【文档说明】内蒙古赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题 含解析 .docx，共(17)页，1.056 MB，由小赞的店铺上传

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赤峰四中桥北新校2023-2024学年第一学期期中考试高二数学注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，考生作答时，请将第一卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；将第Ⅱ卷非选

择题的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留.2.本试卷共150分，考试时间120分钟.命题人：马秀芝审题人：张晓丽第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线320xy−−=的倾斜角为（）A

.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由320xy−−=可得：32333yx=−，所以斜率为33k=，设倾斜角为，则3tan3=，

因0180，所以30=，故选：A2如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，AC与BD交于点M，设ABa=，ADb=，1AAc=，则1=BM（）为.A.1122−−−abcB.1122+−abcC.1122−−abcD.1122−+−abc【答案】D【解析】【分析】利

用空间向量的加法、减法法则化简可得结果.【详解】()111111112222BMBBBMBBBDAAADABabc=+=+=−+−=−+−.故选：D.3.若直线340xyb+−=与圆()()22111xy−+−=相切，则b的值是（）A.－2或12B.2或－12C.－

2或－12D.2或12【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得到b的值.【详解】由()()22111xy−+−=得圆的圆心坐标为(1,1),半径为1，因为直线340xyb+−=与圆相切，所以22|34|1,234bb+−

==+或12b=.故选：D.4.若方程22420xyxya+−++=表示圆，则a的取值范围是（）A.(,5)−B.(,0]−C.)0,+D.)5,+【答案】A【解析】【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答.【详解】方程22420xyxya+−++=化为：22

(2)(1)5xya−++=−，因方程22420xyxya+−++=表示圆，于是得50a−，解得5a，所以a的取值范围是：(,5)−.故选：A5.已知直线()1:1210lmxy++−=，()2:8110lxmym++−+=，则“5m=

−”是“12//ll”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用12//ll可求得m的值，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为12//ll，则()218

2m+=，解得5m=−或3m=.当3m=时，直线1l的方程可化为4210xy+−=，直线2l的方程可化为4210xy+−=，此时两直线重合，不合乎题意.当5m=−时，直线1l的方程可化为4210xy−+=，直线2l的方程可化为4230xy−+=，此时，12//ll，合乎

题意.因此，“5m=−”是“12//ll”的充要条件.故选：C.6.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,,MNP分别为棱AD，1CC，11AD的中点，则1BP与MN所成角的余弦值为（）A.3010B.15−C.7010D.15【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设

出正方体边长为2，从而利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】以A为坐标原点，1,,ABADAA分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则()()()()12,0,2,0,1,2,0,1,0,2,2,1BPMN，故()()1112,1,02,1,1330cos,

104141130BPMNBPMNBPMN−===−=−+++，则1BP与MN所成角的余弦值为3010.故选：A7.已知直线1:220lxy++=，2:20lxy+=，则1l与2l间的距离为（）A.255B.55C.

2D.52【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，1l与2l间的距离为222552120=+−.故选：A.8.圆22:4230Cxyxy++−−=与圆22:(3)(4)18Dxy−++=的位置关系为（）A.外离B.内切C.相交D.外切

【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.【详解】因为圆C的圆心为(2,1)C−，圆D的圆心为(3,4)D−，所以两圆的圆心距为22||(23)(14)52C

D=−−++=．因为圆C的半径为22，圆D的半径为32，所以圆心距等于两圆的半径和，故两圆外切．故选：D.二、多选题（共4题，每题5分，全对5分，有错误选项0分，选对1个或部分选项2分）9.经过点()6,3P−，且在两坐标轴上的截距相

等的直线的方程可能为（）A.20xy+=B.90xy−−=C.30xy+−=D.2150xy−−=【答案】AC【解析】【分析】根据截距的定义，分类讨论截距均为0和截距均不为0的情况，计算可得答案.【详解】若直线在两坐标轴

上的截距均为0，则直线的方程为20xy+=，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为1xyaa+=，将()6,3P−代入方程得3a=，则直线的方程为30xy+−=，C正确.故选：AC10.已知圆M：22430xyx+−+=，则下列说法正确的是（）A.点()4,0在圆M内

B.圆M关于320xy+−=对称C.半径为3D.直线30xy−=与圆M相切【答案】BD【解析】【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.【详解】22430xyx+−+=整理得：

()2221xy−+=，∵4x=，0y=时224330xyx+−+=，∴点()4,0在圆M外，A错；∵圆心M()2,0在直线320xy+−=上，∴圆M关于320xy+−=对称，B对；∵圆M半径为1，故C错；∵圆心()2,0M到直线30xy−=的距离为2113d==+，与半

径相等，∴直线30xy−=与圆M相切，D对.故选：BD.11.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)距离等于2的点的坐标是（）A.(－4，5)B.(－3，4)C.(－1，2)D.(0，1)【答案】BC【解析】【分析

】根据两点间的距离公式求得正确选项.【详解】设所求点的坐标为(),1aa−，则()()222132aa++−−=，解得3a=−或1a=−，所以所求点的坐标为()3,4−或()1,2-.故选：BC12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由

两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为22的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论

正确的有（）A.该半正多面体的表面积为48323+B.AG⊥平面BCDGC.若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为3510的D.点B到平面ACD的距离为233【答案】BC【解析】【分析】根据题意作图，结

合正方体的几何性质，可得AB的正误，建立空间直角坐标值，利用线线角与点面距的公式，可得CD的正误.【详解】由题意，可作图如下：对于A，由图可知，该阿基米德体的定点分为为正方体各棱的中点，则其是由六个正方形和八个正三角形组成的，所以该立

体图形的表面积()16222282222sin60481632S=+=+o，故A错误；对于B，由图可知，根据正方体的几何性质，易知AG⊥平面BCDG，故B正确；建立空间直角坐标系，如下图：对于C，由阿基米德

体的棱长为22，可知图中正方体的棱长为4，则()2,0,0A，()4,0,2F，()4,2,4D，()1,3,4E，取()2,0,2AF=，()3,1,0DE=−uuur，设异面直线,AFDE的夹角为，则()()22222

223012035cos10202310AFDEAFDE−++===++−++uuuruuuruuuruuur，故C正确；对于D，有图可知()0,2,4B，()2,0,0A，()2,4,4C，()4,2,4D，在平面ACD内取()2,2,4AD=uuu

r，()0,4,4AC=uuur，设平面ACD的法向量(),,nxyz=，由00nADnAC==，可得2240440xyzyz++=+=，化简可得xyzy==−，令1y=，则1x=，1z=−，所以平面ACD的一个法向量()1,1

,1n=−，取()2,2,4AB=−uuur设点B到平面ACD的距离224433111ABndn−+−===++uuurrr，故D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（共4个题，每个5分）13.圆22420xyxy+−+=的圆心到直线3430xy++=的距离______

____.【答案】1【解析】【分析】由题意首先确定圆心坐标，然后利用点到直线距离公式可得圆心到直线的距离.【详解】圆的方程即：()()22215xy−++=，则圆心坐标为()2,1-，圆心到直线3430xy++=的距离()2

22341351534d+−+===+.故答案为1．【点睛】本题主要考查由圆的方程确定圆心的方法，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AABAADBAD==

=，且1AB=，2AD=，13AA=，则1AC等于______.【答案】5【解析】【分析】将已知条件转化为向量则有11ACABBCCC→→→→=++,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段

1AC的长度．【详解】平行六面体1111ABCDABCD−中,1160AABAADBAD===,即向量1,,ABADAA→→→两两的夹角均为1601,2,3ABADAA→→→===，,则11ACAB

BCCC→→→→=++22221111222149212cos60213cos60223cos6025ACABBCCCABBCBCCCCCAB→→→→→→→→→→=+++++=+++++=因此15AC→=.故答案为:5.【点睛】本

题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.15.已知空间向量(1,0,1)a=，(2,1,2)b=−，则向量b在向量a上的投影向量是______【答案】(2,0,2)【解析】【分析】由向量b在向量a上的投影向量为cosba,aba，计算即可求出答案．

【详解】向量(1,0,1)a=，(2,1,2)b=−，则||2a=，||3b=，4ab=，所以向量b在向量a上的投影向量为cosba,413(1322aababbaaab==,0,1)(2=,0,2)，故答案为：(2,0,2

)．16.在平面直角坐标下中，有四个定点()()()()3,0,1,1,0,3,1,3ABCD−−−及一个动点P，则PAPBPCPD+++的最小值为______________．【答案】3225+【解析】【分析】这两道题给出的都是平面上

四个定点，求一个动点到这四个定点的距离之和的最小值及成立的条件即此动点的位置，这两题中给出的四个定点虽然坐标不同但是将这四点连接后都构成了平面内的一个凸四边形，∴此题抛去平面坐标系后的命题立意即为在平面内找一点使得其到一个凸四边形的四个顶点

的距离最小及最小值是多少．PAPCAC+（当且仅当P点位于线段AC上时取等号），PBPDBD+（当且仅当PAC点位于线段BD上时取等号），PAPBPCPDACBD++++（当且仅当P点位于线段BD与AC的交点时取等号），即当到四点距离最小时，P点的坐标即为直线AC与直线BD的交点，3225

PAPBPCPDACBD++++=+，即PAPBPCPD+++的最小值为3225+．四、解答题（17题10分，18-22题每个12分）17.求出满足下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)A−且与直线340xy+−=

垂直；（2）经过点()27B，且与直线240xy−−=平行.【答案】（1）3110xy−+=；（2）230xy−+=.【解析】【分析】（1）由垂直关系求得斜率，从而写出方程；（2）由平行关系求得斜率，从而写出方程；【详解】解：（1）因为所求

的直线与直线340xy+−=垂直，所以所求的直线的斜率为3.又直线经过点()32A−，，所以该直线方程为23(3)yx−=+，即3110xy−+=.（2）因为所求的直线与直线240xy−−=平行，所以所求的直线的斜率为2.又直线经过点()27B，，所以该直线方程为72(2)y

x−=−，即230xy−+=.18.已知ABC的三个顶点分别为()0,2A−、()4,3B−、()3,1C．求：（1）边AC所在直线1l的方程；（2）边AC上的高所在直线2l的方程；（3）边AC上的中线所在直线3l的方程．【答案】（1）20xy−−=（2）10xy+

−=（3）10xy+−=【解析】【分析】（1）先用斜率公式求出AC的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；（2）利用两直线垂直得到121llkk=−，即可得到高所在直线2l斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（3）求出AC边上的中点D坐标，利用,BD两

点的坐标，即可求出直线方程；【小问1详解】因为()0,2A−、()3,1C，故112130lACkk+===−，边AC所在直线的方程为：2yx+=，即1l为：20xy−−=，【小问2详解】由（1）知11lk=，故121llkk=−所以AC边上的高

所在直线2l的斜率为21lk=−，又()4,3B−，故2l为：()34yx+=−−，即10xy+−=；【小问3详解】设AC边上的中点为D，则0321,22D+−+，即31,22D−，故AC边上的中线BD所在直线的方程3l的斜率为31321

342lk−+==−−，故3l为：()34yx+=−−，即10xy+−=.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，14AA=．点E在1DD上，且114DEDD=．的（1）求证：

BE⊥平面1ABC；（2）求二面角1BACB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出BE，1AB，AC的坐标，证明1BEAB⊥，BEAC⊥，即可得证；（2）由（1）知，1ABC

的法向量为BE，直接写出平面ABC法向量，按照公式求解即可.【小问1详解】在长方体1111ABCDABCD−中，以A为坐标原点，1,,ABADAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系因为2ABAD==，14AA=，114D

EDD=所以()0,0,0A，()2,0,0B，()0,2,1E，()2,2,0C，()10,0,4A，()12,0,4B则()2,2,1BE=−，()12,0,4AB=，()2,2,0AC=，所以有10BEAB=

，0BEAC=，则1BEAB⊥，BEAC⊥，又1ABACA=所以BE⊥平面1ABC【小问2详解】由（1）知平面1ABC的法向量为()2,2,1BE=−，而平面ABC法向量为()0,0,1n=所以11cos,34411BEnBEnBEn===++，由图知二面角1

BACB−−为锐二面角，所以二面角1BACB−−的余弦值为13．20.已知圆C经过两点()1,3P−−，()3,1Q−，且圆心在直线240xy+−=上，直线l的方程为()12530kxyk−++−=.（1

）求圆C的方程；（2）证明：直线l与圆C恒相交．【答案】（1）2242200xyxy+−−−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设圆C的方程为220xyDxEyF++++=，利用待定系数法可得答案；（2）由直线方程特点可得直线l过定点()3,1M−，且M

在圆内可判断直线和圆的位置关系.【小问1详解】设圆C的方程为220xyDxEyF++++=，由条件得1930913024022DEFDEFDE+−−+=+−++=−+−−=，解得4220DEF=−=−=−，所以圆C的方程为2242200xyx

y+−−−=；【小问2详解】由()12530kxyk−++−=，得()()3250kxxy−−−−=，令30?250xxy−=−−=得3?1xy==−，即直线l过定点()3,1M−，由()()22

314321200+−−−−−，知点()3,1M−在圆内，所以直线l与圆C恒相交．21.在直三棱柱111ABCABC-中，12ABACAA===，90BAC=，点E，F分别为BC，1CC的中点.（1）证明：1ABEF⊥；（2）求直线1AB与平面AEF所成的角；（3）求点1B到平面AEF

的距离.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）6【解析】【分析】以A为原点，以AB，AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）先求出相关直线的方向向量，再计算数量积来证明垂直；（2）求出平面AEF一个法向量，再利用向量夹角公式111cos,ABmABmAB

m=即可求出夹角；（3）利用点到面的距离公式1||||ABmdm=即可求解.【小问1详解】以A为原点，以AB，AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.的(0,0,0)A，1(0,0,2)A，(2,0,0)B，1(2,0,2)B

，(0,2,0)C，1(0,2,2)C，(1,1,0)E，(0,2,1)F∵1(2,0,2)AB=，(1,1,1)EF=−∴12(1)01210ABEF=−++=∴1ABEF⊥∴1ABEF⊥；【小问2详解】设平面AEF的

法向量为(,,)mxyz=(1,1,0)AE=，(0,2,1)AF=由002020xyxyAEmAEmyzzyAFmAFm+==−⊥=+==−⊥=令1y=−，则1x=，2z=∴平面AEF的一个法向量为()1,1,

2m=−由1(2,0,2)AB=设直线1AB与平面AEF所成角为()()112222221632210122sincos,112222620ABmABmABm+−+===+−+++==∴直线1AB与平面AEF所成角为π3；【小问3详解】点1B到平面AEF的距离1||66||6

ABmdm===.22.已知圆22:(1)9Cxy−+=内有一点()2,2P，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦AB的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线3410xy−−=平行，求弦AB的长.【答案

】（1）260xy+−=（2）42【解析】【分析】（1）由题意，1lPCkk=−，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.【小问1详解】解：由题意，圆心()1,0C，P为弦AB的中点时，

由圆的性质有lPC⊥，又20221PCk−==−，所以112lPCkk=−=−，所以直线l的方程为()1222yx−=−−，即260xy+−=；【小问2详解】解：因为直线l与直线3410xy−−=平行，所以34lk=，所以直线l的

方程为()3224yx−=−，即3420xy+=−，因为圆心()1,0C到直线l的距离30215d−+==，又半径3r=，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com