【文档说明】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期九月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(26)页，2.363 MB，由小赞的店铺上传

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华中师大一附中2023—2024学年度第一学期九月月考高二年级数学试卷时限：120分钟满分：150分命题人：施一帆审题人：钟涛一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知直线a，b的方向向量

分别为()1,01a=−,，()1,1,0b=−，且直线a，b均平行于平面，平面的单位法向量为（）A.333,,333B.333,,333−−−C.()1,1,1D.333,,333或333,,333−−−

【答案】D【解析】【分析】根据平面法向量的性质进行求解即可.【详解】设平面的单位法向量为()()222,,,11mxyzxyz=++=，因为直线a，b均平行于平面，所以有()()002030maxzxy

mb=−=−==，由()()()123可得：33xyz===或33xyz===−，故选：D2.已知点()2,3,5A，()2,1,1B−−是空间直角坐标系Oxyz−中的两点，点B关于xOy平面对称的点为B，线段AB的中点与点B的距离

为（）A.25B.22C.32D.17【答案】A【解析】【分析】求出B的坐标，即可求得线段AB的中点坐标，根据空间两点间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意点()2,3,5A，()2,1,1B−−，点B关于xOy平面对称的点为B，可得()2,1,1B−，故线段AB的中点坐标为22

3151(,,)222+−+，即(2,1,3)，故线段AB的中点与点B的距离为222(22)(11)(31)25−++++=，故选：A3.已知,,abc是空间的一组单位正交基底，若向量p在基底,,abc下用有序实数组表示为()3,2,1，则与向量p

同向的单位向量在基底,,abcbc+−下用有序实数组表示为（）A.34634646,,234646B.3141414,,14714C.31431414,,142828D.31431414,,14

2828−−−【答案】C【解析】【分析】求出与向量p同向的单位向量m的有序实数组，设与向量p同向的单位向量m在基底,,abcbc+−下有序实数组表示为,,xyz，根据()()xazbyzcmy++=+−3142141414141

4abc+=+，可得xyz，，，从而求出答案.【详解】因为向量p在基底,,abc下用有序实数组表示为()3,2,1，所以与向量p同向的单位向量m的有序实数组表示为()1314214143,2,1,,141414941=++，

设与向量p同向的单位向量m在基底,,abcbc+−下有序实数组表示为,,xyz，所以()()()()xaybczbcxayzmbyzc+++−+−==++，又因为31421414141414abmc=++，所以314142141414

14xyzyz=+=−=，解得31414314281428xyz===，则与向量p同向的单位向量m在基底,,abcbc+−下用有序实数组表示为31431414,,142828.故选：C.4.如图，在正方体ABEF­DCE′F′中

，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（）A.－13B.13C.－223D.223【答案】B【解析】【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱MN垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可；法二：直接转化为求两平

面的法向量的夹角即可.【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M11022,,，N11,,022，(1,0,0),(

0,0,0)AB.解法一取MN的中点G，连接BG，AG，则G111,,244.因为,AMNBMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．又因为GA=1114,4,2−−，111,44,2GB=−−−

，所以，111141616cos,33388GAGBGAGBGAGB−++===−，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则1coscos,3GAGB==.故所求两平面夹角的余弦值为13.解法二设平面AMN的法向量1(

,,)nxyz=由于,12,102AM=−，,0,1122AN=−，则1100nAMnAN==，即1102211022xzxy−+=−+=，令x＝1

，解得y＝1，z＝1，于是1(1,1,1)n=，同理可求得平面BMN的一个法向量2(1,1,1)n=−−.所以12121211cos,333nnnnnn−===−，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则121coscos,3nn==.故所求两平面夹角的余弦值为13.故选：B.5.若()

0,0,1OA=，()2,1,2OB=−，()1,2,3OC=，则三棱锥OABC−的体积为（）A.56B.52C.53D.5【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式求得cos,ABAC，进而求出

ABC的面积，再求出平面ABC的法向量，利用空间距离的向量求法求出三棱锥OABC−的高，根据棱锥体积公式即可求得答案.【详解】由题意()0,0,1OA=，()2,1,2OB=−，()1,2,3OC=，的()()2,1,2,1,2,2ABAC=−=，||4143

,||3ABAC=++==故()()2,1,21,2,24ABAC=−=，则4||||cos,4,cos,9ABACABACABAC==，又,[0,π]ABAC，故2465sin,1()99

ABAC=−=，故65||||sin,212ABCABACABCSA==,设平面ABC的法向量为(,,)nxyz=，则00nABnAC==，即220220xyzxyz−+=++=，令2y=，则可取(6,2,5)n=−，则O到平面ABC的距离为

||55||3642565OAndn===++，即三棱锥OABC−的高为565，故三棱锥OABC−的体积为1553665265=，故选：A6.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值

为（）A.1B.22C.233D.64【答案】C【解析】【分析】以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得.【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D

1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），

（0≤t≤2），(,0,),(2,2,0),(0,2,0)BPttACAB=−=−=，设异面直线,BPAC的公共法向量为(,,)nxyz=，则2200ACnxyBPntxtz=−+==−+=，取x＝1，得(1,1,1)n=，∴

点P到直线AC的距离为：22333nABdn===，点P到直线AC的距离的最小值为233.故选：C.7.两条异面直线,ab所成的角为60，在直线,ab上分别取点,AE和点,BF，使ABa⊥，且ABb⊥.已知6,8,14AEBFEF===，则线段AB的长

为（）A.20或12B.12或43C.43或83D.83或20【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算可得EFEAABBF=++，两边同时平方，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到222146848AB=−−，进而得出结果.【详解】由题意知，EFEAABB

F=++，所以2222222EFEAABBFEAABABBFEABF=+++++，又异面直线a、b所成的角为60，即222214=6800268cos60AB++++，所以222146848AB=−−，所以43AB=或12AB=，

故选：B8.如图，三棱柱111ABCABC-满足棱长都相等且1AA⊥平面ABC，D是棱1CC的中点，E是棱1AA上的动点．设AEx=，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大【答案

】D【解析】【分析】以AC中点O坐标原点，,OBOC分别为,xy轴，并垂直向上作z轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x，通过空间向量来求二面角的cos=23115()24−+x，故cos在1(0,)2x上单增，1(,2)2x上单减，即随着x增大先变大后变小

，所以随着x增大先变小后变大.即可得出结果.【详解】以AC中点O为坐标原点，,OBOC分别为,xy轴，并垂直向上作z轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x，(3,0,0)(0,1,1)(0,1,)，，−

BDEx,(3,1,1)DB=−−，(0,2,1)DEx=−−，设平面BDE法向量(,,)nabc=,则0302(1)0nDBabcnDEbcx==+=−+−=，令23c=有13(1)23axbx

c=+=−=，故(1,3(1),23)nxx=+−.为又平面ABC的法向量(0,0,1)m=，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值222233cos(1)3(1)124mnmnxxxx===++−+−+23115()24x=−+

，又(0,2)x，故cos在1(0,)2x上单增，1(,2)2x上单减，即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的为（）A.若p与,ab共面，则存在实数,xy，使pxayb=+B.若存在实数,xy，使向量pxayb=+，则p与,ab共面C.若点,,,PMAB四

点共面，则存在实数,xy，使MPxMAyMB=+D.若存在实数,xy，使MPxMAyMB=+，则点,,,PMAB四点共面【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若,ab共线，则A结论不恒成立；若,,

MAB三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果,ab共线，则xayb+只能表示与a共线的向量.若p与,ab不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,xy，使向量pxayb=+，则p

与,ab共面，故B项正确；对于C项，如果,,MAB三点共线，则不论,xy取何值，xMAyMB+只能表示与MA共线的向量.若点P不在,,MAB所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数,xy，使MPxM

AyMB=+，则,,MPMAMBuuuruuuruuur共面，所以点,,,PMAB四点共面，故D项正确.故选：BD.10.已知e为直线l的方向向量，12,nn分别为平面,的法向量(,不重合），并且直线l均不在平面,内，那么下列说法中正确的有（）A.1enl⊥∥

B.12nn⊥⊥C.12nn∥∥D.1enl⊥⊥【答案】ABC【解析】【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，【详解】已知直线l不在平面内，则1enl⊥∥，故A正确，D错误，由空间向量的位置关系得12n

n⊥⊥，12nn∥∥，故B，C正确，故选：ABC11.点A，B，C不在同一条直线上，点O在平面ABC外，则下列OM的表示中，对应的M点在ABC中的有（）A.OMOAOBOC=++B.OMOAOBOC=+−C.111333OMOAOBOC=++D.111632OMOAOBOC=++

【答案】CD【解析】【分析】利用空间四点共面的结论可判断A；利用向量的加减运算结合向量的共线可判断B；利用向量的线性运算，结合向量加法的平行四边形法则可判断C、D.【详解】由题意知点A，B，C不在同一条直线上，点O在平面ABC外，则点O与A，B，C共面的充要条件为存

在实数对(,,)xyz，使OMxOAxOBxOC=++，且1xyz++=，对于A，OMOAOBOC=++，右边系数和为3，故O，A，B，C不共面，A错误；对于B，OMOAOBOC=+−，则OMOAOBOC−=−，即AMCB=，则O，A，B，C共面，但M点在ABC外，B错误；对于

C，111333OMOAOBOC=++，则211333OMOAOAOBOC−=−++，即111()()()333AMOBOAOCOAABAC=−+−=+，如图，当,EF分别为,ABAC的中点时，设D为BC的中点，四边形AEDF为平行四边形，故1()2ADAEAFABAC=+=

+，由1()3AMABAC=+可知23ADMA=，即M点在ABC中，C正确；对于D，111632OMOAOBOC=++，则612135OMOAOAOBOC−=−++，即1111()()3232AMOBOAOCOAABAC=−+−=+，如图，设,DF分别

为,BCAC的中点，设G为AB的靠近A的三等分点，则由1132AMABACAGAF=+=+，结合向量加法的平行四边形法则知M落在线段DF上，即M点在ABC中，D正确；故选：CD12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，

G分别为11,,BCCCBB的中点，则下列说法正确的是（）A.直线1DD与直线AF垂直B直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】【分析】A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判

定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到平面AEF截正方体的截面为1AEFD，然后求面积；D选项根据点C和点G与平面AEF的位置判断.【详解】A选项：1111ABCDABCD−为正方体，所以11DDCC∥，直线AF与直线1CC不垂直，所以直线AF与直线1DD

不垂直，故A错；B选项：取11BC中点H，连接1AH，GH，因为H，E，G分别为11BC，BC，1BB中点，所以GHEF，1AHAE∥，又1,GHAH平面AEF，,AEEF平面AEF，所以1,GHAH∥平面AEF

，.因为1GHAHH=I，1,GHAH平面1AGH，所以平面1AGH∥平面AEF，因为1AG平面1AGH，所以1AG∥平面AEF，故B正确；C选项：连接1AD，1DF，因为,EF为1,BCCC的中点，所以1EFAD∥，所以平面AE

F截正方体的截面为1AEFD，1232224928AEFDS+==，故C正确；D选项：连接CG交EF于点M，延长FE交1BB的延长线于点Q，因为,EF为1,BCCC的中点，所以BQFC=，2GQFC=，又FMCQMGVV∽，所以12MCGM=，即M为CG的三等分点，

M不是CG的中点，所以点C和点G到平面AEF的距离不相等，故D错.故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.空间点(),,Axyz，()0,0,0O，()3,2,2B，若1AO=，则AB的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】确定点A是以O为球心，半径为

1的球面上的点，求出||OB，结合AB的几何意义即可求得答案.【详解】由题意空间点(),,Axyz，()0,0,0O，1AO=，即点A是以O为球心，半径为1的球面上的点，又()3,2,2B，则222||

(3)(2)23OB=++=，故AB的最小值为312−=，当且仅当,,OAB三点共线，且A在,OB之间时AB取最小值，故答案为：214.设动点P在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−的对角线1BD上，记11DPDB=

.当APC为钝角时，则的取值范围是________．【答案】1,13【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得,PAPC，根据0PAPC求得的取值范围.【详解】由题设可知，以D为坐

标原点，以1,,DADCDD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则有()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,0,1D，则()11,1,1DB=−，得()11,,DPDB==−，所以()()(

)11,,1,0,11,,1PAPDDA=+=−−+−=−−−，()()()11,,0,1,1,1,1PCPDDC=+=−−+−=−−−，显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于0PAPC，即()()(

)21110−−−−+−，即()()1310－－，解得113，因此的取值范围是1,13.故答案为：1,1315.三棱锥ABCD−的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()

0,0,0，则该三棱锥的外接球球心的坐标表示是______.【答案】111(,,)222【解析】【分析】设三棱锥的外接球球心的坐标为(,,)Gxyz，由题意列出方程，解方程（组）即可求得答案.【详解】设三棱锥的外接球球心的坐标为(,,)Gxyz，不妨设()1,0,1A，()1,1,0B，

()0,1,1C，()0,0,0D，则||||||||GAGBGCGD===,即222222(1)(1)(1)(1)xyzxyz−++−=−+−+222222(1)(1)xyzxyz=+−+−=++，整理可得1xz+=且1xy+=且1yz+=，解得12xyz===

，故三棱锥的外接球球心的坐标为111(,,)222G，故答案为：111(,,)22216.如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面是边长为2的等边三角形，12CC=，D，E分别是线段AC，1CC的中点，

1C在平面ABC内的射影为D.若点F为线段11BC上的动点（不包括端点），锐二面角FBDE−−余弦值的取值范围为______.【答案】13,22【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】连接1CD，因为1C在平面ABC内的射影为D，所以1CD垂

直于平面ABC内,DBAD这两条线段，又因为底面是边长为2的等边三角形，D是线段AC中点，所以DBAD⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()11130,0,0,3,0,0,0,0,3,0,2,3,0,,

22DBCAE−，设(),,Fxyz，()11101CFCB=，则()()()(),,33,,03,,33,,3xyzFDF−==，设平面BDE的法向量为(),,mabc=，因此有()13000,3,322030mDEb

cmmDBa=−+====，设平面BDF的法向量为(),,ndef=，因此有()03300,3,030nDFdefnnDBd=++==−==，所以()()()()2222222333331cos,2323333mnmnmn−

−−====++++−，令()()32,3tt−=，所以222111cos,2126216121mntmnttmntt===−+−+，设111,32sst=，则211cos,21261mnss=−+,二次函数221112611244y

sss=−+=−+的开口向上，对称轴为14s=，所以当11,32s时，该二次函数单调递增，所以当13s=时，该二次函数有最小值21111261333−+=，当12s=时，该二次函数有最大值2111261122

−+=，所以()211,31261ss−+，即2c,os2,13mn，故答案为：13,22【点睛】关键点睛：本题关键是利用换元法，结合二次函数的单调性求解值域.四、解答题（本大

题共6小题，共70分）17.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点()0,,1Aa和()1,2,2B−.（1）要使OAB为锐角三角形，求所有符合条件的实数a组成的集合；（2）a取何值时，OAB面积最小【答案】（1）7|122aa+

（2）45a=【解析】【分析】（1）根据OAB为锐角三角形，由000OAOBABAOBABO求解；（2）根据3OB=，点A到直线OB的距离为22OAOBdOAOB=−，由12OABSOBd=求

解.【小问1详解】解：，因为点()0,,1Aa，()1,2,2B−，所以()()0,,1,0,,1OAaAOa==−−，()()1,2,2,1,2,2OBBO=−=−−，()()1,2,1,1,2,1BAaABa=−−=−−，因为OAB为锐角三角形，的所以()()22

02103220OAOBaABAOaaBABOa=+=−−−=−−，1121272aaaa−+−或7122a+所以符合条件的实数a组成的集合为7|122aa+；【小问2详解】因为3OB=，点

A到直线OB距离为：22222249555225851333aOAOBaaadOAaOB−++−+=−=+−==，所以2114952255OABSOBda==−+，当45a=时，OAB面积最小.18.用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果

和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理的逆定理）【答案】证明见解析.【解析】【分析】先把定理用符号语言表示，然后利用向量的数量积为0证明垂直即可.【详解】已知：如图，PO，PA分别是平面垂线、斜线，OA是PA在平面上的射影，a，

且aAP⊥.求证：aOA⊥.证明：如图示，取直线a的方向向量a，同时取AP，PO.la⊥，0AP=又PO⊥且a的的POa⊥，0POa==()=0AOaAPPOaAPaPOa++=AOa⊥即证.19.

如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是线段CD，11AB的中点.（1）求直线1CF与直线AE间的距离；（2）求三棱锥11BADE−的体积.【答案】（1）2305（2）2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题意

可知四边形是菱形，运用勾股定理、菱形面积公式即可解得直线与直线间的距离.（2）利用空间向量点到面距离公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()12,0,0,0,2,2,0,1,0,2,1,2ACEF，所以()()12,1,0,2,1,0A

ECF=−=−，显然1AECF=−，易知两者不共线，所以有1//AECF，因此1,,,AECF四点共面，由勾股定理可得：115AEAFFCCE====，因此四边形1AECF是菱形，221222223AC=++=，所以可得()2212523222

EF=−=，设直线1CF与直线AE间的距离为d，于是由菱形的面积公式可得：12305232225dd==；【小问2详解】由（1）可得：()()()()112,0,0,0,0,2,0,1,0,2,2,2ADE

B，所以()()()1112,0,2,0,1,2,0,2,2DADEBA=−=−=−−，设平面1ADE的法向量为(),,mxyz=，所以有()1102201,2,1200DAmxzmyzDEm=−==−==，因此点1B到平面1A

DE的距离为11122242cos,6121BAmBABAmm−−===++，在等腰三角形1ADE中，1122,5ADDEAE===，所以等腰三角形1ADE的面积为()221122522622−=，所以三棱锥11BADE−的体积为166

23=.20.如图，在等腰直角三角形PAD中，90A=，8AD=，3AB=，B，C分别是PA，PD上的点，且//ADBC，M，N分别为BP，CD的中点，现将BCP沿BC折起，得到四棱锥PABCD−，连结MN．（1）证明：//MN平面

PAD；（2）在翻折的过程中，当4PA=时，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取AB的中点E，连接EM，EN，利用面面平行的判定证明平面//MNE平面PAD，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A为

坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，取AB的中点E，连接EM，EN，因为M，N分别为BP，CD的中点，//ADBC，则MEPA，//ENAD，因为PA平面PAD，ME平面PAD

，则//ME平面PAD，同理可得，//EN平面PAD，又MEENE=，ME，EN平面MNE，故平面//MNE平面PAD，因为MN平面MNE，故//MN平面PAD；【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD中，90A=

，//ADBC，所以BCPA⊥，则在四棱锥PABCD−中，BCPB⊥，BCAB⊥，因为//ADBC，则ADPB⊥，ADAB⊥，又PBABB=，,PBAB平面PAB，故AD⊥平面PAB，又PA平面PAB，故PAAD⊥，因为8AD=，3AB=，4

PA=，则5PB=，所以222ABPAPB+=，故PAAB⊥．以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B，()0,0,4P，(0,8,0)D，(3,5,0)C，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)P

BPCPD=−=−=−，设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，则3403540nPBxznPCxyz=−==+−=，令4x=，则3z=，故(4,0,3)n=；设平面PCD的法向量为(,,)mab

c=，则8403540mPDbcmPCabc=−==+−=，令1b=，则1a=，2c=，故(1,1,2)m=，所以222||106|cos,|||||343112mnmnmn===+++，故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为6

3．21.如图，正三棱柱111ABCABC-中，2AB=，13AA=，E，F分别是棱1AA，1BB上的点，1113AEBFAA==.（1）证明：平面CEF⊥平面11ACCA；（2）求直线1AC与平面1CFC夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13013【解析】【分析】（1

）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求得平面CEF和平面11ACCA的法向量，利用空间位置关系的向量证法，即可证明结论；（2）确定平面1CFC的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：取11,BCBC的中点为,OG，连接,OAOG

，因为正三棱柱111ABCABC-中，ABC为正三角形，故OABC⊥，而11,OGBBBB⊥∥底面ABC，则OG⊥底面ABC，以O为坐标原点，以,,OBOAOG为,,xyz轴建立空间直角坐标系，因为2AB=，13AA=且1113AEBFAA==，

则()()()()1,,,,,,,,),100030101032,(1,,0,3,CAFEC−−，则()()1(201)(132)1,3,0003,,,,,,,,,CFCECACC====，设平面CEF的法向量为(),,nxyz=，则00nCFnCE==，即20320x

zxyz+=++=，令=1x−，则()2,,13n=−−；设平面11ACCA的法向量为(),,mabc=，则100mCAmCC==，即3030abc+==，令1b=-，则(),,0

31m=−；则330mn=−+=，故mn⊥，所以平面CEF⊥平面11ACCA；【小问2详解】由于ABC为正三角形，且O为BC中点，故OABC⊥，又正三棱柱111ABCABC-中，1BB⊥平面,ABCOA平面ABC，故1BBOA⊥，而11,,BBBC

BBBBC=平面11BCCB，故OA⊥平面11BCCB，即OA⊥平面1CFC，故(0,3,0)OA=可作为平面1CFC的一个法向量，又()()11(,,,,03010,3,1,3,3)ACAC−=−−，设直线1AC与平面1CFC夹

角为π,[0,]2Î，故11133sincos,31313ACOAACOAACOA====，故23130cos11313=−=，即直线1AC与平面1CFC夹角的余弦值为13013.22.

如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面//PAD平面QBC，二面角PABC--与二面角QCDA−−的大小都是30，3APCQ==，PDAB⊥．（1）证明：平面//PCD平面QAB；（2）设G为QBC△

的重心，是否在棱PA上存在点S，使得SG与平面ABCD所成角的正弦值为3020，若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，36【解析】【分析】（1）依题意可得AB⊥平面PAD，再由面面平行及//ABCD，可得C

D⊥平面QBC，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明//PCAQ，即可得到//PC平面QAB，再证明//CD平面QAB，即可得证；（2）设点()0,3,3Smm，其中102m，利用空间向量法得到方程，求出m的值，即可得解.【小问1详解】因为ABCD为正方形，所以ABAD⊥

，又PDAB⊥，ADPDD=I，,ADPD平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以PAD为二面角PABC--的平面角，即30PAD=，又平面//PAD平面QBC，//ABCD，所以CD⊥平面QBC，即QCB为二面角QC

DA−−的平面角，即30QCB=，如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,2,0C，330,,22P，132,,22Q−，所以132,,22PC=−，132,,22AQ=−，即PCAQ=，所以//PCAQ

，因为PC平面QAB，AC平面QAB，所以//PC平面QAB，又//ABCD，CD平面QAB，AB平面QAB，所以//CD平面QAB，因为PCCDC=，,PCCD平面PCD，所以平面//PCD平面QAB.【小问2详解】由点S在AP上，设点()0,3,3Smm，其中102m，点

532,,66G−，所以532,3,366GSmm=−−+，平面ABCD的法向量可以为()0,0,1n=，设SG与平面ABCD所成角为，则2233306sin205343366mGSnGSnmm+=

==+−++，即22215340433666mmm+=+−++，化简得28452110mm+−=，解得16m=或1114m=−（舍去），所以存在点130,,26S满

足条件，且点S到平面ABCD的距离为36.