【文档说明】广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学答案.pdf，共(6)页，791.250 KB，由管理员店铺上传

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第1页共5页2023—2024学年高三质量检测（一）数学参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADDACBB二、选择

题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ABACACDACD三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3√5514．160

15．5316．[43,2]四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）设该等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}的公比为𝑞，由已知得{�

�1+𝑑=𝑎1𝑞𝑎1+3𝑑=𝑎1𝑞2，...............................................................................................................2分因为数列{�

�𝑛}为正项数列，{𝑏𝑛}为正项递增数列，所以𝑞=2，𝑑=1，............................................................................................................

...............4分所以𝑎𝑛=1+(𝑛−1)×1=𝑛，𝑏𝑛=1×2𝑛−1=2𝑛−1．........................................................

......6分（2）由已知得𝑐𝑛={𝑛,𝑛为奇数2𝑛−1,𝑛为偶数，............................................................................................7分所

以数列{𝑐𝑛}的前2𝑛项和为𝑇2𝑛=(𝑎1+𝑎3+⋯+𝑎2𝑛−1)+(𝑏2+𝑏4+⋯+𝑏2𝑛)=(1+3+⋯+2𝑛−1)+(21+23+⋯+22𝑛−1)..........................................

.................................8分=(1+2𝑛−1)𝑛2+21×(1−4𝑛)1−4=3𝑛2+22𝑛+1−23．............................................................

......................................................................10分18．（12分）证：（1）∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，............................

...........................................................................................................1分又∵𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，𝐴𝐷∩𝑃�

�=𝐷,𝐴𝐷,𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，...................................................................3分∴𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，..............

................................................................................................................4分{#{QQABAQgAoggIQBAA

ABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第2页共5页∵𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，.................................................

..........................................................................5分∴平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．.............................

....................................................................................6分解：（法一）（2）取𝐴𝐷中点为𝑂，连结𝑃�

�，∵在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，∠𝑃𝐷𝐴=60°，∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷,△𝑃𝐴𝐷为等边三角形．∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，..........

.................................................................................................................7分以𝑂为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形

𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，∴𝑃(0,0,√3)，𝐴(1,0,0)，𝐵(1,2,0)，𝐶(−1,2,0)，𝐷(−1,0,0)，∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,−√3)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,−√3

)，............................................................................9分设平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量𝒎=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝒎=0𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝒎=0，即{𝑥+2

𝑦−√3𝑧=0−𝑥+2𝑦−√3𝑧=0，令𝑦=3，则𝑥=0，𝑧=2√3，∴𝒎=(0,3,2√3)，................................................

.....................................................................10分由（1）可知平面𝑃𝐴𝐷的一个法向量𝒏=(0,1,0)，........................................

..........................11分设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角为𝜃，则𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝒎⋅𝒏||𝒎||𝒏|=3√21×1=√217，∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√21

7．................................................................................12分（法二）（2）设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的交线为𝑙，∵𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐷⊂平面�

�𝐴𝐷，𝐵𝐶⊄平面𝑃𝐴𝐷，∴𝐵𝐶//平面𝑃𝐴𝐷，又∵𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶，∴𝐵𝐶//𝑙，𝐴𝐷//𝑙，∵平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶有一个交点𝑃，∴𝑙为过点𝑃且与𝐵𝐶平行的一条直线，如下图，.........................

.....................................................7分取𝐴𝐷中点为𝑂，取𝐵𝐶中点为𝑀，连结𝑃𝑂，𝑃𝑀，𝑂𝑀，∵底面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正

方形，𝑂,𝑀分别为𝐴𝐷,𝐵𝐶的中点，∴𝑂𝑀//𝐴𝐵，又∵𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑂𝑀⊥平面𝑃𝐴𝐷，..................................................................................

...........................................8分∵𝑙⊂平面𝑃𝐴𝐷，PABCD(第18题图1)Oyzx{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQ

FABAA=}#}第3页共5页∴𝑂𝑀⊥𝑙，∵在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑂为𝐴𝐷的中点，∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，𝑃𝑂⊥𝑙，又𝑃𝑂∩𝑂𝑀=𝑂，𝑃𝑂,𝑂𝑀⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑙⊥平面𝑃𝑂

𝑀，∴𝑙⊥𝑃𝑀，又∵∠𝑂𝑃𝑀为锐角，∴∠𝑂𝑃𝑀为平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的夹角，................................................................

.....................10分设底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，在△𝑃𝑂𝑀中，𝑃𝑀=√𝑃𝑂2+𝑂𝑀2=√7，𝑐𝑜𝑠∠𝑃𝑂𝑀=𝑃𝑂𝑃𝑀=√3√7=√217，∴平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为√

217．................................................................................12分19．（12分）解：（1）由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐�

�𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵，.........................................2分因为𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖�

�[𝜋−(𝐵+𝐶)]=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)，所以𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)−𝑠𝑖𝑛𝐵，.....................

...........................................3分即𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵+3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶−�

�𝑖𝑛𝐵，2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=−𝑠𝑖𝑛𝐵，而𝑠𝑖𝑛𝐵≠0，所以𝑐𝑜𝑠𝐶=−12，.........................................

......................................................................................5分又因为𝐶∈(0,𝜋)，所以𝐶=2π3．....

..............................................................................................................

......................6分（2）因为𝑐𝑜𝑠𝐵=1314，𝐵∈(0,𝜋)，所以𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵=3√314，...................................................

...................................................7分𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠2𝜋3+𝑐𝑜�

�𝐵𝑠𝑖𝑛2𝜋3=5√314，..............................................................8分由正弦定理𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，得55

√314=𝑏3√314=𝑐√32，PABCD(第18题图2)OMl{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第4页共5页解得𝑏=3，𝑐=7，................................

..........................................................................................10分则𝐴𝐷=𝑐−𝐵𝐷=2

，所以𝑆△𝐴𝐶𝐷=12×𝐴𝐷×𝑏×𝑠𝑖𝑛𝐴=12×2×3×5√314=15√314．.......................................................12分20．（12分）解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件𝐴，“该箱

产品不含次品”为事件𝐵，则𝑃(𝐴)=0.8×1+0.1×𝐶93𝐶103+0.1×𝐶83𝐶103=1112，...............................................................................3分𝑃(𝐴𝐵

)=0.8=45，.............................................................................................................................

.4分由条件概率公式得𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=451112=4855，所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为4855．........................6分（2）由题意可得𝑋可以取0，1，2，...

.............................................................................................7分则𝑃(𝑋=0)=𝑃(

𝐴)=1112，.............................................................................................................

....8分𝑃(𝑋=1)=0.1×𝐶11⋅𝐶92𝐶103+0.1×𝐶21⋅𝐶82𝐶103=23300，..............................................

......................................9分𝑃(𝑋=2)=0.1×𝐶22𝐶81𝐶103=1150，............................................................................

.............................10分所以随机变量𝑋的分布列为𝑋012𝑃1112233001150............................................................

..................................................................................................11分所以𝐸(𝑋)=0×325+1×23300+2×1

150=9100．..............................................................................12分21．（12分）解：（1）𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚，..............................

.................................................................................1分当𝑚⩽0时，由𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增

，.......................................................................2分当𝑚>0时，由𝑓′(𝑥)=0，可得𝑥=𝑙𝑛𝑚，∴𝑥∈(−∞,𝑙𝑛𝑚)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(

𝑥)单调递减；.......................................................................3分𝑥∈(𝑙𝑛𝑚,+∞)时，𝑓′(𝑥)>

0，𝑓(𝑥)单调递增．....................................................................4分∴当𝑚⩽0时，𝑓(𝑥)在𝑹上单调递增；当𝑚>0时，𝑓(𝑥)在区间(−∞,�

�𝑛𝑚)上单调递减，在区间(𝑙𝑛𝑚,+∞)上单调递增．（2）设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚𝑥+𝑙𝑛(𝑥+1)−1(𝑥⩾0)，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚，.........................5分（i）当�

�⩽1时，𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚⩾1−𝑚⩾0，.................................................6分∴𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，

则𝑔(𝑥)⩾𝑔(0)=0恒成立，.............................................7分（ii）当𝑚>1时，令ℎ(𝑥)=𝑒𝑥+1𝑥+1−𝑚，则ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥−1(𝑥+1)2，........

...................................8分{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}第5页共5页令𝑘(𝑥)=𝑒𝑥−1(𝑥+1)2，则𝑘′(�

�)=𝑒𝑥+2(𝑥+1)3>0，∴𝑘(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则𝑘(𝑥)⩾𝑘(0)=0，∴ℎ(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，则ℎ(𝑥)⩾ℎ(0)=2−𝑚，......................

..............................9分①若1<𝑚⩽2，则𝑔′(𝑥)⩾0恒成立，则𝑔(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增，∴𝑔(𝑥)⩾𝑔(0)=0，.............

...........................................................................................................10分②若𝑚>2，则𝑔′(0)<0，𝑔′(𝑙𝑛𝑚+1)=

(𝑒−1)𝑚+12+𝑙𝑛𝑚>0，∴∃𝑥0∈(0,𝑙𝑛𝑚+1)，使得𝑔′(𝑥0)=0，∴𝑔(𝑥)在区间[0,𝑥0)上单调递减，则𝑔(𝑥0)<𝑔(0)=0，与条件矛盾，.................................1

1分综上所述，实数𝑚的取值范围为(−∞,2]．...............................................................................12分22．（12分）解：（1）由双曲线定义可知||𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2||=

2𝑎=2，∴𝑎=1，...........................................1分又由|𝐹1𝐹2|=4，∴𝑐=2，.......................................................2分∵𝑎2+𝑏2=𝑐2，

∴𝑏=√3，......................................................3分∴双曲线𝐶的方程为𝑥2−𝑦23=1．......................................

............4分（2）（i）设𝑀(𝑥0,𝑦0)，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1=√3𝑥1①，𝑦2=−√3𝑥2②，将①+②可得𝑦1+𝑦2=√3(𝑥1−𝑥2)，将①−②可得𝑦1−𝑦2=√

3(𝑥1+𝑥2)，............................5分∴𝑦1+𝑦2√3(𝑥1+𝑥2)=√3(𝑥1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，即𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=3(𝑥1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，......................

.............................................................6分由题可知|𝑀𝑃|=|𝑀𝑄|，∴𝑥1+𝑥2=2𝑥0，𝑦1+𝑦2=2𝑦0，∴𝑦0𝑥

0=3(𝑥1−𝑥2)𝑦1−𝑦2，即𝑘𝑃𝑄=3𝑥0𝑦0，.......................................................................................................

...7分∴直线𝑃𝑄的方程为𝑦−𝑦0=3𝑥0𝑦0(𝑥−𝑥0)，即3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3𝑥02−𝑦02，又∵点𝑀在𝐶上，∴3𝑥02−𝑦02=3，则3𝑥0𝑥−𝑦0�

�=3，................................................................8分将方程联立{𝑥2−𝑦23=1，3𝑥0𝑥−𝑦0𝑦=3，得(𝑦02−3𝑥02)𝑥2+6𝑥0𝑥−3−𝑦0

2=0，∴−3𝑥2+6𝑥0𝑥−3𝑥02=0，由𝛥=0可知方程有且仅有一个解，∴𝑙与𝐶有且仅有一个交点．.......................................................9分（ii）由（2）（i）联立{𝑦=√3𝑥，3𝑥0

𝑥−𝑦0𝑦=3，可得𝑥1=√3√3𝑥0−𝑦0，同理可得𝑥2=√3√3𝑥0+𝑦0，.........10分∴|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|=√𝑥12+𝑦12⋅√𝑥22+𝑦22=4|𝑥1𝑥2|=4×33𝑥02−𝑦02=4，....................

........................11分∴1|𝑂𝑃|+2|𝑂𝑄|=1|𝑂𝑃|+|𝑂𝑃|2⩾2√1|𝑂𝑃|×|𝑂𝑃|2=√2，当且仅当1|𝑂𝑃|=|𝑂𝑃|2即|𝑂𝑃|=√2时取等号．又∵|𝑂𝑃|∈(0,

+∞)，∴1|𝑂𝑃|+2|𝑂𝑄|的取值范围为[√2,+∞)．.............................................12分{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOw

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