【文档说明】【精准解析】内蒙古通辽市扎鲁特旗第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题.doc，共(20)页，1.341 MB，由小赞的店铺上传

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扎鲁特旗第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（文）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；2.请把答案填写到答题纸上；3.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分；第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共1

2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合|12Axx=−，|21Bxx=−，则AB=（）A.|21xx−B.2|2xx−C.

1|2xx−D.|11xx−【答案】D【解析】【分析】利用数轴求交集即可得答案.【详解】用数轴表示集合A、B如图所示AB=|12xx−|21xx−|11xx=−，故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于

基础题.2.复数12zi=−，212zi=−，则12zz=（）A.52i−B.522i−C.1i+D.512i−【答案】A【解析】【分析】由复数的乘法法则计算．【详解】212115(2)12222zziiiiii=−−=−−

+=−．故选：A．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题．3.已知1311531log,log,363abc−===，则,,abc的大小关系是()A.bacB.acbC.cbaD.bca【答案】D【解析】

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】115511loglog1,65a==1133loglog10,3b==130331c−==，则01c，所以bca.故选：D.【点睛】本题考查指对数值大小比较.指数函数值

大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，

一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.4.1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意

投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A.12B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计

概率.【详解】70412212.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.5.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出：十位、

千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.1-9这9个数字的纵式与横式的数码表示如图所示，则829可用算筹表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由算筹记数的方法可知：829中8、2、9分别在百位、十位、个位上，即依次用纵式、横式、纵式表示，即可知正确选项【详解】个

位、百位、万位的数按纵式的数码；十位、千位、十万位的数按横式的数码∴由题意，知：829可用算筹表示为故选：D【点睛】本题考查了新定义问题，根据题设所描述的算筹记数方法表示一个给定的数，属于简单题6.已知等差数列na满足212730aa+=，则n

a中一定为零的项是（）A.3aB.4aC.5aD.6a【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的基本量进行运算．【详解】设数列的公差为d，则212111737()3(11)10400aaadadad+=+++=+=，140ad+=，∴5140aad=+=．

故选：C．【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的通项公式是解题关键．7.已知平面//平面，则“直线//m平面，直线//n平面”是“直线//m直线n”的（）A.充分不必要条件B.必

要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】直线//m平面，直线//n平面时，,mn的位置关系是平行、相交、异面均有可能，不充分，

反之，若//mn，它们与,之间关系根本不可确定，故不必要，∴应是既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．本题还考查了空间直线、平面间平行的位置关系．属于中档题．

8.以一个正四面体的棱为面对角线的正方体称为该正四面体的母体，若一个正四面体的体积为3，那么该正四面体的母体的内切球的表面积为（）A.2B.3C.23D.12【答案】B【解析】【分析】设出正方体的棱长，正方体的体积减去四个角的三棱锥的体积等于四

面体的体积，结合已知条件列出等式得到棱长，再求正方体内切球的表面积.【详解】如图，由题设知四面体为11BDAC−，其母体为正方体1111ABCDABCD−，该四面体可以看成是正方体切去了四个角（每个角都是三棱锥，且体积相等）形成，设正方体的棱长为a，则正方体的体积为3a，四个三

棱锥的体积为231124323aaa=，所以四面体的体积为33321333aaa−==，得332333a==所以3a=，内切球的半径为32，球的表面积为23344324==.故选：B.【点睛】本题是关于正方体的切割体的体积问题，明确四

面体是由正方体切去四个角上的三棱锥形成是关键.9.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c且3sinsin()tanaBbBCC=+，则cosC=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】由题意可知3sinsintanaBbAC=

，再根据正弦定理，可得3sinsinsinsintanABBAC=，可得tan3C=，由此即可求出角C，进而求出结果.【详解】在ABC中，sin()sinBCA+=所以sin()tansintanbBCCbA

C+=，所以3sinsintanaBbAC=，由正弦定理可知，3sinsinsinsintanABBAC=，又(),0,AB，所以tan3C=，又()0,C，所以3C=，所以1cos2C=.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.10.函数2()

()1sinxxeefxxx−−=−+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数值的正负和(0)f可排除三个选项，得出正确选项．【详解】由函数解析式得()0fx，排除C，又(0)0f=，排除A、B，只有D满足．故选：D．

【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，可根据解析式研究函数的性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值趋势排除错误选项，得出正确答案．11.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的渐近线方程为3yx=，直

线20xy++=经过双曲线C的一个焦点，则a=（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程得,ab的关系，然后求出焦点坐标（用a表示），代入已知直线方程可求得a．【详解】由题意3ba=，3ba=，

∴222caba=+=，焦点坐标为()2,0a，又一个焦点过直线20xy++=，∴220a−+=，1a=．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，焦点坐标，属于基础题．12.设函数()2010xxfxx−=

，，，则满足()()12fxfx+的x的取值范围是（）A.(1−−，B.()0+，C.()10−，D.()0−，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12fxfx+成立，一定会有2021xxx+，从而求得结果.

详解：将函数()fx的图像画出来，观察图像可知会有2021xxx+，解得0x，所以满足()()12fxfx+的x的取值范围是()0−，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断

自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.第Ⅱ

卷（非选择题，共90分）二、填空题（每空5分，共20分）13.已知平面向量a与b的夹角为3，()3,1a=−，1b=，则ab=______.【答案】1【解析】【分析】求出ar，由数量积定义求出数量积．【详解】由题意2a=，cos,21cos13ababab===．故

答案为：1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．还考查了模的坐标运算．本题属于基础题．14.已知5tan22=，则sin()2+=_______.【答案】19−【解析】【分析】先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解.【详解】525tan,|

cos|,|sin|,222323===22451sin()coscossin222999+==−=−=−故答案为：19−.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以

看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号

看象限”的应用．15.曲线2cosyx=在6x=处的切线的倾斜角为______.【答案】34【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线的倾斜角.【详解】由题意2sinyx

=−，所以当6x=时，2sin16y=−=−，即曲线在6x=处的切线的斜率为-1，设该切线倾斜角为),0,，则tan1=−，所以34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16

.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则100,15310

0,3xyzxyz++=++=当81z=时，x=___________，y=___________．【答案】(1).8(2).11【解析】【分析】将z代入解方程组可得x、y值.【详解】19881,,.537311xyxzx

yy+===+==【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．三、解答题（共70分）17.ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知4a=，coscos4cos

0bCcBaA++=.（1）求cosA的值；（2）若5abc+=+，求ABC的面积S.【答案】（1）1cos4A=−；（2）3154.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式把题设中边角的关系转化为sin4sincos0AAA+=，从而可求cosA的值.（2）结合余弦定理可得关于c的方

程，求出c后可得b，利用面积公式可得S.【详解】（1）由coscos4cos0bCcBaA++=，得sincossincos4sincos0BCCBAA++=，sin()4sincos0BCAA++=，sin4sincos0AAA+=，

因为0A，所以1cos4A=−.（2）45bc+=+，1bc=+，根据余弦定理得2221cos24bcaAbc+−==−，代入数据得260cc+−=，解得2c=（3c=−舍去），故3b=，因为()0,A，故215sin1cos4AA=−=，所以1115315sin23224

4SbcA===.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边

，用正弦定理.18.新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在)15,45称为中青年，年龄在)45,75称为

中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数515101055了解4126521（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面22列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄

（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++.()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）1115，25；（2）列联表见解析，有.【解析】【分

析】（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出频率；（2）根据题中所给数据填写22列联表，然后计算2K，对照附表得出结论即可.【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率22113015P==，中老年对新高考了解

的概率82205P==；（2）22列联表如图所示：了解新高考不了解新高考总计中青年22830中老年81220总计3020502250(221288)5.563.84130202030K−=，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有

关联.【点睛】本题考查概率的计算，考查独立性检验，考查逻辑思维能力和计算能力，考查数据的处理能力，属于常考题.19.如图，四棱锥SABCD−中，//ABCD，ADAB⊥，SADC⊥，SBAC⊥，222CDABAD===，3SD=，2SEEB=.（1）求证：//SD平面AEC.（2）求点A到

平面BEC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）37035.【解析】【分析】（1）根据三角形相似证得//OESD，然后利用线面平行的判定定理求得结论；（2）先利用线面垂直的判定定理证得SD是三棱锥SABC−的高.然后利用等体积法求得点面距离.【详解】解：（1）证明：连接BD交AC

于点O，连接EO，∵//ABCD，∴ABOCDO，∴12BOABDOCD==.又12EBSE=，则12BOBEDOSE==，∴//OESD，又OE平面AEC，且SD平面AEC，∴//SD平面AEC.（2）点A到平面BEC的距离即点A到平面SBC的距离，设为h.

由ADAB⊥得ADCD⊥，又SDDC⊥，SAADA=，得CD⊥平面SAD，则CDSD⊥，由ADAB⊥得3BD=，由（1），得1333BOBD==，由ADCD⊥得6AC=，由（1），得1633AOAC==，222BOAOAB+=，则ACBD⊥，又SBAC⊥，SBBDB=，得AC⊥平面

SBD，则ACSD⊥.∵ACSD⊥，CDSD⊥，CDACC=I，∴SD⊥底面ABCD，SD是三棱锥SABC−的高.∵2223SBSDBD=+=，3BC=，2213SCSDCD=+=，2221cos26SBBCSCSBCSBBC+−==，则35sin6SBC=，∴135sin22SBCSS

BBCSBC==△，∵1222ABCSABAD==△，∴1232SABCABCVSSD−==△，13ASBCSBCVSh−=△，由SABCASBCVV−−=，得2135232h=，解得37035h=.【点睛】本题考查线面平行及点到平面的距离，意在考查学生的数

学抽象及数学运算的学科素养，属中档题.20.已知圆M：()()2220xayra++=，过点()0,3，且被直线30xy++=截得的弦长为22.（1）求圆M的方程；（2）设斜率为1的直线1l与圆M交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值及此时直线1l的方程.【答案】（1）()221

4xy++=；（2）最大值为2，直线1l的方程为30xy−+=或10xy−−=.【解析】【分析】（1）由题意可得()222223322arar+=−++=，解之即得圆M的方程；（2）设1l：yxb=+，211(1)4222MPQbbPQdS−−+==−△，

再利用基本不等式求MPQ面积的最大值及此时直线1l的方程.【详解】（1）圆心坐标为(),0a−，圆心到直线30xy++=的距离32ad−+=，由题意可得()222223322arar+=−++=，解得12ar==

或72ar=−=（舍去），故圆M的方程为()2214xy++=.（2）设1l：yxb=+，圆心到直线1l的距离为12bd−+=，弦长222(1)2242rPQbd−+=−=−，211(1)4222MPQbbPQdS−−+==−

△22211(1)42222bb−−+−+=，当且仅当21(1)422bb−−+−=，即3b=或1b=−时取等号.故MPQ面积的最大值为2，此时直线1l的方程为30xy−+=或10xy−−=.【点睛】本题主要考

查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数()1ln1fxxx=+−.（1）求函数()fx的最小值；（2）当()0,x时，证明：()1lnsinxexx−.【答案】（1）0；（2）证明见解析

.【解析】【分析】（1）由题意结合导数可得函数()fx的单调性，即可求得函数的最小值；（2）由题意转化条件得证明sin0xxex−，令()sinxhxxex=−，通过导数可得()0hx，即可得证.【详解】（1）∵函数()1ln1fxxx=+−的定义域为()0,+，且(

)22111xfxxxx−=−=，∴当01x时，()0fx；当1x时，()0fx，∴函数()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，∴当1x=时，()fx取得最小值0；（2）证明：∵当()0,x时，要证()1lnsin

xexx−成立，∴只要证1lnsinxexx−成立，由（1）可知1ln10xx+−即11lnxx−，∴只要证1sinxexx，即只要证sin0xxex−，令()sinxhxxex=−，则()()1cosxhxxex

=+−，∴当0πx时，()()01cos110xhxxexe=+−−=，∴函数()hx在[)0,p上单调递增，∴当0πx时，()()00hxh=，即sin0xxex−，∴当()0,x时，不等式()1lnsinxexx−成立.【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理转化条件、构造函数是解题关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线122cos:2sinxCy=+

=（为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin13C−=.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在曲线1C上，点Q在曲线2C上，求||PQ的最小值及此时点P的直角坐标.【答案】（1）2

2(2)4xy−+=；320xy−+=（2）最小值为31−，此时P的直角坐标为(23,1)−【解析】【分析】（1）根据22sincos1+=消去参数，曲线1C参数方程化为普通方程；曲线2C极坐标方程展开，cos,sinxy

==代入，即可求出直角坐标方程；（2）设点(22cos,2sin)P+，||PQ的最小值为点P到直线2C距离的最小值，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式，转化为求余弦型函数的最小值，即可求出结论.【详解】（1）由122cos:2sinxCy=+

=（为参数），得1C的普通方程为22(2)4xy−+=；由sin13−=，得13sincos122−=，即3cossin20−+=，又由cos,sinxy==，得曲线2:320Cxy−+=；（2）由题意，可设点P的直角坐标为(22c

os,2sin)+，因为2C是直线，所以||PQ的最小值，即为P到2C的距离()d的最小值，23cos2sin232()2cos3126d−++==+++.当且仅当52,6kk=+Z时，()d取得最小值，最小值为31−，此时P的直角坐标为(23,

1)−.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，利用圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算求解能力，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知()|21||1|fxxx=++−.（1）求不等式()9fx„的解集；（2）设()

9|1||24|gxxx=−+−−，在同一坐标系内画出函数()fx和()gx的图象，并根据图象写出不等式()()fxgx„的解集.【答案】（1）{|33}xx−剟（2）作图见解析；不等式的解集为{|12}xx−剟【解析】【分析】（1）分

类讨论去绝对值，将()fx化为分段函数，分类讨论求解不等式；（2）分类讨论化简()gx，分别做出(),()fxgx图象，根据函数图象，即可求出()()fxgx„的解集.【详解】（1）3,11()2112,1

213,2xxfxxxxxxx=++−=+−−−„，当1x…时，39x，得13x剟；当112x−时，29x+，解得7x„，故112x−；当12x−„时，39x−，解得3

x−，故132x−−剟.综上，原不等式的解集为{|33}xx−剟.（2）36,1()91244,12312,2xxgxxxxxxx+−=−+−−=+−−+„，在同一坐标系内画出函数()fx和()g

x的图象，由图可知，不等式()()fxgx„的解集为{|12}xx−剟.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，分类讨论等价转化为一元一次不等式求解，考查数形结合思想，属于中档题.