【文档说明】广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学答案.pdf，共(6)页，791.250 KB，由管理员店铺上传

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第1页共5页2023—2024学年高三质量检测（一）数学参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADDACBB二、选择题本题共4小题，

每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ABACACDACD三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3√5

514．16015．5316．[43,2]四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）设该等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}的

公比为𝑞，由已知得{𝑎1+𝑑=𝑎1𝑞𝑎1+3𝑑=𝑎1𝑞2，.............................................................................................................

..2分因为数列{𝑎𝑛}为正项数列，{𝑏𝑛}为正项递增数列，所以𝑞=2，𝑑=1，...................................................................................................

........................4分所以𝑎𝑛=1+(𝑛−1)×1=𝑛，𝑏𝑛=1×2𝑛−1=2𝑛−1．..............................................................6分（2）由已知得𝑐𝑛={𝑛

,𝑛为奇数2𝑛−1,𝑛为偶数，............................................................................................7分所以数列

{𝑐𝑛}的前2𝑛项和为𝑇2𝑛=(𝑎1+𝑎3+⋯+𝑎2𝑛−1)+(𝑏2+𝑏4+⋯+𝑏2𝑛)=(1+3+⋯+2𝑛−1)+(21+23+⋯+22𝑛−1)..................................................

.........................8分=(1+2𝑛−1)𝑛2+21×(1−4𝑛)1−4=3𝑛2+22𝑛+1−23．..............................................

....................................................................................10分18．（12分）证：（1）∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴𝐴

𝐵⊥𝐴𝐷，.........................................................................................................

..............................1分又∵𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，𝐴𝐷∩𝑃𝐷=𝐷,𝐴𝐷,𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，.................................................................

..3分∴𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，.............................................................................................

.................................4分{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第2页共5页∵𝐴𝐵⊂平

面𝐴𝐵𝐶𝐷，...........................................................................................................................5分∴平

面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．..........................................................................................

.......................6分解：（法一）（2）取𝐴𝐷中点为𝑂，连结𝑃𝑂，∵在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，∠𝑃𝐷𝐴=60°，∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷,△𝑃𝐴𝐷为等边三角形．∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面�

�𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，............................................................

...............................................................7分以𝑂为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，∴𝑃(

0,0,√3)，𝐴(1,0,0)，𝐵(1,2,0)，𝐶(−1,2,0)，𝐷(−1,0,0)，∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,−√3)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,−√3)，................

............................................................9分设平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量𝒎=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝒎=0𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝒎=0，即{𝑥+2�

�−√3𝑧=0−𝑥+2𝑦−√3𝑧=0，令𝑦=3，则𝑥=0，𝑧=2√3，∴𝒎=(0,3,2√3)，.........................................................

............................................................10分由（1）可知平面𝑃𝐴𝐷的一个法向量𝒏=(0,1,0)，.....................................

.............................11分设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角为𝜃，则𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝒎⋅𝒏||𝒎||𝒏|=3√21×1=√217，∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√217．..

..............................................................................12分（法二）（2）设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的交

线为𝑙，∵𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，𝐵𝐶⊄平面𝑃𝐴𝐷，∴𝐵𝐶//平面𝑃𝐴𝐷，又∵𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶，∴𝐵𝐶//𝑙，𝐴𝐷//𝑙，∵平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶有一个交点𝑃，∴𝑙为过点𝑃且与𝐵𝐶平行的一条直线，如下图

，..............................................................................7分取𝐴𝐷中点为𝑂，取𝐵𝐶中点为𝑀

，连结𝑃𝑂，𝑃𝑀，𝑂𝑀，∵底面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑂,𝑀分别为𝐴𝐷,𝐵𝐶的中点，∴𝑂𝑀//𝐴𝐵，又∵𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑂𝑀⊥平面𝑃𝐴𝐷，...........

..................................................................................................................8分∵

𝑙⊂平面𝑃𝐴𝐷，PABCD(第18题图1)Oyzx{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第3页共5页∴𝑂𝑀⊥𝑙，∵

在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑂为𝐴𝐷的中点，∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，𝑃𝑂⊥𝑙，又𝑃𝑂∩𝑂𝑀=𝑂，𝑃𝑂,𝑂𝑀⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑙⊥平面𝑃𝑂𝑀，∴𝑙⊥𝑃𝑀，又∵∠𝑂𝑃𝑀为锐角，∴∠𝑂

𝑃𝑀为平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角，..........................................................................

...........10分设底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，在△𝑃𝑂𝑀中，𝑃𝑀=√𝑃𝑂2+𝑂𝑀2=√7，𝑐𝑜𝑠∠𝑃𝑂𝑀=𝑃𝑂𝑃𝑀=√3√7=√217，∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√217．............

....................................................................12分19．（12分）解：（1）由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠�

�𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵，.........................................2分因为𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛[𝜋−(𝐵+

𝐶)]=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)，所以𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)−𝑠𝑖𝑛𝐵，.............................................

...................3分即𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐵，2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=−𝑠𝑖𝑛𝐵，而𝑠𝑖𝑛𝐵≠

0，所以𝑐𝑜𝑠𝐶=−12，............................................................................................................................

...5分又因为𝐶∈(0,𝜋)，所以𝐶=2π3．...................................................................................

.....................................................6分（2）因为𝑐𝑜𝑠𝐵=1314，𝐵∈(0,𝜋)，所以𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵=3√314，.................................

.....................................................................7分𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠2𝜋3+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛2𝜋3=5√31

4，..............................................................8分由正弦定理𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，得55√314=𝑏3√

314=𝑐√32，PABCD(第18题图2)OMl{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第4页共5页解得𝑏=3，𝑐=7，..........................

................................................................................................10分则𝐴𝐷=𝑐−𝐵�

�=2，所以𝑆△𝐴𝐶𝐷=12×𝐴𝐷×𝑏×𝑠𝑖𝑛𝐴=12×2×3×5√314=15√314．.......................................................12分20．（12分）解：（1）记“质检员甲认定一箱产

品合格”为事件𝐴，“该箱产品不含次品”为事件𝐵，则𝑃(𝐴)=0.8×1+0.1×𝐶93𝐶103+0.1×𝐶83𝐶103=1112，......................................................

.........................3分𝑃(𝐴𝐵)=0.8=45，...............................................................

...............................................................4分由条件概率公式得𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=451112=4855，所以在质检员甲认定一箱产

品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为4855．........................6分（2）由题意可得𝑋可以取0，1，2，....................................

............................................................7分则𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴)=1112，...........................................................

......................................................8分𝑃(𝑋=1)=0.1×𝐶11⋅𝐶92𝐶103+0.1×𝐶21⋅𝐶82𝐶103=23300，...............................

.....................................................9分𝑃(𝑋=2)=0.1×𝐶22𝐶81𝐶103=1150，......................................

...................................................................10分所以随机变量𝑋的分布列为𝑋012𝑃1112233001150....

..................................................................................................................................

........................11分所以𝐸(𝑋)=0×325+1×23300+2×1150=9100．..............................................................................12

分21．（12分）解：（1）𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚，...............................................................................................................1分当𝑚

⩽0时，由𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增，.......................................................................2分当𝑚>0时

，由𝑓′(𝑥)=0，可得𝑥=𝑙𝑛𝑚，∴𝑥∈(−∞,𝑙𝑛𝑚)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减；...................................................................

....3分𝑥∈(𝑙𝑛𝑚,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增．....................................................................4分

∴当𝑚⩽0时，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增；当𝑚>0时，𝑓(𝑥)在区间(−∞,𝑙𝑛𝑚)上单调递减，在区间(𝑙𝑛𝑚,+∞)上单调递增．（2）设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚𝑥+𝑙�

�(𝑥+1)−1(𝑥⩾0)，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚，.........................5分（i）当𝑚⩽1时，𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚⩾1−𝑚⩾0，.......................

..........................6分∴𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则𝑔(𝑥)⩾𝑔(0)=0恒成立，.............................................7

分（ii）当𝑚>1时，令ℎ(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚，则ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥−1(𝑥+1)2，...........................................8分{#{QQ

ABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第5页共5页令𝑘(𝑥)=𝑒𝑥−1(𝑥+1)2，则𝑘′(𝑥)=𝑒𝑥+2(𝑥+1)3>0，∴𝑘(𝑥)在区间[0,+∞)上单调

递增，则𝑘(𝑥)⩾𝑘(0)=0，∴ℎ(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则ℎ(𝑥)⩾ℎ(0)=2−𝑚，....................................................9分①若1<𝑚⩽2，则𝑔′

(𝑥)⩾0恒成立，则𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，∴𝑔(𝑥)⩾𝑔(0)=0，........................................................

................................................................10分②若𝑚>2，则𝑔′(0)<0，𝑔′(𝑙𝑛𝑚+1)=(𝑒−1)𝑚+12

+𝑙𝑛𝑚>0，∴∃𝑥0∈(0,𝑙𝑛𝑚+1)，使得𝑔′(𝑥0)=0，∴𝑔(𝑥)在区间[0,𝑥0)上单调递减，则𝑔(𝑥0)<𝑔(0)=0，与条件矛盾，.................................11分综上所述，实数𝑚的取值范围为(−∞,2]．.

..............................................................................12分22．（12分）解：（1）由双曲线定义可知||𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2||=2�

�=2，∴𝑎=1，...........................................1分又由|𝐹1𝐹2|=4，∴𝑐=2，....................................................

...2分∵𝑎2+𝑏2=𝑐2，∴𝑏=√3，......................................................3分∴双曲线𝐶的方程为𝑥2−𝑦23=1．.........

.........................................4分（2）（i）设𝑀(𝑥0,𝑦0)，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1=√3𝑥1①，𝑦2=−√3𝑥2②，将①+②可得𝑦1+𝑦2=√3(𝑥1−𝑥2)，将①−②可得𝑦

1−𝑦2=√3(𝑥1+𝑥2)，............................5分∴𝑦1+𝑦2√3(𝑥1+𝑥2)=√3(𝑥1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，即𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=3(�

�1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，...................................................................................6分由题可知|𝑀𝑃|=|𝑀𝑄|，∴𝑥1+𝑥2=2𝑥0，𝑦1+𝑦2=2

𝑦0，∴𝑦0𝑥0=3(𝑥1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，即𝑘𝑃𝑄=3𝑥0𝑦0，..............................................................

............................................7分∴直线𝑃𝑄的方程为𝑦−𝑦0=3𝑥0𝑦0(𝑥−𝑥0)，即3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3𝑥02−𝑦02，又∵点𝑀在𝐶上，∴3𝑥02−𝑦

02=3，则3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3，................................................................8分将方程联立{𝑥2−𝑦23=1，3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3，得(𝑦0

2−3𝑥02)𝑥2+6𝑥0𝑥−3−𝑦02=0，∴−3𝑥2+6𝑥0𝑥−3𝑥02=0，由𝛥=0可知方程有且仅有一个解，∴𝑙与𝐶有且仅有一个交点．.......................

................................9分（ii）由（2）（i）联立{𝑦=√3𝑥，3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3，可得𝑥1=√3√3𝑥0−𝑦0，同理可得𝑥2=√3√3𝑥0+𝑦0，.........10分∴|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄

|=√𝑥12+𝑦12⋅√𝑥22+𝑦22=4|𝑥1𝑥2|=4×33𝑥02−𝑦02=4，............................................11分∴1|𝑂𝑃|+2|𝑂𝑄|=1

|𝑂𝑃|+|𝑂𝑃|2⩾2√1|𝑂𝑃|×|𝑂𝑃|2=√2，当且仅当1|𝑂𝑃|=|𝑂𝑃|2即|𝑂𝑃|=√2时取等号．又∵|𝑂𝑃|∈(0,+∞)，∴1|𝑂𝑃|+2|𝑂𝑄|的取值范围为[√2,+∞)．...

..........................................12分{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}获得更

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