【文档说明】【精准解析】内蒙古通辽市扎鲁特旗第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试题.doc，共(20)页，1.712 MB，由小赞的店铺上传

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扎鲁特旗第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（理）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；2.请把答案填写到答题纸上；3.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分；第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合|12Axx=−，|21Bxx=−，则AB=（）A.|21xx−B.2|2xx−C.1|2xx−

D.|11xx−【答案】D【解析】【分析】利用数轴求交集即可得答案.【详解】用数轴表示集合A、B如图所示AB=|12xx−|21xx−|11xx=−，故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.复数12zi=−，212zi

=−，则12zz=（）A.52i−B.522i−C.1i+D.512i−【答案】A【解析】【分析】由复数的乘法法则计算．【详解】212115(2)12222zziiiiii=−−=−−+=−．故选：A．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题．3.已知1311531log,

log,363abc−===，则,,abc的大小关系是()A.bacB.acbC.cbaD.bca【答案】D【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】115511loglog1,65a==1133loglog10,3b==130331c−==

，则01c，所以bca.故选：D.【点睛】本题考查指对数值大小比较.指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化

为同底;（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系4.1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每

个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A.12B.3C.2D.

1【答案】D【解析】【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】70412212.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.5.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算

筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出：十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.1-9这9个数字的纵式与横式的数码表示如图所示，则829可用算筹表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由算筹记数的方法可知：829中8、2

、9分别在百位、十位、个位上，即依次用纵式、横式、纵式表示，即可知正确选项【详解】个位、百位、万位的数按纵式的数码；十位、千位、十万位的数按横式的数码∴由题意，知：829可用算筹表示为故选：D【点睛】本题考查了新定义问题，根据题设所描述的

算筹记数方法表示一个给定的数，属于简单题6.已知等差数列na满足212730aa+=，则na中一定为零的项是（）A.3aB.4aC.5aD.6a【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的基本量进行运算

．【详解】设数列的公差为d，则212111737()3(11)10400aaadadad+=+++=+=，140ad+=，∴5140aad=+=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的通项公式是解题关键．7.已知平面//平面，则

“直线//m平面，直线//n平面”是“直线//m直线n”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】直线//m平面，直线//n平面时，,mn的位置关系是平行、相交

、异面均有可能，不充分，反之，若//mn，它们与,之间关系根本不可确定，故不必要，∴应是既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．本题还考查了空间直线、平面

间平行的位置关系．属于中档题．8.以一个正四面体的棱为面对角线的正方体称为该正四面体的母体，若一个正四面体的体积为3，那么该正四面体的母体的内切球的表面积为（）A2B.3C.23D.12【答案】B【解析】【分析】设出正方体的棱长，正方体的

体积减去四个角的三棱锥的体积等于四面体的体积，结合已知条件列出等式得到棱长，再求正方体内切球的表面积.【详解】如图，由题设知四面体为11BDAC−，其母体为正方体1111ABCDABCD−，该四面体可以看成是正方体切去了四个角（每个角都是三棱锥，

且体积相等）形成，设正方体的棱长为a，则正方体的体积为3a，四个三棱锥的体积为231124323aaa=，所以四面体的体积为33321333aaa−==，得332333a==所以3a=，内切球的半径为3

2，球的表面积为23344324==.故选：B.【点睛】本题是关于正方体的切割体的体积问题，明确四面体是由正方体切去四个角上的三棱锥形成是关键.9.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c且3sinsin()tanaBbBC

C=+，则cosC=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】由题意可知3sinsintanaBbAC=，再根据正弦定理，可得3sinsinsinsintanABBAC=，可得tan3C=，由此即可求出角C，进而求出结果.【详解】在ABC中，sin()sinBCA+=所以s

in()tansintanbBCCbAC+=，所以3sinsintanaBbAC=，由正弦定理可知，3sinsinsinsintanABBAC=，又(),0,AB，所以tan3C=，又()0,C，所以3C=，所以1cos2C=.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中

的应用，属于基础题.10.函数2()()1sinxxeefxxx−−=−+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数值的正负和(0)f可排除三个选项，得出正确选项．【详解】由函数解析式得()0fx，排除

C，又(0)0f=，排除A、B，只有D满足．故选：D．【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，可根据解析式研究函数的性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值趋势排除错误选项，得出正确答案．11.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的渐近线方程为3yx=，直线20xy++=经过

双曲线C的一个焦点，则a=（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程得,ab的关系，然后求出焦点坐标（用a表示），代入已知直线方程可求得a．【详解】由题意3ba=，3ba=，∴222caba=+=，焦点坐标为()2,0a，又一个焦点过直线20

xy++=，∴220a−+=，1a=．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，焦点坐标，属于基础题．12.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22222cos2acbAcbc+−=−，4c=，ABC面积的取值范围是（）A.()23,83B.()2

,8C.(23,8D.)23,8【答案】A【解析】【分析】用余弦定理和正弦定理化边为角求得A，可求得C的范围，然后把三角形面积表示为角C的函数，由三角函数性质可得．【详解】∵22222cos2acbAcbc+−=−，由余弦定理得22cos2cos2acBAcbc=−，coscos

2cosaBbAcA+=，由正弦定理得sincossincos2sincosABBACA+=，即sin()2sincossinABCAC+==，又(0,)C，sin0C，∴1cos2A=，∵(0,)A，∴3A=，三角形为锐角三角形，∴232BC=−，6C，即

,62C，1sin32ABCSbcAb==△，由正弦定理sinsinbcBC=得24sin4sin23cos2sin2332sinsinsintanCBCCbCCCC−+====+，∵,62C，∴3tan3C，∴28b，∴

(23,83)ABCS△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积，考查余弦定理、正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，正切函数的性质，所用公式较多，解题时需根据题意先用恰当的公式运算求解．本题属于中档题．第

Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每空5分，共20分）13.已知平面向量a与b的夹角为3，()3,1a=−，1b=，则ab=______.【答案】1【解析】【分析】求出ar，由数量积定义求出数量积．【详解】由题意2a=，cos,21cos13ababab===．故答案为：1

．【点睛】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．还考查了模的坐标运算．本题属于基础题．14.记nS是正项等比数列na的前n项和，若12a=，3269S=，则公比q=______.【答案】13【解析】【分析】根据等比数列的求和公式列方程即可求出公比.【详解】1

2a=，3269S=,所以1q，322131(1)26(1)2(1)19aqSaqqqqq−==++=++=−，所以29940qq+−=，解得13q=或43q=−，由正项等比数列na知0q，所以13q=，故答案为：13【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公

式，等比数列的公比，属于基础题.15.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则100,153100,3xyzxyz++=++=当81z=时，x=

___________，y=___________．【答案】(1).8(2).11【解析】【分析】将z代入解方程组可得x、y值.【详解】19881,,.537311xyxzxyy+===+==【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质

，是解决这类问题的突破口．16.已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx=−+，则曲线()yfx=在点(1,3)−处的切线方程是__________．【答案】21yx=−−【解析】试题分析：当0x时，0x−，则()ln3fxxx−=−．又因为()fx为偶函

数，所以()()ln3fxfxxx=−=−，所以1()3fxx=−，则切线斜率为(1)2f=−，所以切线方程为32(1)yx+=−−，即21yx=−−．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”

．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇函数，则函数的解析式为()yfx=−−．三、解答题（共70分）17.在平面直角坐标系中，曲线122cos:2sinxCy=+=（为参数），在以原点O为极

点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin13C−=.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在曲线1C上，点Q在曲线2C上，求||PQ的最小值及此时点P的直角坐标.【答案】（1）22(2)4xy−+=；320xy−+=（2）最小值为31−，此时

P的直角坐标为(23,1)−【解析】【分析】（1）根据22sincos1+=消去参数，曲线1C参数方程化为普通方程；曲线2C极坐标方程展开，cos,sinxy==代入，即可求出直角坐标方程

；（2）设点(22cos,2sin)P+，||PQ的最小值为点P到直线2C距离的最小值，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式，转化为求余弦型函数的最小值，即可求出结论.【详解】（1）由122cos:2sinxCy=+=（为参数），得

1C的普通方程为22(2)4xy−+=；由sin13−=，得13sincos122−=，即3cossin20−+=，又由cos,sinxy==，得曲线2:320Cxy−+=；（2）由题意，可设

点P的直角坐标为(22cos,2sin)+，因为2C是直线，所以||PQ的最小值，即为P到2C的距离()d的最小值，23cos2sin232()2cos3126d−++==+++.当且仅当52,6kk=+Z时，()d取得最小值，最小值为31−，此时P

的直角坐标为(23,1)−.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，利用圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算求解能力，属于中档题.18.在直角坐标系xOy中，曲线1C：3cos33sinxy==+（为参数），在以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：()2sinR=.（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若点A，B分别是曲线1C，2C上的点（不同于原点），且2AOB=，求AOB面积的最大

值.【答案】（1）()2233xy+−=，()2211xy+−=；（2）3.【解析】【分析】（1）用消元法可把参数方程化为普通方程，由公式cossinxy==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设

()1,A，()2,B，2=+，把12,都用表示，求出三角形面积，利用诱导公式、二倍角公式、正弦函数性质可得最大值．【详解】解：本题考查圆的极坐标.（1）1C：3cos33sinxy==+

消去得到1C：()2233xy+−=，2C：2sin=，等式两边同乘可得22sin=，将222xy=+且siny=代入化简得2C：()2211xy+−=.（2）设()1,A，()2,B由曲线1C

，2C的极坐标方程为可得123sin=，22sin=，且2=+，1211143sinsin222AOBSOAOB===△143sinsin22=+23sincos3sin23==，当22=即4=时取得等号.故AOB

面积的最大值为3.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的应用，属于基础题．19.为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方

图如图所示.（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列

与数学期望；（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z服从正态分布()2,N，其中可用样本平均数近似代替，2可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四

舍五人保留整数）.参考数据：()0.6827PZ−+，()220.9545PZ−+，()330.9973PZ−+.【答案】（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为5635；（3）50.【解析】【分析】（1）由图中的数据可判断中位数在

60分到80分之间，若设中位数为x，则()0.005200.01520600.020.5x++−=，从而可求得中位数；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，

则的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得的分布列与数学期望；（3）由已知求出=64=18，，从而可得()()6418641846820.6827PZPZ−+=，再利用正态分布的对称性可求得结果【详解】（1）设中

位数为x，则()0.005200.01520600.020.5x++−=，解得65x=，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为()0.010.0220106+=，不合格的人数为1064−=.由

题意可知的可能取值为0，1，2，3，4.则()464101014CPC===，()13464108121CCPC===，()2246410327CCPC===，()31464103435CCCP===，()4441014210CPC===.所以的分布列为

01234P114821374351210所以的数学期望183415601234142173521035E=++++=.（3）由题意可得，()300.005500.015700.02900.012064=+++=

，()()()222230640.150640.370640.4=−+−+−()290640.2324+−=，则18=，由Z服从正态分布()2,N，得()()6418641846820.6827PZPZ−+=，则()()18210.68270.1

58652PZ−=，()460.68270.158650.84135PZ+=，所以此次竞赛受到奖励的人数为600.8413550.【点睛】此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，

属于中档题20.在如图所示的多面体中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，DE//CF//BG，CF⊥平面ABCD，AG//EF，且CF=2BG.（1）证明：//EG平面ABCD；（2）若菱形ABCD的边长是2，4CF=，求直线CF与平面A

EG所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）证明四边形AEFG为平行四边形．连接AF交EG于M，连接AC，BD交于O，连接MO，证明//MGBO．即可证明//EG平面ABCD．（2）解法一、证明FC与平面AEF

G所成的角就是AFC．在RtAFC中，求解FC与平面AEG所成角的正弦即可．解法二、以O为坐标原点，分别以直线AC、BD为x、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，求出平面AEG的法向量，然后利用向量的数量积求解直线CF与平面AEG所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：因为四边形A

BCD为菱形，所以//ADBC.又//DECF，ADDED=，BCCFC=，所以平面//ADE平面BCFG.因为//AGEF，由夹在两个平行平面间的平行线段相等知AGEF=，所以四边形AGFE是平行四边形.连接AF交EG于M，连接

AC，BD交于O，连接MO，如图所示，易知////MOCFBG，且12MOCFBG==，故四边形BOMG为平行四边形，所以//MGBO.又BO平面ABCD，MG平面ABCD，所以//MG平面ABCD，即//EG平面ABCD.（2）方法

一（几何法）：因为CF⊥平面ABCD，BD平面ABCD，故FCBD⊥.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC⊥.又AC平面ACF，FC平面ACF，且CFACC=，所以BD⊥平面ACF.由（1）知//EGBD，所以EG⊥平面ACF，又EG平面AEFG，

所以平面AEFG⊥平面ACF.因为平面AEFG平面ACFAF=，点C平面ACF，所以点C在平面AEFG内的射影落在AF上，故FC与平面AEFG所成的角就是AFC.易知CFAC⊥，2ACABBC===，所以在RtAFCV中，2225sin524ACAFCAF===+，所以直线CF与

平面AEG所成角的正弦值为55.方法二（向量法）：由（1）易知，2DEBG==.以O为坐标原点，分别以AC，BD，OM所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，如图所示.则有()1,0,0A，()0,3,2E−，()0,3,2G，()1,0,0C−，()1,0,4F

−，所以()1,3,2AE=−−，()0,23,0EG=，()0,0,4CF=.设平面AEG的法向量为(),,nxyz=，由nAE⊥ruuur，nEG⊥，得320230xyzy−−+==，令1z=，解得2x=，0y=，所以(

)2,0,1n=为平面AEG的一个法向量.于是45cos,545nCF==.故直线CF与平面AEG所成角的正弦值为55.【点睛】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正

半轴上，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，且满足34OAOB=−uuruuur（1）求抛物线C的方程；（2）若P是抛物线C上的动点，点M、N在x轴上，圆22(1)1yx+−=内切于PMN，求PMN面积的最小值.【答案】（1）22xy=；（2）8【解析】【分析】（1）本小

题先设直线方程，再联立方程化简整理得到待定系数为p、k的关于x的一元二次方程，最后根据题意建立方程求p即可解题.（2）本小题先设点00(,)Pxy，再根据题意表示出只含待定系数为0y的PMNS，最后根据基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题意，设抛物线C的方程为22

xpy=(0p)，则焦点F的坐标为(0,)2p.设直线l的方程为2pykx=+，11(,)Axy，22(,)Bxy，联立方程得222xpypykx==+，消去y得2220xpkxp−−=，222440pkp=+，所以12

2xxpk+=，212xxp=−，2124pyy=，因为121234OAOBxxyy=+=−uuruuur，所以1p=故抛物线的方程为22xy=.（2）设00(,)Pxy（000xy），(,0)Mm，(,0)Nn，易知点M、N的横坐标与P

的横坐标均不相同.不妨设mn.易得直线PM的方程为00()yyxmxm=−−化简得000()0yxxmymy−−−=，又圆心(0,1)到直线PM的距离为1，所以0022001()xmmyyxm−+=+−，所以22222000000()()2()xmyxmmyxmmy−+=−+

−+，不难发现02y，故上式可化为2000(2)20ymxmy−+−=，同理可得2000(2)20ynxny−+−=，所以m、n可以看作是2000(2)20ytxty−+−=的两个实数根，则0022xmny−+=−，002ym

ny−=−，所以()()()22220002044842xyymnmnmny+−−=+−=−因为00(,)Pxy是抛物线C上的点，所以2002xy=，则()()2202042ymny−=−，又02y，所以0022ymny−=−，从而01()2PMNSmny=−20000000214242

222yyyyyyy===−++−−−0042(2)482yy−+=−当且仅当20(2)4y−=时取得等号，此时04y=，022x=故△PMN面积的最小值为8.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质以及基本不等式求最值问题，是偏难题.22.已知函数

2()(1)lnfxxmx=−+，Rm.（1）当2m=时，求函数()fx图象在点(1,0)处的切线方程：（2）若函数()fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求()21fxx的取值范围.【答案】（1）220xy−−=；（2）21,0ee−

【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】()1当2m=时，()2(1)2fxxlnx=−+，

其导数()()2'21fxxx=−+，所以，即切线斜率为2，又切点为()1,0，所以切线的方程为220.xy−−=()2函数()fx的定义域为()0,+，()()222'21mxxmfxxxx−+=−+=，因为1x，2x为函数()fx的两个极值点，所以1x，2x是方

程2220xxm−+=的两个不等实根，由根与系数的关系知12121,2mxxxx+==，()*又已知12xx，所以121012xx，()222211(1)fxxmlnxxx−+=，将()*式代入得()()22222222212(

1)21121fxxxxlnxxxlnxxx−+−==−+−，令()12gtttlnt=−+，1,12t，，令，解得1te=，当11,2xe时，，()gt在11,2e递减；当1,1xe

时，，()gt在1,1e递增；所以122()11minegtgeee==−=−，()()1,12gtmaxgg，()1120122glng=−=，即()21fxx的取值范围是21,0.ee−【点睛】导数

是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调

区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．