+−，因为,PMPA不共线，所以112

=−=，解得23==，所以22()33ANAMABBM==+2111()3222aabc=−++111333abc=++21.如图，在四棱锥SABCD−中，侧面SAD等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，

且1,ABBCCD===2,ADSASB==（1）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（2）若点M在棱SD上，且二面角MABD−−的大小为4，求DMMS的值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）通过证明SOA

D⊥和SOOB⊥可得SO⊥平面,ABCD即可证明；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面MAB和平面ABCD的法向量，利用向量关系即可建立关系求解.【小问1详解】设AD的中点为O，连接,SOBO，在等边SAD中，可得SOAD⊥，在

等腰梯形ABCD中，有,OAOBOCOD===又因为SASB=，所以SOASOB，所以2SOASOB==，即SOOB⊥，为又因为,SOADADBOO⊥=，所以SO⊥平面,ABCD又因为SO在平面SAD内，所以平面SAD⊥平面,ABCD【小问2详解】如图所示，以

O为原点建立空间直角坐标系，各点坐标依次为：()3,10,1,0,,022AB−−，()()31,,0,0,1,0,0,0,322CDS，设1)0(DMkDSk=，平面MAB的一个法向量为()1,,nabc=，因为()31,,02

2,0,2,3ABAMkk==−，由()113100220230abABnAMnkbkc+===−+=，令1a=，得121,()3,1nk=−−，易知平面ABCD的法向量为()20,0,1n=uur，由12212212co

s42241nnknnk−===+−，解得23k=或2k=−（舍）.所以23DMDS=，故2DMMS=.22.正方形ABCD中，4AB=，点O为正方形内一个动点，且2OA=，设,0,2OAB=（1）当3=时，求22O

BOD+的值；（2）若P为平面ABCD外一点，满足,22POAPOBPODPO====，记cos()BPDf=，求()f的取值范围.【答案】（1）364246−−；（2）11[,)335202−−+.【解析】【分析】（1）构建平面直角坐标系得到,BD，O

坐标，进而写出OB、ODuuur坐标，应用向量模长的坐标表示求目标式的值.（2）以A为原点构建空间直角坐标系，确定,PBPD的坐标，利用向量夹角的坐标表示得到cos()BPDf=，结合换元法及三角函数、二次函数性质求范围.【小问1详解】构建如下图示的平面直角坐标系，则(

0,4),(4,0)BD，(2sin,2cos)O，当3=，则62(,)22O，故62(,4)22OB=−−，62(4,)22OD=−−，所以22262()(4)184222OB=−+−=−，22262(4)()184622OD=−+−=−，则2236424

6OBOD=−−+.【小问2详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，所以(0,4,0),(4,0,0),(2sin,2cos,2)BDP且0,2，则(2sin,42cos,2),(42sin,2cos,2)PBP

D=−−−=−−−，所以cos()||||PBPDBPDfPBPD===442(sincos)4001602(sincos)128sincos−+−++，令sincos2sin()(1,2]4t=

+=+，则22sincos1t=−，可得212cos410221tBPDtt−=−+，若21(21,1]mt=−−，则1[1,21)m+，此时21cos1362BPDmm=−−+在1[1,21)m

+上递增，所以11cos[,)335202BPD−−+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com