【文档说明】四川省内江市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.393 MB，由小赞的店铺上传

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内江一中高2026届高二上学期入学考试试题数学1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的

黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.3.考试结束后，监考人将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.1.样本数据24，13，14，18，12

，14，20，16的75%分位数为（）A.17B.18C.19D.20【答案】C【解析】【分析】由百分位数定义即可得解.【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则875%6=，所以75%分位数为1820192+=.故选：C.2.

设复数1i(iz=−是虚数单位),则1izz+−=A.1−B.12i−C.12i+D.12i−+【答案】D【解析】【详解】∵1iz=−．∴()1i1i1i1izz++−=−−−=()()()()21i1i1i1i+−−−+=i1i−+=12i−+．选D．3.某射击运动

员射击5次的成绩如下表：第1次第2次第3次第4次第5次的9环9环10环8环9环下列结论正确的是（）A.该射击运动员5次射击的平均环数为9.2B.该射击运动员5次射击的平均环数为9.5C.该射击运动员5次射击的环数的方差为1D.该射击运动员5次射击的环数的方差为2

5【答案】D【解析】【分析】根据平均值和方差的公式即可求解.【详解】该射击运动员5次射击平均环数为99108995++++=，5次射击的环数的方差()()()()()222222129999910989955s=−+−+−+−+−=.结合选项可知：

ABC错误，D正确.故选：D.4.已知向量a，b满足||23a=，||3b=，且a，b的夹角为π3，则向量b在向量a方向上的投影向量的模为（）A.3B.32C.3D.332【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的知识求得正确答案

.【详解】向量b在向量a方向上的投影向量的模为π233cos33223aba==.故选：B5.柜子里有3双不同的鞋，分别用1a，2a，1b，2b，1c，2c表示6只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左

脚一只右脚的概率为（）A.15B.25C.35D.45的【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设1a，1b，1c分别表示三双鞋的左只，2a，2b，2c分别表示三双鞋的右只，则从中随机取出2只的

所有可能为()12,aa，()11,ab，()12,ab，()11,ac，()12,ac，()21,ab，()22,ab，()21,ac，()22,ac，()12,bb，()11,bc，()12,bc，()21,bc，()22,bc，

()12,cc，共15种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有()12,aa，()12,ab，()12,ac，()21,ab，()21,ac，()12,bb，()12,bc，()21,bc，()12,cc，共9种，所以概率为93155=,故选：C.6.如图，ABCV中

，D为BC边的中点，E为AD的中点，则BE=（）A.3144ABAC−+B.1344ABAC−C.3144ABAC+D.1344ABAC+【答案】A【解析】【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.【详解】在ABCV中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则()

1113122244BEAEABADABABACABABAC=−=−=+−=−+.故选：A.7.当[0,2]xÎ时，曲线sinyx=与2sin36yx=−的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案

】C【解析】【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sinyx=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36yx=−的最小正周期为2π3T=，所以在0,2πx上函数π2sin36yx

=−有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线

的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为30，60，45，且50mABBC==，则该古建筑的高度为（）A.1510mB.205mC.1015mD.50m【答案】C【解析】【分析】设mOMx=，利用

三角函数分别表示,,OAOBOC，然后分别在,OABOBC中利用余弦定理表示cos,cosOBAOBC，因为πOBAOBC+=，所以可得coscos0OBAOBC+=,进而求解即可.【详解】设mOMx=，在RtOMA△中，tantan30,3OMOAMOAxOA

===，在RtOMB中，3tantan60,3OMOBMOBxOB===，在RtOMC中，tantan45,OMOCMOAxOA===，在OAB△中，由余弦定理得：22222215033cos232503xxOBABOAOBAOBABx

+−+−==，在OBC△中，由余弦定理得：2222221503cos232503xxOBBCOCOBCOBBCx+−+−==,因为πOBAOBC+=,所以coscos0OBAOBC+=，即222222115035033033

25025033xxxxxx+−+−+=，解得1015x=，所以该古建筑的高度为1015m.故选：C.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对

但不全的得部分分，有选错的得0分9.已知平面向量(1,2)a=，(2,)bx=−r，a与b的夹角为，则（）A.若//ab，则1x=−B.若2x=，则17ab+=rrC.若ab⊥，则1x=D.若10cos10=，则2x=【答案】BCD【解析】【分析】利用向量

平行的坐标公式判断A选项；利用向量的坐标求模长，从而判断B选项；利用向量垂直的坐标公式判断C选项；利用向量数量积的坐标公式判断D选项.【详解】对于A，若//ab，则()220,4xx−−==−，故A错误；对于B，若2x=，则()

1,4ab+=−，故21417ab+=+=，故B正确；对于C，若ab⊥，则220abx=−+=，则1x=，故C正确；对于D，若10cos10=，则22210cos1054abxabx−+===+，解得2x=，故D正确.故选：BCD10.函数()()sin0,0,,R2fxA

xkAk=++的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.11,2Ak==B.π6=−C.()fx在区间5π11π,1212上单调递减D.5π12fx−为偶函数【答案】AC【解析】【分析】由图列方程组3212AkAk+

=−+=−可判断A项，代入点5π3(,)122可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令0x=计算5πsin(2)16x+可判断D项.【详解】由图可知，3121122AAkkAk=+==−+=−，5πππ()π212122TT=−−==，所以

2π2π2πT===，所以1()sin(2)2fxx=++，将点5π3(,)122代入1()sin(2)2fxx=++可得：5ππ22π122k+=+，Zk，又因为π||2，所以π3=−，所以π1()sin(2)32fxx=−+，故A项正确，B项错误；对于C项，因为πT=，所以π

22T=，由图可知，()fx在5π5ππ[,]12122+上单调递减，即：()fx在5π11π[,]1212上单调递减，故C项正确；对于D项，因为π1()sin(2)32fxx=−+，所以5π5ππ17π

15π1()sin[2()]sin(2)sin(2)1212326262fxxxx−=−−+=−+=++，当0x=时，5π5πsin(2)sin166x+=，所以5π()12fx−不是偶函数，故D项错误.故选：AC.11.我们知道正.余弦定理推导的向量法

，是在ABCV中的向量关系ABBCAC+=的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线l与ABCV的边AB，AC分别相交于点D，E，设ABc=，BCa=，=CAb，ADE=，则下列结论正确的有（）

A.2222cos2cos2cosabcabCbcAcaB++=++B.coscos+=cAaCbC.sin()sin()sinaBbAc−++=D.cos()cos()cosaBbAc−++=【答案】ABD【解析】【分析】

利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；设DEmDE=，在ABACCB=+两边同乘向量m，根据数量积定义即可判断CD.【详解】对A，由余弦定理知，2222222cos,2cosbcabcAacbacB+−=+

−=，2222cosbacabC+−=，上述三个等式相加得2222cos2cos2cosabcabCbcAcaB++=++，A正确；对B，因为()sincossincossinsinCAACACB+=+=，所以coscos+=cAaCb，B正确；对CD，设DEmDE=，则1m=，则()(),π

,,π,,πmACAmCBBmAB=−+=−−=−，因为ABACCB=+，所以mABmACmCB=+，即()()()()()cosπcosπcosπmABmACAmCBB−=−++−−，整

理得()()coscoscoscbAaB=++−，C错误，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三.填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知4cos5=，π,02−，则π

cos4+的值为_________.【答案】7210【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可.【详解】4cos5=，π,02−，故23sin1c

os5=−−=−，所以πππ72cos=coscossinsin44410+−=.故答案：721013.为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每

只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只.【答案】600【解析】【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解.【详解】假设草场约有n

只兔子，则1001060n=，则600n=.故答案为：600.14.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是23，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面

试的概率为______.【答案】2627【解析】【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为3211327−=，所以李华最终通过面试的概率为12612727−=.为故答案为：2627.四.解答题：共77分，解答题

应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2coscosbcAaBC−=，π2C，（1）求角B；（2）以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S，若12332SSS−+=，求ABCV的面积.【答案】（1）

3B=（2）32【解析】【分析】（1）由边化角，再结合()sinsinACB+=，即可求解;（2）先表示出123,,,SSS，再由22212333334442SSSabc−+=−+=求得2222acb+−=，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即

可；【小问1详解】由cos2coscosbcAaBC−=，可得：sinsincos2sincoscosBCAABC−=()sinsincos2sincoscosACCAABC+−=sincos2sincoscosACA

BC=,又π2C，sin0A所以1cos2B=，即3B=【小问2详解】由题意得221133224Saa==，2234Sb=，2334Sc=，则22212333334442SSSabc−+=−+=，即2222acb+−=，由余弦定

理得2221cos22acbBac+−==，所以2ac=，由1cos2B=，得3sin2B=，则13sin22ABCSacB==；16.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地120家中小微

企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：（1）确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在20

0,300内应抽取的中小微企业数为m.①求m的值；②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在)200,250内的概率.【答案】（1）0.004a=，中位数158.（2）①5，②25.【解析】【分

析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1即可计算a，设中位数为t，则t在[150,200)内，由(150)0.0060.50.45t−=−即可计算；（2）①计算120家专项贷款金额在[200,250)内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算m；②根据频

率比，计算专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300)内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可.【小问1详解】根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得(0.0020.0030.0060.001)501aa+++++=，解得0.004a=.设中位数为t，则专项贷款金额在[0,150)

内的评率为0.45，在[0,200)内的评率为0.75，所以t在[150,200)内，则(150)0.0060.50.45t−=−，解得158t，所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.【小问2详解】①由题意，抽样比为2011206=，专项贷

款金额在[200,250)内的中小微企业共有12050(0.0040.001)30+=家，所以应该抽取13056=家，即5m=.②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300)内的频率之比为4:1，故在抽取的5家中小微企业中

，专项贷款金额在[200,250)内的有4545=家，分别记为,,,ABCD,专项贷款金额在[250,300)内的有1515=家，记为E,从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为,,,,,,,,,ABCABDABEA

CDACEADEBCDBCEBDECDE共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况有,,,ABCABDACDBCD共4种，所以所求概率为42105P==.17.已知函数22()sin23sincoscosfxx

xxxm=+−+的最大值为3，（1）若()fx的定义域为[0,]，求()fx的单调递增区间；（2）若011()25xf=，0π0,2x，求0πcos26x+的值.【答案】（1）π0,3和5π,π6（2）2425−【解析】【分析

】（1）利用二倍角公式将()fx化简并利用最值可得()π2sin216fxx=−+，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；（2）代入解析式可求得0π3sin65x−=，再根据同角三

角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求0πsin26x−，最后利用诱导公式可求0πcos26x+.【小问1详解】将()fx化简可得()π3sin2cos22sin26fxxxmx

m=−+=−+，因为()max23fxm=+=，所以1m=．此时()π2sin216fxx=−+，当0,πx时，ππ11π2,666x−−令πππ2662x−−．得π03x；令3ππ11π2266x−，得5ππ6x，所以()fx的单调

递增区间为π0,3和5π,π6．【小问2详解】由（1）知()1π2sin26fxx=−+．由01125xf=，得0π112sin165x−+=，所以0π3sin65x−

=．又因为0π0,2x．所以0πππ,663x−−，所以200ππ4cos1sin665xx−=−−=．所以000πππ24sin22sincos66625xxx−=−−=，所以000π

πππ24cos2cos2sin2666252xxx+=−+=−−=−.18.如图，在斜坐标系xOy中，1e，2e分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且1e，2e的夹角为

60o，定义向量12OPxeye=+在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(,)xy，记为12(,)OPxeyexy=+=.在斜坐标系xOy中，完成如下问题：（1）若(1,2)u=，(3,1)v=−，求2uv+的坐标；

（2）若(2,4)a=，(5,)bm=，且ab⊥，求实数m的值；（3）若(4,5)m=−，(2,3)n=−，求向量,mn的夹角的余弦值.【答案】（1）()5,4−（2）4m=−（3）437−【解析】【分析】（1）用1e，2e表示,uv，借助1

e，2e的线性运算求解可得；（2）用1e，2e表示,ab，将ab转化为()()1212245eeeme++的运算，利用数量积的运算律求解可得；（3）用1e，2e表示,mn，利用121==ee，1212ee=求mn及,mn，再由两向量夹角公式可得.【小问1详解】若(1,2)u=，(3,1

)v=−，则12122,3ueevee=+=−+，则()121212222354uveeeeee+=++−+=−+故2uv+的坐标为()5,4−.【小问2详解】若(2,4)a=，(5,)bm=，且ab⊥，则1224aee=+，125b

eme=+，由已知得121==ee，12121cos602eeee==所以()()()2221212112150204422ameeeebeemeem+==++++101042050mmm=+++=+=，解得4m=−.【小问3详解】若(4

,5)m=−，(2,3)n=−，则()2222222112164521514041202memeeeee===−−−+==，()121122222224121367239neeeenee−++===−=−=，所以21,7mn==，又()()12122212218222

31112452315eeeemneeee=+=−+=−+=−−−−，向量m，n的夹角的余弦值为12437217mnmn−==−.19.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里

，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若ABCV的内角A

，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSac+−=−，（1）若2a=，7b=，3c=，求ABCV面积；（2）用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①1sin2Sac

B=；②()()()Sppapbpc=−−−，其中1()2pabc=++；（3）若2b=，且3cos23coscBCc+=，求ABCV面积的最大值.【答案】（1）52；（2）推导见详解；（3）3.【解析】.【分

析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可；（2）选①：利用余弦定理和同角三角函数的平方关系代入化简可得；选②：利用平方差公式因式分解，再结合完全平方公式可证；（3）利用正弦定理边化角整理可得3ca=，根据两边和大于第三边求出2

a的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解.【小问1详解】因为2a=，7b=，3c=，所以212375[23()]422S+−=−=【小问2详解】选①：222222222112cos[()][()]4242acbacBSacac+−=−=−2111cos

sin22acBacB=−=.选②：22222222222211[()]42422acbacbacbSacacac+−+−+−=−=−+()()22221422bacacb−−+−=2222bacbacacbacb−++−+−++=2222bacbac

acbacbacb++++++++=−−−，记1()2pabc=++，则()()()Sppapbpc=−−−.【小问3详解】因为2b=，所以3cos3coscBbCc+=，由正弦定理边化角得3sincos3sincossinC

BBCC+=，所以()3sin3sinsinBCAC+==，即3ca=，由{√3𝑎+𝑎>2√3𝑎+2>𝑎𝑎+2>√3𝑎解得3131a−+，所以2423423a−+，.因为22222421341384422aaS

aaaa+−=−=−+−()2214122a=−−+，所以当24a=时，S取得最大值max3S=.