【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 抢分练2 Word版含答案.docx，共(2)页，58.048 KB，由小赞的店铺上传

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抢分练2(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2023河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),O为坐标原点,焦点在直线2x+4y-1=0上.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点(4,0)作动直线l与抛物线C交于M,N两点,直线OM,ON分别与圆(

x-1)2+y2=1交于点P,Q两点(异于点O),设直线OM,ON斜率分别为k1,k2.①求证:k1·k2为定值;②求证:直线PQ恒过定点.2.(本题满分12分)(2023江西南昌二模)已知函数f(x)=aex-x-a(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意a∈(0,1),

存在正数b使得aeb=a+b,且2lna+b<0.抢分练21.(1)解易知直线2x+4y-1=0与x轴交于(12,0),即焦点坐标为(12,0),所以𝑝2=12,p=1,则抛物线方程为y2=2x.(2)证明①设直线M

N方程为x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组{𝑥=𝑚𝑦+4,𝑦2=2𝑥,得y2-2my-8=0,所以y1y2=-8,又{𝑦12=2𝑥1,𝑦22=2𝑥2,所以𝑦12𝑦22=4x1x2=64,即x1x2

=16,则k1·k2=𝑦1𝑥1·𝑦2𝑥2=-816=-12.②设直线PQ方程为x=ty+n,P(x3,y3),Q(x4,y4),联立方程组{𝑥=𝑡𝑦+𝑛,(𝑥-1)2+𝑦2=1,得(t2+1)y2+2t(n-1)y+n2-2n=0,所以

y3+y4=-2𝑡(𝑛-1)𝑡2+1,y3y4=𝑛2-2𝑛𝑡2+1,k1·k2=𝑦3𝑥3·𝑦4𝑥4=𝑦3𝑦4(𝑡𝑦3+𝑛)(𝑡𝑦4+𝑛)=𝑦3𝑦4𝑡2𝑦3𝑦4+𝑛𝑡(𝑦3+𝑦4)+𝑛2=-12.整理得𝑛-2𝑛

=-12,n=43,所以直线PQ过定点(43,0).2.(1)解f'(x)=aex-1,若a≤0,则f'(x)<0,则函数在R上单调递减,若a>0,令f'(x)=0,得x=-lna,当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-lna时,f'(x)>0,

f(x)单调递增,综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减,当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.(2)证明由(1)可知,当0<a<1时,-lna>0,且f(x)

在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,因为f(0)=0,所以f(-lna)<0.因为f(-2lna)=1𝑎+2lna-a,设h(x)=1𝑥+2lnx-x(0<x≤1),h'(x)=-1𝑥2+2𝑥-1=-(1𝑥-1)2≤

0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,即f(-2lna)>0,由零点存在性定理知∃x0∈(-lna,-2lna),使得f(x0)=0,取b=x0,则aeb=a+b,又b=x0∈(-lna,-2lna),即b<-2lna,所以2lna+b<

0.