【文档说明】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末考试）数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.501 MB，由管理员店铺上传

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2020-2021市三中补习班第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合21xAyy==+，20Bxx=−，则AB=（）A.()1,2B.()0,2C.()1,+D.()2,+【答案】A【解析】【分析】先求出集合

,AB，再利用集合的交集运算求解即可.【详解】由1Ayy=，2Bxx=，得()1,2AB=.故选：A.2.在等比数列na中，若43a=，996a=，则1a=（）A.34B.38C.32D.35【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项

公式即可计算.【详解】解：设等比数列na公比为q，则59496323aqa===，解得：2q=，则41338aaq==.故选：B.3.函数231()log1xfxx−=−的定义域为（）A.()2,+B.1,2+C.1,2+D.)2,+【答案】A

【解析】【分析】首先根据题意得到20log10xx−，再解不等式组即可.【详解】由题知：2002log102xxxxx−.所以函数()231log1xfxx−=−的定义域

为()2,+.故选：A4.若0.12a=，0.212b−=，2log0.1c=，则（）A.bacB.bcaC.abcD.acb【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】0

.20.20.112202ba−===，由对数函数的性质可得2log0.10c=，故bac.故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.5.已知x，y满足约束条件204101xyxyx−+−−−，则31zxy=+−的最小

值为（）A.-6B.-7C.-8D.-9【答案】D【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件204101xyxyx−+−−−所表示的平面区域，如图所示，由目标函数

31zxy=+−可化为31yxz=−++，当直线31yxz=−++过点A时，在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由4101xyx−−==−，解得：)(1,5A−−，所以z的最小值为()31519−−−=−.故选：D.【点睛】方法点睛：根据线性规划求解目

标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如zaxby=+.求这类目标函数的最值常将函数zaxby=+转化为直线的斜截式：azyxbb=−+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如()()22z

xayb=−+−，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如ybzxa−=−，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解．6.已知0，则“2=”是“为函数3()sin20

fxx=−的周期”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当2=时，可得函数()fx的最小正周期为；当为函数3()sin20fxx=−

的周期时，不一定等于2，即可判断.【详解】当2=时，函数3()sin20fxx=−的最小正周期为；当4=时，函数3()sin20fxx=−的最小正周期为2，也是函数()fx的周期.故“2=”是“为函数3()sin2

0fxx=−的一个周期”的充分不必要条件.故选：A.7.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也

进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列，设两鼠n天可相逢，求两数列的前n项和加起来大于或等

于33的最小的正整数n即可.【详解】设两鼠n天可相逢，由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，大鼠n天打洞尺寸为122112nn−=−−，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列

，小鼠n天打洞尺寸为1111221212nn−−=−−，两鼠n天打洞尺寸之和为：11112122122nnnn−−−+−=−+，令1121332nn−−+，经验证：5n=时，1121332nn−−+不成立；6n

=时，1121332nn−−+成立；所以两鼠6日可相逢，故选：B【点睛】方法点睛：数列实际应用中常见的模型：（1）等差模型：如果增加或减少的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；（2）等比模

型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项na与第1n+项1na+的递推关系，还是前n项和nS与前1n+和1nS+之间的递推关系.8.

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A.33B.3C.63D.33【答案】A【解析】【分析】【详解】由三视图可得，该几何体为放倒是三棱柱，底面积，高，因此棱柱的体积，故答案为A．9.函数y=||

2xsin2x的图象可能是A.B.CD.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin2xfxx=，因为,()2sin2()2sin2()xxxRfxxxfx−

−=−=−=−，所以||()2sin2xfxx=为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x时，()0fx，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判

断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.已知正数a，b满足2abab+=，则2+ab的最小值为（）A.8B.10C.9D.6【

答案】C【解析】【分析】利用211ba+=将2+ab化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】由2abab+=得211ba+=，因为0,.0ab，所以21222(2)()5abababba

ba+=++=++2252549abba+=+=，当且仅当22abba=且211ba+=，即3ab==时，等号成立.所以2+ab的最小值为9.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为

正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若曲线()21xefxax−=+在点()()1,1f处的切线过点()1,0−，则函数()fx的单调递减区间为（）A.(),0−B.()0,+，(-1，0)

C.()(),11,0−−−UD.()(),1,1,0−−−【答案】D【解析】【分析】根据切线的斜率12(1)(1)ekfa−==+(1)01(1)f−=−−解得1a=，再利用()0fx可解得结果.【详解】因为()21xe

fxax−=+，所以222(1)()(1)xxeaxeafxax−−+−=+22(1)(1)xeaxaax−+−=+，所以切线的斜率12(1)(1)ekfa−==+，又曲线()21xefxax−=+在点()()1,1f处的切线过点()1,0−，所以(1)011fk−==

+12(1)ea−+，所以112(1)2(1)eeaa−−=++，解得1a=，所以()21xefxax−=+21xex−=+22()(1)xxefxx−=+,由()0fx得0x且1x−，所以函数()fx的单调递减区间为

(,1)−−，(1,0)−.故选：D【点睛】易错点点睛：函数的单调区间不能用符号“”连接，要用逗号隔开.12.已知函数()()fxxR满足()()2fxfx−=−，若函数1xyx+=与()yfx=图象的交点为()()()

112220202020,,,,,,xyxyxy，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010B.-2020C.2020D.4040【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出函数()yfx=及1xyx+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2

000个交点两两配对，坐标之和易求．【详解】函数()()fxxR满足()()2fxfx−=−，即为()()2fxfx+−=可得()fx的图像关于点()0,1对称.函数1xyx+=，即11yx=+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,xy为交点，则点()11,2xy−−也为交点；同理若

点()22,xy为交点，则点()22,2xy−−也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122xyxyxyxyx++++++=++−+)()()()()1222220202020200020000222020

yxyxyxyxy−+++−+−++++−+−=.故选：C．【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()yfx=：（1）若满足()(2)2fxfmxn+−=，则函数图象关于点(,)mn对称；

（2）若满足()(2)fxfmx=−，则函数图象关于直线xm=对称．二．填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量ab⊥，若()2315aba+=，则a=________.【答案】5【解析】【分析】由ab⊥得

0ab=，再根据()2315aba+=，即可求得ar.【详解】解：ab⊥，0ab=rr，又()2315aba+=，即22315aba+=，即2315a=，解得：5a=r.故答案为：5.14.在前n项和为nS的等差数列na中，若()()153693

218aaaaa++++=，则8S=________.【答案】12【解析】【分析】根据等差数列的性质以及前n项和公式即可求解.【详解】解：()()153693218aaaaa++++=，即366618aa+=，即363a

a+=，则()()1883684122aaSaa+==+=.故答案为：12.15.若等边ABC的边长为1，平面内一点M满足1132CMCBCA=+，则MAMB=______________.【答案】29−【解析】【分析】用,CACB表示出

,MAMB后求数量积．【详解】由已知111cos602CACB==，11113223MACACMCACBCACACB=−=−−=−，11213232MBCBCMCBCBCACBCA=−=−−=−，∴22

112111211122()()233242942299MAMBCACBCBCACACACBCB=−−=−+−=−+−=−，故答案为：29−．16.如图，在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，ACBC⊥，2

AB=，5AP=，则三棱锥PABC−的外接球的体积为______.【答案】9π2【解析】【分析】将三棱锥PABC−放在长方体中，则三棱锥PABC−的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解.【详解】如

图所示：将三棱锥PABC−放在长方体ACBDPGEF−中，则三棱锥PABC−的外接球即为长方体的外接球，球的直径是PB，球的半径135422r=+=，属于三棱锥PABC−的外接球的体积为3439ππ322=.故答案为：9π2【点睛】本题主要考查几何体的外

接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.三．解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数()2lnfxxax=+.（1）当2a=−时，求函数()fx在点(e，f(e))处

的切线方程（2）若()()2gxfxx=+在[1,+)上是单调增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）2222eyxee−=−（2）0a【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果；（2）转化为()0gx，即222axx

−在[1,+)上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a=−时，()22fxxlnx=−，定义域为(0,)+，2222()2xfxxxx−=−=，所以函数()fx在点(e，f(e))处的切线的斜率

为222()efee−=，又2()2fee=−，所以函数()fx在点(e，f(e))处的切线方程为2222(2)()eyexee−−−=−，即2222eyxee−=−.（2）因为()()2gxfxx=+22lnxaxx=++在[1,+)上是单调增函数，所以3

22222()2axaxgxxxxx+−=−+=0在[1,+)上恒成立，即222axx−在[1,+)上恒成立，因为222yxx=−在[1,+)上为单调递减函数，所以当1x=时，222yxx=−取得最大值

0，所以0a.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()kfx在[,]ab上恒成立，则max()kfx；②若()kfx在[,]ab上恒成立，则min()kfx；③若()kfx在[,]a

b上有解，则min()kfx；④若()kfx在[,]ab上有解，则max()kfx；18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面111ABC，ACAB⊥，4ACAB==，16AA=，点E，F分别为1CA与AB的中点.（1）证

明：//EF平面11BCCB.（2）求三棱锥1BAEF−的体积.【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）连接1AC，1BC，根据三角形中位线的性质可得1//EFBC，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）根据等积法，将所求转化为三棱锥1EABF−的

体积求解．【详解】（1）证明：如图，连接1AC，1BC，在三棱柱111ABCABC−中，E为1AC的中点，F为AB的中点，所以1//EFBC，又EF平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以//EF平面11BCCB．（2）解：因为ACAB⊥，1AA

AC⊥，1AAABA=，所以AC⊥平面11ABBA，又4AC=，E为1AC的中点，所以点E到平面11ABBA的距离为114222dAC===．又1ABF的面积为112662ABFS==，所以1112643BAEFEABFVV−−===

．【点睛】本题考查空间中线面关系的证明和三棱锥体积的求法，是立体几何中的常规题型，求三棱锥的体积时常用的方法是等积法，即将所求锥体的体积转化为容易求解的同体积的三棱锥的体积求解．19.如图所示，在平面

四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．【答案】(1)27cos7CAD=(2)3【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得2

7cos7CAD=；(2)利用题意结合正弦定理可得：3BC=.试题解析：（I）在ADC中，由余弦定理得27cos7CAD=(II)设,BACBADCAD==−则277,714217321432cosCADcosBADsi

nCADsinBADsin==−===在ABC中，由正弦定理，sinsinBCACCBA=故3BC=点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中

既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.20.设数列na､nb的前n项和分别为nS､nT，且21(37)2nSnn=+，2(1)nnTb=−*()nN，（1）求数列na､nb的通项公式；（2）令

nnncab=，求nc的前n项和nU.【答案】（1）32nan=+，2nnb=（2）1(31)22nnUn+=−+【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS−=−可求得na；利用1nnnbTT−=−可得12nnbb−=，可得数列{}

nb是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得nb；（2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）由21(37)2nSnn=+得115aS==，当2n时，()()22111(37)317122nnnaSSn

nnn−=−=+−−+−32n=+，当1n=时，1325a=+=也适合，故32nan=+.由2(1)nnTb=−得1112(1)bTb==−，得12b=，当2n时，112(1)2(1)nnnnnbTTbb−−=−=−−−，得12nnbb−=，又12b=，

所以12nnbb−=，所以数列{}nb是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222nnnb−==.综上所述：32nan=+，2nnb=.（2）(32)2nnnncabn==+，所以1235282112

(32)2nnUn=+++++，所以234125282112(32)2nnUn+=+++++，所以2312523(222)(32)2nnnnUUn+−=++++−+，所以23143(2222)

(32)2nnnUn+−=+++++−+12(12)43(32)212nnn+−=+−+−(62)22nn=−+−，所以1(31)22nnUn+=−+.【点睛】关键点点睛：第（2）问掌握错位相减法求和的几个步骤是解题关键.21.已知函数)fx=（ae2x+

(a﹣2)ex﹣x.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按0a，0a进行讨论，写出单调区间；（2）

根据第（1）问，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa=−时，()fx取得最小值，求出最小值1(ln)1lnfaaa−=−+，根据1a=，(1,)+a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a时有2个零点.易知()fx在(

,ln)a−−有一个零点；设正整数0n满足03ln(1)na−，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln(1)lnaa−−，因此()fx在(ln,)a−+有一个零点.从而可得a的取值范围为(0,1).试

题解析：（1）()fx的定义域为(),−+，()()()()2221121xxxxfxaeaeaee=+−−−=+，（ⅰ）若0a，则()0fx，所以()fx在(),−+单调递减.（ⅱ）若0a，则由()0fx=得lnxa=−.当(),lnxa−−时

，()0fx；当()ln,xa−+时，()0fx，所以()fx在(),lna−−单调递减，在()ln,a−+单调递增.（2）（ⅰ）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点.（ⅱ）若0a，由（1）知，当lnxa=−时，()fx取得最小值，最小值

为()1ln1lnfaaa−=−+.①当1a=时，由于()ln0fa−=，故()fx只有一个零点；②当()1,a+时，由于11ln0aa−+，即()ln0fa−，故()fx没有零点；③当()0,1a时，11ln0aa−+，即()ln0fa−.又()()4222e2e22e20f

aa−−−−=+−+−+，故()fx在(),lna−−有一个零点.设正整数0n满足03ln1na−，则()()00000000ee2e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln1lnaa−−，因此(

)fx在()ln,a−+有一个零点.综上，a的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()fx有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya=与其交点的个数，从而求出a的

取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()fx有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22.已知a，()0,b

+，且242ab=.（1）求21ab+的最小值；（2）若存在a，()0,b+，使得不等式2113xab−++成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）8（2）4x−或6x【解析】【分析】（1）由242

ab=得21ab+=，将21ab+化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果；（2）转化为min2113xab−++可求得结果.【详解】（1）因为242ab=，所以222ab+=，所以

21ab+=，因为0,0ab，所以2121(2)()ababab+=++444428babaabab=+++=，当且仅当11,24ab==时，等号成立.所以21ab+的最小值为8.（2）若存在a，()0,b+，使得不等式2113xab−++成立，则min2113xab

−++，由（1）知min218ab+=，所以|1|38x−+，即15x−，所以4x−或6x.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()kfx在[

,]ab上恒成立，则max()kfx；②若()kfx在[,]ab上恒成立，则min()kfx；③若()kfx在[,]ab上有解，则min()kfx；④若()kfx在[,]ab上有解，则max()kfx

；